Ти навчишся визначати, чи можна описати коло навколо чотирикутника і чи можна вписати коло в чотирикутник. Ще ти знаходитимеш кути вписаного чотирикутника, сторони описаного й розв'язуватимеш задачі про трапецію та коло.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що треба пригадати з 7 класу
Вписаний кут. Так називають кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
Вписаний кут ABC і центральний кут AOC спираються на ту саму дугу AC, тому ∠ABC = 120° : 2 = 60°.
Градусна міра дуги дорівнює центральному куту, що на неї спирається. Тому вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається. Усе коло — це дуга 360°.
Відрізки дотичних. Якщо з однієї точки провести до кола дві дотичні, то відрізки від цієї точки до точок дотику рівні.
Трикутник і коло. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і в будь-який трикутник можна вписати коло. Центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін, а центр вписаного — на перетині бісектрис кутів.
Для чотирикутника це вже не завжди так, і саме про це йдеться в параграфі.
Чотирикутник, вписаний у коло
Чотирикутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому називають описаним навколо чотирикутника.
Усі чотири вершини A, B, C і D лежать на колі, тому чотирикутник ABCD вписаний у коло.
Теорема 1 (властивість кутів вписаного чотирикутника). Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.
Протилежні кути A і C позначено помаранчевим, протилежні кути B і D — синім.
Доведення.
- 1)Кут A вписаний і спирається на дугу DCB, тобто на дугу, на якій лежить точка C. Тому $\angle A=\frac{1}{2}$$DCB$. Так само кут C спирається на дугу DAB:
$\angle C=\frac{1}{2}$$DAB$. - 2)Дуги DCB і DAB разом складають усе коло, тобто 360°. Тому
$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\cdot 360^\circ=180^\circ$. - 3)Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Тому
$\angle B+\angle D=360^\circ-180^\circ=180^\circ$.
З теореми 1 випливає, що у вписаному чотирикутнику ∠A + ∠C = ∠B + ∠D: обидві суми дорівнюють 180°. Звідси правило для задач: невідомий кут вписаного чотирикутника знаходять, віднімаючи від 180° протилежний йому кут, а не сусідній.
Приклад 1. Чотирикутник ABCD вписаний у коло, ∠A : ∠C = 2 : 3, ∠B = 65°. Знайди кути A, C і D
Кути A і C протилежні, кути B і D теж протилежні.
Розв'язання.
- 1)Кути A і C протилежні, тому ∠A + ∠C = 180°. Позначимо ∠A = $2x$, ∠C = $3x$:
$2x+3x=180^\circ$, $5x=180^\circ$, $x=36^\circ$. - 2)∠A = 2 · 36° = 72°, ∠C = 3 · 36° = 108°.
- 3)Кути B і D теж протилежні, тому
∠D = 180° − 65° = 115°.
Відповідь: ∠A = 72°, ∠C = 108°, ∠D = 115°.
Буває, що в умові дано два сусідні кути, наприклад A і B. Тоді два інші кути знаходять так само:
∠C = 180° − ∠A, ∠D = 180° − ∠B.
Трапеція, вписана в коло
Наслідок з теореми 1. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то вона рівнобічна.
Трапеція ABCD (AD ∥ BC) вписана в коло. Кути A і D при основі AD рівні.
Доведення.
- 1)Трапеція вписана в коло, тому сума її протилежних кутів A і C дорівнює 180°.
- 2)Кути C і D прилеглі до бічної сторони CD. Основи AD і BC паралельні, тому це внутрішні односторонні кути, і їхня сума теж дорівнює 180°.
- 3)Отже, ∠A = 180° − ∠C і ∠D = 180° − ∠C, тому ∠A = ∠D. Кути при основі AD рівні, отже, трапеція рівнобічна (за ознакою рівнобічної трапеції з § 6).
Коли навколо чотирикутника можна описати коло
Навколо будь-якого трикутника коло описати можна, а навколо чотирикутника — не завжди. Відповідь дає ознака, обернена до теореми 1.
Теорема 2 (ознака вписаного чотирикутника). Якщо в чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.
Цю теорему доводять методом від супротивного. Через три вершини чотирикутника проводять коло, адже через вершини трикутника коло провести можна завжди. Потім припускають, що четверта вершина лежить усередині кола або поза ним.
Якщо четверта вершина лежить усередині кола, кут при ній більший, ніж був би на колі. Це показують за допомогою зовнішнього кута трикутника: він більший за кожен внутрішній кут, не суміжний з ним. Тоді сума протилежних кутів більша за 180°.
Якщо вершина поза колом, ця сума менша за 180°. Обидва випадки суперечать умові, тому четверта вершина лежить на колі.
Наслідки з теореми 2.
- Якщо в чотирикутнику ABCD ∠A + ∠C = ∠B + ∠D, то навколо нього можна описати коло. Обидві суми разом дають 360°, тому кожна з них дорівнює 180°.
- Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло, бо його протилежні кути дають 90° + 90° = 180°.
- Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло. Кути при її основі рівні, а кути при бічній стороні дають 180°. Тому будь-які два протилежні кути теж дають 180°.
Де центр описаного кола. Як і в трикутнику, центр кола, описаного навколо чотирикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін. У прямокутнику це точка перетину діагоналей.
Діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, тому ця точка однаково віддалена від усіх чотирьох вершин.
O — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD і центр описаного кола: OA = OB = OC = OD.
Приклад 2. Чи можна описати коло навколо чотирикутника KLMN, якщо ∠K = 110°, ∠M = 80°?
Кути K і M протилежні: у вершин K і M немає спільної сторони.
Розв'язання. Кути K і M протилежні. Їхня сума
110° + 80° = 190°.
У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180° (теорема 1). Тут вона інша, тому чотирикутник KLMN не може бути вписаним.
Відповідь: ні, не можна.
Якби сума вийшла 180°, коло можна було б описати за теоремою 2. Наприклад, якщо два протилежні кути прямі, то 90° + 90° = 180°, і коло описати можна, навіть коли чотирикутник не є прямокутником.
Приклад 3. Точка K лежить усередині гострого кута BAC, KP і KQ — перпендикуляри до сторін AB і AC. Доведи, що навколо чотирикутника APKQ можна описати коло і що AK — його діаметр
∠APK = ∠AQK = 90°. O — середина відрізка AK.
Знадобиться факт 7 класу: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
Доведення.
- 1)Кути P і Q чотирикутника APKQ протилежні, і кожен з них прямий. Їхня сума 90° + 90° = 180°, тому за теоремою 2 навколо APKQ можна описати коло.
- 2)Позначимо O — середину відрізка AK. У прямокутному трикутнику APK відрізок PO — медіана, проведена до гіпотенузи AK. Тому PO = AK : 2 = OA = OK.
- 3)Так само в прямокутному трикутнику AQK:
QO = AK : 2. - 4)Отже, точки A, P, K і Q однаково віддалені від точки O. Коло з центром O і радіусом AK : 2 проходить через усі чотири вершини, а відрізок AK проходить через його центр. Тому AK — діаметр цього кола.
Трапеція і радіуси кола
Якщо трапецію вписано в коло, проведи радіуси до її вершин. Радіуси рівні, тому виходять рівнобедрені трикутники, а в них легко знайти кути.
Приклад 4. Трапеція ABCD вписана в коло радіуса 5 см, її більша основа AD — діаметр кола. Менша основа BC дорівнює бічній стороні. Знайди периметр трапеції
O — центр кола і середина AD. OA = OB = OC = OD = 5 см. Рисками позначено рівні відрізки AB, BC і CD.
Розв'язання.
- 1)Трапеція вписана в коло, тому вона рівнобічна: AB = CD. За умовою BC = AB, отже, AB = BC = CD.
- 2)Проведемо радіуси OB і OC. OA = OB = OC = OD = 5 см, тому трикутники AOB, BOC і COD рівні за трьома сторонами. Отже, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD.
- 3)Ці три кути разом складають розгорнутий кут AOD:
∠AOB = 180° : 3 = 60°. - 4)Трикутник AOB рівнобедрений (OA = OB), тому кути при його основі AB рівні:
(180° − 60°) : 2 = 60°.
Усі кути по 60°, тому трикутник рівносторонній: AB = OA = 5 см. - 5)AD = 2 · 5 = 10 (см). Периметр:
10 + 5 + 5 + 5 = 25 (см).
Відповідь: 25 см.
Чотирикутник, описаний навколо кола
Чотирикутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому називають вписаним у чотирикутник.
Кожна з чотирьох сторін чотирикутника ABCD дотикається до кола, тому чотирикутник описаний навколо кола.
Не плутай ці два слова. У вписаного чотирикутника всі вершини лежать на колі, а в описаного чотирикутника всі сторони дотикаються до кола.
Якщо хоч одна вершина не лежить на колі, чотирикутник не вписаний. Якщо хоч одна сторона не дотикається до кола, він не описаний.
Ліворуч одна вершина лежить поза колом, тому чотирикутник не вписаний. Праворуч коло не дотикається до нижньої сторони, тому чотирикутник не описаний.
Теорема 3 (властивість сторін описаного чотирикутника). В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
P, L, K, T — точки дотику. Рівні відрізки дотичних позначено однаковим кольором.
Доведення.
- 1)Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні. Тому AP = AT = $a$, BP = BL = $b$, CL = CK = $c$, DK = DT = $d$.
- 2)Кожна сторона складається з двох відрізків дотичних:
AB + CD = AP + PB + CK + KD = $a+b+c+d$;
AD + BC = AT + TD + BL + LC = $a+d+b+c$. - 3)Праві частини складаються з тих самих чотирьох доданків. Отже, AB + CD = AD + BC.
Наслідок. Якщо чотирикутник ABCD описаний навколо кола, то $AB+CD=AD+BC=\frac{P_{ABCD}}{2}$, де $P_{ABCD}$ — периметр чотирикутника.
Чому так: дві рівні суми разом дають периметр, тому кожна з них дорівнює половині периметра.
Приклад 5. Периметр рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 24 см. Знайди бічну сторону трапеції
ABCD — рівнобічна трапеція з основами AD і BC, AB = CD. Коло вписане в трапецію.
Розв'язання.
- 1)Трапеція описана навколо кола, тому сума її бічних сторін дорівнює половині периметра:
AB + CD = 24 : 2 = 12 (см). - 2)Трапеція рівнобічна, тому AB = CD:
AB = 12 : 2 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
Отже, у рівнобічній трапеції, описаній навколо кола, бічна сторона дорівнює чверті периметра. Обернена задача розв'язується так само: якщо бічна сторона дорівнює 5 см, то периметр дорівнює 4 · 5 = 20 (см).
Коли в чотирикутник можна вписати коло
Теорема 4 (ознака описаного чотирикутника). Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло.
Доведення цієї теореми громіздке, тому в підручнику його не наводять. Для задач досить уміти нею користуватися.
Наслідок. У будь-який ромб можна вписати коло. Усі сторони ромба рівні, тому суми протилежних сторін теж рівні.
Де центр вписаного кола. Як і в трикутнику, центр кола, вписаного в чотирикутник, лежить на перетині бісектрис його кутів. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тому центр вписаного кола в ромбі — це точка перетину діагоналей.
Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці O, а коло з центром O дотикається до всіх чотирьох сторін.
Сторони «в порядку слідування»
Слова «в порядку слідування» означають, що сторони названо одна за одною, як вони йдуть, коли обводиш чотирикутник олівцем. Тоді протилежні сторони — перша й третя, а також друга й четверта. Щоб не переплутати, підпиши сторони на малюнку по черзі: протилежні сторони не мають спільної вершини.
Приклад 6. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 2 : 5 : 6 : 3?
Сторони підписано по черзі. Протилежні сторони пофарбовано однаковим кольором.
Розв'язання. Нехай сторони дорівнюють $2x$, $5x$, $6x$ і $3x$. Додамо протилежні сторони — першу з третьою і другу з четвертою:
| $2x+6x=8x$ |
| $5x+3x=8x$ |
Суми протилежних сторін рівні, тому за теоремою 4 коло вписати можна.
Відповідь: так, можна.
Коли сторони дано в сантиметрах, перевірка та сама: додають першу сторону з третьою і другу з четвертою.
Які чотирикутники бувають вписаними й описаними
Для кожного виду чотирикутника досить перевірити дві умови. Навколо нього можна описати коло, якщо протилежні кути дають 180°. У нього можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні.
| Фігура | Описати коло | Вписати коло |
|---|---|---|
| паралелограм | лише навколо прямокутника | лише в ромб |
| прямокутник | завжди | лише в квадрат |
| ромб | лише навколо квадрата | завжди |
| квадрат | завжди | завжди |
| трапеція | лише навколо рівнобічної | якщо сума основ дорівнює сумі бічних сторін |
Чому з паралелограмів підходять лише прямокутник і ромб. Протилежні кути паралелограма рівні, тому їхня сума дорівнює 180°, лише якщо кожен з них прямий. Протилежні сторони паралелограма теж рівні, тому суми протилежних сторін — це $2a$ і $2b$, і вони рівні, лише якщо $a=b$, тобто всі сторони рівні.
Як перевірити себе
Додай усі кути вписаного чотирикутника. Разом вони мають дати 360°, а кожна пара протилежних кутів має дати 180°. Якщо одна пара дає 180°, а друга ні, то в розв'язанні є помилка.
Перевір, яку пару ти додаєш. Протилежні сторони не мають спільної вершини, а протилежні кути не мають спільної сторони. Якщо в двох сторін є спільна вершина, вони сусідні, і їхню суму для теореми 3 чи 4 брати не можна.
Звір умову із запитанням. Якщо питають, чи можна описати коло, перевіряй кути. Якщо питають, чи можна вписати коло, перевіряй сторони.
Самі кути не кажуть, чи можна вписати коло. Це видно на прямокутнику: кути в нього прямі, а вписати коло можна лише в квадрат.
Обережно зі словами «може бути описаним» і «може бути вписаним». Чотирикутник може бути описаним, якщо в нього можна вписати коло, тому перевіряють сторони. Чотирикутник може бути вписаним, якщо навколо нього можна описати коло, тому перевіряють кути.
Подивись на трапецію. Трапеція, вписана в коло, завжди рівнобічна. Якщо в такій трапеції в тебе вийшли різні бічні сторони або різні кути при одній основі, шукай помилку.
Де найчастіше помиляються
1. Додали сусідні сторони замість протилежних
Завдання: сторони чотирикутника в порядку слідування дорівнюють 4 см, 7 см, 9 см, 6 см. Чи можна вписати в нього коло?
Сторони підписано по черзі. Протилежні сторони пофарбовано однаковим кольором.
Неправильно
| 4 + 7 = 11 |
| 9 + 6 = 15 |
| Відповідь: ні |
Правильно
| 4 + 9 = 13 |
| 7 + 6 = 13 |
| Відповідь: так |
Як помітити: сторони 4 см і 7 см ідуть одна за одною, тобто мають спільну вершину. Отже, вони сусідні. Протилежні сторони — перша й третя (4 см і 9 см), друга й четверта (7 см і 6 см).
2. Від 180° відняли сусідній кут замість протилежного
Завдання: чотирикутник ABCD вписаний у коло, ∠A = 100°, ∠B = 70°. Знайди кути C і D.
Протилежні кути A і C позначено помаранчевим, протилежні кути B і D — синім.
Неправильно
| ∠D = 180° − 100° = 80° |
| ∠C = 180° − 70° = 110° |
Правильно
| ∠C = 180° − 100° = 80° |
| ∠D = 180° − 70° = 110° |
Як помітити: у неправильному розв'язку кут D знайшли як 180° − ∠A, але кути A і D сусідні. Перевір суму протилежних кутів A і C: 100° + 110° = 210°, а має бути 180°.
3. Ознаку вписаного чотирикутника застосували до описаного
Завдання: чи можна вписати коло в прямокутник зі сторонами 4 см і 6 см?
Неправильно
| 90° + 90° = 180° |
| Відповідь: так |
Правильно
| 4 + 4 = 8 |
| 6 + 6 = 12 |
| Відповідь: ні |
Як помітити: сума протилежних кутів 180° каже лише, що навколо прямокутника можна описати коло. Щоб коло можна було вписати, рівними мають бути суми протилежних сторін. Протилежні сторони прямокутника — 4 см і 4 см, 6 см і 6 см.
Спробуй сам
- Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо ∠B = 75°, ∠D = 105°?
- Чи може чотирикутник MNKL бути вписаним у коло, якщо ∠M = 35°, ∠K = 135°?
- Чотирикутник ABCD вписаний у коло, ∠A = 115°, ∠B = 82°. Знайди кути C і D.
- Чотирикутник ABCD вписаний у коло, ∠B : ∠D = 4 : 5, ∠A = 70°. Знайди кути B, C і D.
- Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як 3 : 4 : 6 : 5?
- Чи може бути описаним чотирикутник, сторони якого в порядку слідування дорівнюють 8 см, 5 см, 3 см, 7 см?
- У чотирикутник ABCD вписано коло, AB = 7 см, BC = 9 см, CD = 8 см. Знайди AD.
- Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 7 см. Знайди периметр трапеції.
- Основи рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнюють 4 см і 16 см. Знайди бічну сторону.
- У чотирикутнику ABCD ∠A = ∠C = 90°. Доведи, що навколо нього можна описати коло і що BD — діаметр цього кола.
- Трапеція ABCD вписана в коло радіуса 4 см, її більша основа AD є діаметром кола, ∠A = 60°. Знайди периметр трапеції.
- Чи можна описати коло навколо ромба з кутом 50°?
Перевірити відповіді
- Так: 75° + 105° = 180°.
- Ні: 35° + 135° = 170°, а має бути 180°.
- ∠C = 65°, ∠D = 98°.
- ∠B = 80°, ∠C = 110°, ∠D = 100°.
- Так: $3x+6x=9x$ і $4x+5x=9x$.
- Ні: 8 + 3 = 11, а 5 + 7 = 12.
- 6 см: AD = 7 + 8 − 9 = 6 (см).
- 28 см.
- 10 см: сума бічних сторін дорівнює 4 + 16 = 20 (см).
- Повний розв'язок — нижче.
- 20 см. Повний розв'язок — нижче.
- Ні: протилежні кути ромба рівні, тож маємо 50° + 50° = 100°, а не 180°.
Повний розв'язок завдання 10
∠A = ∠C = 90°. O — середина діагоналі BD. Кути B і D не обов'язково прямі.
- 1)Кути A і C протилежні, і ∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°. За теоремою 2 навколо ABCD можна описати коло.
- 2)Позначимо O — середину BD. У прямокутному трикутнику ABD відрізок AO — медіана, проведена до гіпотенузи BD, тому AO = BD : 2.
- 3)Так само в прямокутному трикутнику CBD:
CO = BD : 2. - 4)Отже, OA = OB = OC = OD = BD : 2. Коло з центром O проходить через усі вершини, а BD проходить через центр, тому BD — діаметр.
Повний розв'язок завдання 11
AD — діаметр, O — центр кола, ∠A = 60°. OA = OB = OC = OD = 4 см.
- 1)У трикутнику AOB OA = OB, тому ∠OBA = ∠OAB = 60°, і третій кут теж 60°. Трикутник AOB рівносторонній: AB = 4 см.
- 2)Трапеція вписана в коло, тому вона рівнобічна: CD = AB = 4 см, ∠D = ∠A = 60°. Так само трикутник COD рівносторонній, і ∠COD = 60°.
- 3)∠BOC = 180° − 60° − 60° = 60°. Трикутник BOC рівнобедрений з кутом 60° між бічними сторонами, тому кути при основі по (180° − 60°) : 2 = 60°. Він рівносторонній: BC = 4 см.
- 4)AD = 2 · 4 = 8 (см). Периметр:
8 + 4 + 4 + 4 = 20 (см).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що взяли сусідні сторони чи сусідні кути. Додавати треба протилежні.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити різницю між вписаним і описаним чотирикутником. У вписаного всі вершини лежать на колі, а в описаного всі сторони дотикаються до кола.
Корисне запитання: чи можна вписати коло в прямокутник, який не є квадратом? Ні, бо його протилежні сторони попарно рівні, і суми протилежних сторін виходять різними. Описати ж коло навколо будь-якого прямокутника можна, бо його протилежні кути дають 180°.
Якщо дитина розв'язує задачу на сторони «в порядку слідування», попросіть її підписати сторони на малюнку по черзі. Тоді видно, які сторони протилежні, і помилок із сусідніми сторонами стає менше.