Ти навчишся знаходити кути ромба за діагоналями, висотами чи сумою кутів і рахувати його периметр. А ще — доводити, що паралелограм або інший чотирикутник є ромбом.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке ромб
Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Ромб ABCD: рисочки показують, що всі чотири сторони рівні.
Ромб — це паралелограм. Тому він має всі властивості паралелограма. Нумерацію беремо, як у підручнику: перші три властивості — від паралелограма, четверта — від рівних сторін.
Властивості ромба 1–4:
- сума будь-яких двох сусідніх кутів дорівнює 180°;
- протилежні кути рівні;
- діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
- периметр $P_{ABCD}=4AB$: чотири рівні сторони.
Як упізнати ромб на малюнку. Перевір, чи всі чотири сторони рівні. Як повернуто фігуру, неважливо: ромб може «стояти» на вершині.
Фігуру з рівними сторонами і прямими кутами ти знаєш з молодших класів як квадрат. Він теж є ромбом: це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Далі в ромбі ABCD вершини розташовані, як на кресленні: A ліворуч унизу, B і C угорі, D праворуч унизу.
Головна властивість ромба: діагоналі
Властивість 5. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й ділять його кути навпіл.
Для доведення згадаймо факт із 7 класу. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є також бісектрисою і висотою.
Трикутник ABD рівнобедрений, AO — медіана, проведена до основи BD.
Доведення. Нехай O — точка перетину діагоналей AC і BD.
- 1)AB = AD (сторони ромба), тому △ABD рівнобедрений з основою BD.
- 2)BO = OD (діагоналі паралелограма діляться навпіл). Отже, AO — медіана, проведена до основи BD.
- 3)Тому AO — ще й висота і бісектриса: AC ⊥ BD і ∠BAO = ∠DAO.
- 4)Так само доводять для інших вершин: кожна діагональ ділить навпіл обидва кути, з яких виходить.
Що з цього випливає. Діагоналі ділять ромб на чотири трикутники: AOB, BOC, COD і DOA. У кожного прямий кут при точці O.
Два інші кути такого трикутника — половини кутів ромба. Разом вони дають 90°.
| Кут у △AOB | Чому дорівнює |
| ∠AOB | 90° |
| ∠OAB | половина ∠A |
| ∠OBA | половина ∠B |
| ∠OAB + ∠OBA | 90° |
Чого в ромба немає. Діагоналі ромба зазвичай різні. Рівні діагоналі — властивість прямокутника.
Тому й половинки AO та BO в ромбі зазвичай різні.
Як знайти кути ромба
- Познач на кресленні точку O і прямий кут при ній.
- Кут між діагоналлю і стороною — половина кута ромба. Щоб знайти кут ромба, помнож цей кут на 2.
- Сусідні кути ромба разом дають 180°, протилежні рівні.
- Є висота — шукай прямокутний трикутник: гострий кут у ньому дорівнює 90° мінус інший гострий.
Кути ромба
Приклад 1. У ромбі ABCD ∠A = 52°. Знайди кути, які діагоналі утворюють зі стороною AB
Діагональ AC ділить навпіл кут A, діагональ BD — кут B.
| 1) | ∠CAB = 52° : 2 = 26° (AC ділить кут A навпіл) |
| 2) | ∠ABC = 180° − 52° = 128° (сусідні кути) |
| 3) | ∠ABD = 128° : 2 = 64° (BD ділить кут B навпіл) |
Відповідь: 26° і 64°.
Перевірка: 26° + 64° = 90°, як і має бути в трикутнику AOB.
Приклад 2. Діагональ AC ромба ABCD утворює зі стороною AD кут 35°. Знайди кути ромба
∠CAD = 35° — половина кута A.
| 1) | ∠A = 2 · 35° = 70° (AC ділить кут A навпіл) |
| 2) | ∠B = 180° − 70° = 110° (сусідні кути) |
| 3) | ∠C = ∠A = 70°, ∠D = ∠B = 110° |
Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
З якої вершини діагональ? Половина гострого кута менша за 45°, половина тупого — більша. Тут 35° менше за 45°, тож AC виходить з гострого кута.
Якщо діагональ утворює зі стороною 55°, вона виходить з тупого кута: 2 · 55° = 110°. Гострий кут: 180° − 110° = 70°. Це той самий ромб — діагональ BD.
Приклад 3. У ромбі ABCD ∠A = 48°, O — точка перетину діагоналей. Знайди кути трикутників AOB і BOC
Обидва трикутники прямокутні: діагоналі ромба перпендикулярні.
| 1) | ∠AOB = 90° (діагоналі перпендикулярні) |
| 2) | ∠OAB = 48° : 2 = 24° (AC ділить кут A навпіл) |
| 3) | ∠ABO = 90° − 24° = 66° |
| 4) | ∠BOC = 90°, ∠OBC = ∠ABO = 66° (BD ділить кут B навпіл) |
| 5) | ∠OCB = 90° − 66° = 24° |
Відповідь: у △AOB — 24°, 66°, 90°; у △BOC — 66°, 24°, 90°.
Трикутники AOB і BOC рівні: усі чотири трикутники при точці O однакові.
Приклад 4. Знайди кути ромба за сумою або різницею двох його кутів
Умови: 1) сума двох кутів 100°; 2) сума двох кутів 250°; 3) один кут на 30° більший за другий.
Спершу з'ясуй, які це кути: сусідні чи протилежні. Сума сусідніх — рівно 180°. Протилежні кути рівні.
| 1) | Сума не 180°, тож кути протилежні й рівні: 100° : 2 = 50° |
| Два інші кути: 180° − 50° = 130° | |
| 2) | Кути протилежні: 250° : 2 = 125° |
| Два інші кути: 180° − 125° = 55° | |
| 3) | Рівні кути не відрізняються, тож ці кути сусідні |
| $x+(x+30)=180$, $2x=150$, $x=75$ | |
| Кути 75° і 75° + 30° = 105° |
Відповідь: 1) 50°, 130°, 50°, 130°; 2) 125°, 55°, 125°, 55°; 3) 75°, 105°, 75°, 105°.
Приклад 5. У ромбі ABCD діагональ AC дорівнює стороні. Знайди кути ромба
AB = BC = AC: трикутник ABC рівносторонній.
- 1)AB = BC (сторони ромба), а AC = AB за умовою. Отже, △ABC рівносторонній.
- 2)Кути рівностороннього трикутника по 60°, тому ∠B = 60°.
- 3)∠A = 180° − 60° = 120° (сусідні кути).
Відповідь: ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°.
Приклад 6. Сторона AB ромба утворює з діагоналями два кути. Знайди кути ромба
Умови: ці кути 1) відрізняються на 20°; 2) відносяться як 1 : 2.
Це кути OAB і OBA трикутника AOB. Кут O прямий, тому разом вони дають 90°.
1) Менший кут — x, більший — x + 20°.
∠OAB = x, ∠OBA = x + 20°, ∠AOB = 90°.
| 1) | $x+(x+20)=90$, $2x=70$, $x=35$ |
| 2) | ∠OAB = 35°, ∠OBA = 35° + 20° = 55° |
| 3) | ∠A = 2 · 35° = 70°, ∠B = 2 · 55° = 110° |
Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
2) Одна частка — x: кути x і 2x.
∠OAB = x, ∠OBA = 2x, ∠AOB = 90°.
| 1) | $x+2x=90$, $3x=90$, $x=30$ |
| 2) | ∠OAB = 30°, ∠OBA = 2 · 30° = 60° |
| 3) | ∠A = 2 · 30° = 60°, ∠B = 2 · 60° = 120° |
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
Перевірка: 70° + 110° = 180° і 60° + 120° = 180°.
Приклад 7. Сторону AD ромба ABCD продовжили за точку D до точки E, ∠CDE = 64°. Знайди кут між діагоналлю BD і стороною BC
∠CDE — зовнішній кут ромба при вершині D.
- 1)∠ADC = 180° − 64° = 116° (суміжні кути).
- 2)∠ABC = ∠ADC = 116° (протилежні кути ромба).
- 3)∠DBC = 116° : 2 = 58° (BD ділить кут B навпіл).
Відповідь: 58°.
Зверни увагу: зовнішній кут при D дорівнює куту A ромба. Обидва доповнюють ∠ADC до 180°.
Приклад 8. Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 24°. Знайди кути ромба
Висоту зручно брати з вершини тупого кута: її основа лежить на стороні. Нехай DK — висота до сторони AB, DB — діагональ, ∠KDB = 24°.
Трикутник DKB прямокутний: DK ⊥ AB.
| 1) | У △DKB ∠K = 90°, тому ∠DBK = 90° − 24° = 66° |
| 2) | ∠ABC = 2 · 66° = 132° (BD ділить кут B навпіл) |
| 3) | ∠B = ∠D = 132°, ∠A = ∠C = 180° − 132° = 48° |
Відповідь: 48°, 132°, 48°, 132°.
Приклад 9. Знайди кути ромба за кутом між двома його висотами
1) Висоти BM і BN, проведені з вершини тупого кута B, утворюють кут 40°.
У чотирикутнику BMDN кути M і N прямі.
- 1)У чотирикутнику BMDN: ∠M = ∠N = 90°, ∠MBN = 40°.
- 2)∠D = 360° − 90° − 90° − 40° = 140° (сума кутів чотирикутника).
- 3)∠B = ∠D = 140°, ∠A = ∠C = 180° − 140° = 40°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
2) Висоти AM і AN, проведені з вершини гострого кута A, утворюють кут 120°. Основи цих висот лежать на продовженнях сторін CB і CD.
У чотирикутнику AMCN кути M і N прямі, а кут C — кут ромба.
- 1)У чотирикутнику AMCN: ∠M = ∠N = 90°, ∠MAN = 120°.
- 2)∠C = 360° − 90° − 90° − 120° = 60°.
- 3)∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
Запам'ятай: висоти з вершини тупого кута утворюють гострий кут ромба. Висоти з вершини гострого кута утворюють тупий кут ромба.
Сторони й периметр
Приклад 10. Периметр і сторона ромба
Усі сторони ромба рівні. Тому периметр — це сторона, помножена на 4.
| 1) | Сторона 7,5 см: P = 4 · 7,5 = 30 (см) |
| 2) | P = 26 см: сторона 26 : 4 = 6,5 (см) |
| 3) | Сума трьох сторін 27 см: сторона 27 : 3 = 9 (см) |
| P = 4 · 9 = 36 (см) | |
| 4) | Сума двох сторін 15 см: сторона 15 : 2 = 7,5 (см) |
| P = 4 · 7,5 = 30 (см) |
Відповідь: 1) 30 см; 2) 6,5 см; 3) 36 см; 4) 30 см.
Приклад 11. Коли в ромбі є рівносторонній трикутник
1) BK — висота ромба ABCD, проведена з вершини тупого кута B. ∠ABK = 30°, менша діагональ BD = 7 см. Знайди кути і периметр ромба.
Трикутник ABK прямокутний, трикутник ABD рівнобедрений.
- 1)У △ABK ∠K = 90°, тому ∠A = 90° − 30° = 60°.
- 2)△ABD рівнобедрений (AB = AD). Кути при основі BD: (180° − 60°) : 2 = 60°.
- 3)Усі кути △ABD по 60° — він рівносторонній: AB = BD = 7 см.
- 4)$P_{ABCD}=4\cdot7=28$ (см), ∠B = 180° − 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; 28 см.
2) Висота BK ромба ABCD, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону AD навпіл. Периметр ромба 36 см. Знайди кути ромба і меншу діагональ.
AK = KD, BK ⊥ AD: трикутники ABK і DBK рівні.
- 1)△ABK = △DBK (за двома катетами): AK = KD, катет BK спільний.
- 2)Звідси AB = DB. А ще AB = AD (сторони ромба).
- 3)Отже, △ABD рівносторонній: ∠A = 60°, ∠B = 180° − 60° = 120°.
- 4)Сторона: 36 : 4 = 9 (см). Менша діагональ BD = AB = 9 см.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; 9 см.
Приклад 12. Доведи, що висоти ромба рівні
1) DK і DL — висоти ромба ABCD, проведені з вершини тупого кута D. Доведи, що DK = DL.
Прямокутні трикутники AKD і CLD: AD = CD, ∠A = ∠C.
Доведення.
- 1)△AKD і △CLD прямокутні: ∠K = ∠L = 90°.
- 2)AD = CD (сторони ромба), ∠A = ∠C (протилежні кути).
- 3)△AKD = △CLD (за гіпотенузою і гострим кутом).
- 4)Отже, DK = DL.
2) BM і DK — висоти ромба ABCD, проведені з вершин двох тупих кутів. Доведи, що BM = DK.
Прямокутні трикутники ABM і ADK мають спільний кут A.
Доведення.
- 1)△ABM і △ADK прямокутні: ∠M = ∠K = 90°, кут A спільний.
- 2)AB = AD (сторони ромба).
- 3)△ABM = △ADK (за гіпотенузою і гострим кутом).
- 4)Отже, BM = DK.
З обох пунктів випливає: усі висоти ромба рівні.
Приклад 13. У рівносторонній трикутник ABC зі стороною 18 см вписано ромб AMNK. Знайди периметр ромба
Кут A в них спільний. M лежить на AB, N — на BC, K — на AC.
Трикутник MBN рівносторонній, тому BM = MN = AM.
- 1)MN ∥ AK (протилежні сторони ромба), тому ∠BMN = ∠BAC = 60° (відповідні кути).
- 2)∠B = 60°. У △MBN два кути по 60°, отже, і третій 60°. Трикутник рівносторонній: BM = MN.
- 3)MN = AM (сторони ромба). Тому BM = AM: M — середина AB.
- 4)AM = 18 : 2 = 9 (см), $P_{AMNK}=4\cdot9=36$ (см).
Відповідь: 36 см.
Ознаки ромба: як довести, що паралелограм — ромб
Теорема (ознаки ромба). Паралелограм є ромбом, якщо в ньому:
- дві сусідні сторони рівні, або
- діагоналі перетинаються під прямим кутом, або
- діагональ ділить навпіл кути паралелограма.
Усі три ознаки починаються словами «якщо в паралелограмі». Тому спершу треба знати, що чотирикутник — паралелограм.
Ознака 1. Дано: паралелограм ABCD, AB = AD.
Паралелограм ABCD з рівними сусідніми сторонами AB і AD.
- 1)Протилежні сторони паралелограма рівні: CD = AB, BC = AD.
- 2)Тоді AB = BC = CD = AD, отже, ABCD — ромб.
Ознака 2. Дано: паралелограм ABCD, AC ⊥ BD.
Прямокутні трикутники AOB і AOD мають спільний катет AO.
- 1)BO = OD (діагоналі паралелограма діляться навпіл).
- 2)△AOB = △AOD (за двома катетами): катет AO спільний, BO = OD.
- 3)Звідси AB = AD. За ознакою 1 ABCD — ромб.
Ознака 3. Дано: паралелограм ABCD, діагональ DB ділить кут D навпіл: ∠1 = ∠2.
∠1 = ∠2 за умовою, ∠3 = ∠2 як внутрішні різносторонні.
- 1)AB ∥ DC, DB — січна, тому ∠3 = ∠2 (внутрішні різносторонні кути).
- 2)Тоді ∠1 = ∠3. У △ABD два кути рівні, отже, він рівнобедрений: AB = AD.
- 3)За ознакою 1 ABCD — ромб.
Приклад 14. Доведи: якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він ромб
Дано: чотирикутник ABCD, AB = BC = CD = DA.
Про паралельність сторін нічого не відомо — лише про їхню довжину.
Доведення.
- 1)Протилежні сторони попарно рівні: AB = CD, BC = DA. За ознакою паралелограма ABCD — паралелограм.
- 2)Сусідні сторони паралелограма рівні. За ознакою 1 ABCD — ромб.
Це твердження часто потрібне в інших задачах: досить показати, що всі чотири сторони рівні.
Приклад 15. Чи правильні твердження?
| 1) | Паралелограм з перпендикулярними діагоналями — ромб. Так, ознака 2 |
| 2) | Чотирикутник з перпендикулярними діагоналями — ромб. Ні, креслення нижче |
| 3) | Діагоналі паралелограма не перпендикулярні — тоді він не ромб. Так: у ромба вони завжди перпендикулярні |
| 4) | Діагоналі будь-якого ромба рівні. Ні, див. нижче |
| 5) | Ромб з одним прямим кутом має всі кути прямі. Так |
До пункту 2: діагоналі перпендикулярні, але AB і BC різні.
До пункту 4. У ромбі з прикладу 3 кути трикутника AOB — 24° і 66°. Проти більшого кута лежить більша сторона, тому AO більше за BO.
Отже, і діагональ AC довша за BD.
До пункту 5. Протилежний до прямого кут теж 90°. Сусідні: 180° − 90° = 90°, тож усі кути прямі.
А якщо треба довести для іншого чотирикутника
Часто ромб ховається всередині іншої фігури. Тоді спершу доводимо, що фігура — паралелограм. Потім шукаємо перпендикулярні діагоналі або рівні сусідні сторони.
Приклад 16. У ромбі ABCD на діагоналі BD позначено точки K і L так, що BK = DL. Доведи, що AKCL — ромб
Розглянемо два випадки розміщення точок.
Випадок 1. K лежить між B і O, L — між O і D.
OK = OB − BK, OL = OD − DL.
- 1)OB = OD (діагоналі ромба діляться навпіл), BK = DL за умовою.
- 2)OK = OB − BK, OL = OD − DL, тому OK = OL.
- 3)Діагоналі AC і KL чотирикутника AKCL точкою O діляться навпіл: AO = OC, OK = OL. Отже, AKCL — паралелограм (ознака паралелограма).
- 4)KL лежить на BD, а AC ⊥ BD. Діагоналі паралелограма AKCL перпендикулярні — AKCL ромб (ознака 2).
Випадок 2. K лежить між O і D, L — між B і O.
Тепер OK = BK − OB, OL = DL − OD.
- 1)OK = BK − OB, OL = DL − OD, тому знову OK = OL.
- 2)K і L лежать по різні боки від O, отже, O — середина KL.
- 3)Далі — як у випадку 1: AKCL — паралелограм, його діагоналі перпендикулярні, тож AKCL — ромб.
Приклад 17. Пряма, перпендикулярна до діагоналі BD прямокутника ABCD, проходить через її середину O. Вона перетинає AD у точці M, а BC — у точці N. Доведи, що BMDN — ромб
MN ⊥ BD, O — середина BD.
Доведення.
- 1)BO = OD (O — середина BD), ∠BON = ∠DOM (вертикальні кути).
- 2)BC ∥ AD, BD — січна, тому ∠OBN = ∠ODM (внутрішні різносторонні кути).
- 3)△BON = △DOM (за стороною і двома прилеглими до неї кутами). Звідси ON = OM.
- 4)Діагоналі BD і MN чотирикутника BMDN точкою O діляться навпіл — BMDN паралелограм.
- 5)MN ⊥ BD — за ознакою 2 BMDN ромб.
Приклад 18. Діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні й точкою O діляться навпіл. Доведи, що ABCD — ромб, через рівність сторін
Чотири прямокутні трикутники при точці O рівні.
Доведення.
- 1)Трикутники AOB, COB, COD і AOD прямокутні: кут при O прямий.
- 2)Катети в них однакові: AO = OC і BO = OD. Отже, усі чотири трикутники рівні (за двома катетами).
- 3)Гіпотенузи рівних трикутників рівні: AB = CB = CD = AD.
- 4)Усі сторони рівні — за прикладом 14 ABCD ромб.
Цей шлях знадобиться, коли ромб утворюють відрізки всередині іншої фігури. Шукай чотири рівні прямокутні трикутники: їхні гіпотенузи — сторони ромба.
Як побудувати ромб
Для побудови потрібні циркуль і лінійка. Кожну побудову закінчуємо поясненням, чому вийшов саме ромб.
За стороною і діагоналлю.
Кола з центрами A і C мають радіус, що дорівнює стороні.
- 1)Відклади відрізок AC, що дорівнює діагоналі.
- 2)З центрами A і C проведи кола, радіус яких дорівнює стороні.
- 3)Точки перетину кіл — вершини B і D. Сполучи їх з A і C.
- 4)AB = BC = CD = DA — усі дорівнюють радіусу. За прикладом 14 ABCD — ромб.
Кола перетнуться, лише якщо сторона довша за половину діагоналі.
За двома діагоналями.
Діагоналі AC і BD перпендикулярні й діляться точкою O навпіл.
- 1)Відклади першу діагональ AC і побудуй серединний перпендикуляр до неї, як у 7 класі. Він перетне AC в її середині O.
- 2)На перпендикулярі від O в обидва боки відклади по половині другої діагоналі: точки B і D.
- 3)Діагоналі ABCD діляться навпіл — це паралелограм. Вони перпендикулярні — за ознакою 2 це ромб.
За стороною і кутом.
Кола з центрами B і D перетинаються в точці C.
- 1)Побудуй кут A, що дорівнює заданому куту.
- 2)На його сторонах відклади AB і AD, рівні стороні ромба.
- 3)З центрами B і D проведи кола того самого радіуса. Їхня точка перетину, відмінна від A, — вершина C.
- 4)Усі сторони ABCD рівні — за прикладом 14 це ромб.
Щоб накреслити ромб з гострим кутом A, почни з гострого кута A. Якщо задано тупий кут B, будуй кут A = 180° − ∠B. Далі — ті самі кроки.
Як перевірити себе
Склади кути трикутника AOB. Два гострі кути разом мають дати 90°. У прикладі 3: 24° + 66° = 90°.
Порівняй з 45°. Кут між діагоналлю і стороною менший за 45° — діагональ з гострого кута. Більший — з тупого.
Склади сусідні кути. Гострий і тупий кути ромба разом дають 180°. У прикладі 8: 48° + 132° = 180°.
Перевір периметр. Поділи його на 4 — має вийти сторона ромба, бо всі чотири сторони ромба рівні. Наприклад, периметр 36 см дає сторону 36 : 4 = 9 (см).
Перечитай доведення. Перед ознакою ромба має стояти рядок «… — паралелограм». Якщо його немає, доведення неповне.
Де найчастіше помиляються
1. Кут між діагоналлю і стороною прийняли за кут ромба
Завдання: діагональ AC ромба ABCD утворює зі стороною кут 25°. Знайди кути ромба.
Біля вершини A два кути по 25°. Кут ромба — обидва разом.
Неправильно
| ∠A = 25° |
| ∠B = 180° − 25° = 155° |
Правильно
| ∠A = 2 · 25° = 50° |
| ∠B = 180° − 50° = 130° |
Як помітити: подивись на трикутник AOB. Кут при O прямий, при A — 25°, тому при B — 65°.
Це половина кута B: 2 · 65° = 130°. У неправильному розв'язку вийшло 155°.
2. Суму трьох сторін поділили на 4
Завдання: сума трьох сторін ромба 24 см. Знайди його периметр.
Неправильно
| Сторона: 24 : 4 = 6 (см) |
| P = 4 · 6 = 24 (см) |
Правильно
| Сторона: 24 : 3 = 8 (см) |
| P = 4 · 8 = 32 (см) |
Як помітити: периметр вийшов рівним сумі трьох сторін. А сторін чотири, тож периметр має бути більшим.
3. Перпендикулярні діагоналі вважають ознакою для будь-якого чотирикутника
Завдання: діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні. Чи обов'язково ABCD — ромб?
Неправильно
| AC ⊥ BD — ознака 2 ромба |
| Відповідь: так, це ромб |
Правильно
| Ознака 2 діє лише для паралелограма |
| Що ABCD — паралелограм, не відомо |
| Відповідь: ні, необов'язково |
Діагоналі перпендикулярні, але сторони AB і BC різні.
Як помітити: спитай себе, чи діляться діагоналі навпіл. На кресленні AO набагато коротше за OC.
4. Переніс властивість прямокутника на ромб
Завдання: у ромбі ABCD ∠A = 48°. Знайди кути трикутника AOB.
Кут при O прямий, а відрізки AO і BO різні.
Неправильно
| AO = BO: ∠OBA = ∠OAB = 24° |
| ∠AOB = 180° − 24° − 24° = 132° |
Правильно
| ∠AOB = 90°, ∠OAB = 24° |
| ∠OBA = 90° − 24° = 66° |
Як помітити: діагоналі ромба перпендикулярні, тому кут при O завжди 90°. Рівні половинки діагоналей — у прямокутнику.
Спробуй сам
- Периметр ромба 34 см. Знайди його сторону.
- Сума трьох сторін ромба 33 см. Знайди його периметр.
- Гострий кут ромба 64°. Які кути утворюють діагоналі з його стороною?
- Діагональ ромба утворює зі стороною кут 62°. Знайди кути ромба.
- У ромбі ABCD ∠B = 136°, O — точка перетину діагоналей. Знайди кути трикутника AOB.
- Знайди кути ромба, якщо: 1) сума двох його кутів 150°; 2) один з них на 24° більший за другий.
- Зовнішній кут ромба ABCD при вершині C дорівнює 76°. Знайди кут між діагоналлю AC і стороною AB.
- Сторона ромба утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2 : 7. Знайди кути ромба.
- Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 34°. Знайди кути ромба.
- Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють кут 150°. Знайди кути ромба.
- Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону навпіл. Менша діагональ 11 см. Знайди кути і периметр ромба.
- У рівносторонній трикутник з периметром 42 см вписано ромб. Один кут у них спільний, а четверта вершина ромба лежить на стороні трикутника. Знайди периметр ромба.
- Діагональ AC паралелограма ABCD утворює рівні кути зі сторонами AB і AD. Доведи, що ABCD — ромб.
- У паралелограмі ABCD ∠ABD = ∠ADB. Доведи, що ABCD — ромб.
- Опиши, як побудувати ромб, діагоналі якого 6 см і 4 см.
Перевірити відповіді
- 8,5 см.
- 44 см.
- 32° і 58°.
- 124°, 56°, 124°, 56°.
- ∠ABO = 68°, ∠BAO = 22°, ∠AOB = 90°.
- 1) 75°, 105°, 75°, 105°; 2) 78°, 102°, 78°, 102°.
- 52°.
- 40°, 140°, 40°, 140°.
- 68°, 112°, 68°, 112°.
- 30°, 150°, 30°, 150°.
- 60°, 120°, 60°, 120°; 44 см.
- 28 см.
- Діагональ AC ділить навпіл кут A паралелограма — за ознакою 3 ABCD ромб.
- У △ABD кути при B і D рівні, тому він рівнобедрений: AB = AD. Сусідні сторони паралелограма рівні — ромб (ознака 1).
- Відклади AC = 6 см, побудуй серединний перпендикуляр до AC. На ньому від середини O відклади в обидва боки по 2 см.
Повний розв'язок завдання 9
Нехай BK — висота до сторони AD, BD — діагональ, ∠KBD = 34°.
Трикутник BKD прямокутний, ∠KBD = 34°.
| 1) | У △BKD ∠K = 90°: ∠BDK = 90° − 34° = 56° |
| 2) | ∠ADC = 2 · 56° = 112° (BD — бісектриса кута D) |
| 3) | ∠A = 180° − 112° = 68° |
Повний розв'язок завдання 11
Нехай BK — висота з вершини тупого кута B, K — середина AD, BD = 11 см.
AK = KD, BK ⊥ AD, BD = 11 см.
- 1)△ABK = △DBK (за двома катетами): AK = KD, BK спільний. Отже, AB = DB.
- 2)AB = AD = BD — △ABD рівносторонній: ∠A = 60°, ∠B = 180° − 60° = 120°.
- 3)Сторона AB = BD = 11 см, $P_{ABCD}=4\cdot11=44$ (см).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіша причина — кут між діагоналлю і стороною прийняли за кут ромба.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чим ромб відрізняється від паралелограма. Досить сказати: усі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні й ділять кути навпіл.
Корисне запитання: діагональ утворює зі стороною 30°, які кути в ромба? Правильна відповідь — 60° і 120°, а не 30° і 150°.
Ще одна перевірка: чи досить перпендикулярних діагоналей, щоб чотирикутник був ромбом. Ні — спершу треба знати, що це паралелограм.