Ти навчишся впізнавати трапецію, називати її основи й бічні сторони та знаходити невідомі кути. Ще ти розберешся з прямокутною і рівнобічною трапецією: як знаходити їхні кути й основи та як доводити, що трапеція рівнобічна.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке трапеція
Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші непаралельні.
Паралельні сторони називають основами трапеції, а непаралельні — бічними сторонами.
Трапеція ABCD: AD ∥ BC — основи (сині), AB і CD — бічні сторони (помаранчеві).
У паралелограма паралельні обидві пари протилежних сторін. А в трапеції паралельна лише одна пара. Тому паралелограм, прямокутник, ромб і квадрат трапеціями не є.
Основи не обов'язково лежать горизонтально і не обов'язково називаються AD і BC. Щоб знайти основи, шукай сторони, які паралельні.
У трапеції EFGH паралельні сторони EF і GH, тому саме вони є основами, хоча стоять вертикально. FG і HE — бічні сторони.
Властивості трапеції
Властивості трапеції:
- сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°;
- трапеція є опуклим чотирикутником.
Однаковим кольором позначено кути при одній бічній стороні. Сума кожної такої пари — 180°.
Чому сума кутів при бічній стороні дорівнює 180°. Основи AD і BC паралельні, а бічна сторона AB — їх січна. Кути A і B — внутрішні односторонні, тому разом вони дають 180°.
Чому трапеція опукла. Сума двох кутів при бічній стороні дорівнює 180°, тому кожен з них менший за 180°. Отже, у трапеції немає кута, більшого за розгорнутий.
Зверни увагу: кути при одній основі, наприклад A і D, у сумі 180° не дають. До 180° доповнюють лише кути, що лежать при одній бічній стороні.
Діагональ і основи. Діагональ BD перетинає обидві основи, тобто є їхньою січною. Тому кути ADB і CBD рівні: це внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній BD.
Однакові дужки — рівні кути ADB і CBD.
Приклад 1. Два кути трапеції дорівнюють 35° і 120°. Знайди два інші кути
Спершу перевіримо, чи можуть ці кути лежати при одній бічній стороні. Сума 35° + 120° = 155° відрізняється від 180°. Тому ці кути лежать при різних бічних сторонах.
∠A = 35° при бічній стороні AB, ∠C = 120° при бічній стороні CD.
Розв'язання.
- 1)Кути A і B прилеглі до бічної сторони AB:
∠B = 180° − 35° = 145°. - 2)Кути C і D прилеглі до бічної сторони CD:
∠D = 180° − 120° = 60°.
Відповідь: 145° і 60°.
Приклад 2. У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути дорівнюють 65° і 115°. Чи можна знайти два інші кути?
Рівнобічною називають трапецію з рівними бічними сторонами. Нижче в статті доведено її ознаку: якщо кути при одній основі рівні, то трапеція рівнобічна.
Розв'язання. Припустимо, що кути лежать при різних бічних сторонах: ∠A = 65°, ∠C = 115°. Тоді ∠B = 180° − 65° = 115° і ∠D = 180° − 115° = 65°.
Кути A і D при основі AD вийшли рівними, тож трапеція була б рівнобічною. За умовою це не так.
Кути при одній основі, наприклад ∠A = 65° і ∠D = 115°, теж не підходять. Їхня сума 180°, тоді AB ∥ CD, і вийшов би паралелограм. Отже, кути 65° і 115° лежать при одній бічній стороні AB.
∠A = 65° і ∠B = 115° — кути при одній бічній стороні AB.
Про кути C і D тепер відомо лише те, що їхня сума 180°. Таких трапецій можна накреслити багато: з ∠D = 45°, з ∠D = 70° тощо. Тому знайти кути C і D не можна.
Відповідь: ні, не можна.
Приклад 3. Чи можуть кути трапеції, узяті по черзі, відноситися як 1 : 2 : 4 : 5?
Розв'язання. Позначимо кути $x$, $2x$, $4x$ і $5x$. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
| $x+2x+4x+5x=360^\circ$ |
| $12x=360^\circ$, $x=30^\circ$ |
| Кути: 30°, 60°, 120°, 150°. |
Кути, узяті по черзі, — це кути при сусідніх вершинах. Перевіримо суми сусідніх кутів:
- 30° + 60° = 90°;
- 60° + 120° = 180°;
- 120° + 150° = 270°;
- 150° + 30° = 180°.
Кути B і C лежать при стороні BC і разом дають 180°. Це внутрішні односторонні кути при прямих AB і DC та січній BC, тому AB ∥ DC.
Кути A і B разом дають лише 90°, тому сторони AD і BC непаралельні. Отже, AB і DC — основи, а BC і DA — бічні сторони.
∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D = 150°. Основи — AB і DC. Однаковим кольором позначено кути при одній бічній стороні.
Отже, така трапеція існує. Її основи — AB і DC, а не AD і BC, як ми звикли.
Відповідь: так, можуть.
Якщо сума 180° вийде для всіх чотирьох пар сусідніх кутів, то паралельні обидві пари сторін. Такий чотирикутник є паралелограмом, тож трапецією він не буде.
Приклад 4. Чи існує трапеція, у якої три кути гострі?
Розв'язання. Два гострі кути разом дають менше ніж 180°. Тому при одній бічній стороні не можуть лежати два гострі кути.
Бічних сторін дві, і при кожній — щонайбільше один гострий кут. Отже, гострих кутів у трапеції не більше двох.
Відповідь: ні, не існує.
Так само міркують і про інші запитання «чи існує трапеція». У таблиці зібрано найчастіші з них.
| Трапеція, у якої… | Чи існує | Чому |
|---|---|---|
| основи рівні | ні | Дві рівні й паралельні сторони має паралелограм. |
| два протилежні кути рівні | ні | Якщо ∠A = ∠C, то ∠B = 180° − ∠A і ∠D = 180° − ∠C теж рівні. Чотирикутник з попарно рівними протилежними кутами — паралелограм. |
| три кути прямі | ні | Четвертий кут теж прямий, а це прямокутник. |
| два протилежні кути гострі або тупі | так | При кожній бічній стороні один кут гострий, а другий тупий. |
| три сторони рівні | так | Бічні сторони можуть дорівнювати меншій основі. |
Задачі з додатковими лініями
Іноді в задачі продовжують бічні сторони або проводять відрізок, паралельний бічній стороні. Тоді шукай трикутник, у якому вже відомі два кути, і рівні кути при паралельних прямих.
Приклад 5. Прямі AB і CD, що містять бічні сторони трапеції ABCD з основами AD і BC, перетинаються в точці E. ∠AED = 50°, ∠ECB = 60°. Знайди кути трапеції
AD ∥ BC, ∠AED = 50°, ∠ECB = 60°.
Розв'язання.
- 1)BC ∥ AD, а пряма ED — їх січна. Кути ECB і EDA відповідні, тому ∠D = 60°.
- 2)У △AED:
∠A = 180° − 50° − 60° = 70°. - 3)Кути при бічних сторонах дають 180°:
∠B = 180° − 70° = 110°, ∠C = 180° − 60° = 120°.
Відповідь: ∠A = 70°, ∠B = 110°, ∠C = 120°, ∠D = 60°.
Висота трапеції
Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки основи до прямої, що містить протилежну основу.
Найчастіше висоту проводять з вершини. Якщо обидва кути при більшій основі гострі, як на кресленні, то висота з вершини тупого кута падає на саму основу. Висота з вершини гострого кута завжди падає на продовження протилежної основи.
BK — висота з вершини тупого кута B. DM — висота з вершини гострого кута D, точка M лежить на продовженні BC.
Усі висоти однієї трапеції рівні. Дві висоти й відрізки основ між ними утворюють прямокутник, а протилежні сторони прямокутника рівні.
Висота з вершини тупого кута відтинає від трапеції прямокутний трикутник: висота в ньому — катет, а бічна сторона — гіпотенуза. Тому за кутом між висотою і бічною стороною знаходять гострий кут трапеції.
Наприклад, висота BK утворює з бічною стороною AB кут 35°. Гострі кути прямокутного трикутника ABK разом дають 90°, тому ∠A = 90° − 35° = 55°.
Прямокутна трапеція
Трапецію називають прямокутною, якщо один з її кутів прямий. Тоді прямим є й другий кут при цій бічній стороні: кути при бічній стороні дають 180°, тому другий дорівнює 180° − 90° = 90°. Два інші кути лежать при другій бічній стороні: один гострий, другий тупий, і разом вони теж дають 180°.
∠A = ∠B = 90°. Бічна сторона AB є висотою, а CK — ще одна висота.
Бічна сторона AB перпендикулярна до основ, тому вона є висотою. Вона коротша за іншу бічну сторону CD. CD — гіпотенуза прямокутного трикутника CKD, а CK = AB — його катет, а катет коротший за гіпотенузу.
Висота CK відтинає від прямокутної трапеції прямокутник ABCK. Тому CK = AB і AK = BC. У задачах про прямокутну трапецію майже завжди розглядають прямокутний трикутник CKD.
Приклад 6. Більша бічна сторона прямокутної трапеції вдвічі довша за меншу. Знайди кути трапеції
ABCD — прямокутна трапеція, ∠A = ∠B = 90°, CD = 2AB, CK — висота.
Розв'язання.
- 1)Проведемо висоту CK. ABCK — прямокутник, тому CK = AB.
- 2)У прямокутному трикутнику CKD катет CK удвічі коротший за гіпотенузу CD.
- 3)Якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут проти нього дорівнює 30° (факт 7 класу). Проти катета CK лежить кут D, тому ∠D = 30°.
- 4)∠C = 180° − 30° = 150°.
Відповідь: 90°, 90°, 150°, 30°.
Так само розв'язують задачу про рівнобічну трапецію, у якої бічна сторона вдвічі більша за висоту. Висота відтинає прямокутний трикутник, у якому вона є катетом, а бічна сторона — гіпотенузою. Тому гострий кут трапеції теж дорівнює 30°.
Приклад 7. У прямокутній трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, CD = 10 см, AD = 13 см. Знайди меншу основу BC
CK — висота, ∠D = 60°.
Допоможе факт 7 класу: катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Розв'язання.
- 1)Проведемо висоту CK. У △CKD:
∠KCD = 90° − 60° = 30°. - 2)Катет KD лежить проти кута 30°, тому
KD = 10 : 2 = 5 (см). - 3)AK = AD − KD = 13 − 5 = 8 (см).
- 4)ABCK — прямокутник, тому BC = AK = 8 см.
Відповідь: 8 см.
Якщо ∠D = 45°, то в трикутнику CKD обидва гострі кути по 45°. Тоді він рівнобедрений, і KD = CK = AB.
Рівнобічна трапеція
Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони рівні. Кути, прилеглі до однієї основи, називають кутами при основі, як у рівнобедреному трикутнику.
Властивості рівнобічної трапеції:
- кути при основі рівні;
- діагоналі рівні.
AB = CD. ∠A = ∠D і ∠B = ∠C. BK і CM — висоти.
Чому кути при основі рівні. Проведемо висоти BK і CM. BKMC — прямокутник, тому BK = CM.
Прямокутні трикутники ABK і DCM рівні за катетом і гіпотенузою: BK = CM, AB = DC. Тому ∠A = ∠D.
Кути B і C доповнюють рівні кути A і D до 180°, тому вони теж рівні.
У трикутниках ABD і DCA сторона AD спільна.
Чому діагоналі рівні. У трикутниках ABD і DCA: AB = DC, AD — спільна сторона, ∠BAD = ∠CDA. Отже, △ABD = △DCA (за двома сторонами та кутом між ними), і AC = BD.
Тому в рівнобічній трапеції два гострі кути рівні між собою і два тупі кути теж рівні. Гострий і тупий кути разом дають 180°.
Приклад 8. O — точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції ABCD з основами AD і BC. Доведи, що AO = OD і BO = OC
∠OAD = ∠ODA, тому △AOD рівнобедрений.
Доведення.
- 1)У трикутниках ABD і DCA: AB = DC, AD — спільна сторона, ∠BAD = ∠CDA. Тому △ABD = △DCA (за двома сторонами та кутом між ними), і ∠ADB = ∠DAC, тобто ∠ODA = ∠OAD.
- 2)У △AOD два кути рівні, тому він рівнобедрений: AO = OD.
- 3)Діагоналі рівні: AC = BD. Тому OC = AC − AO = BD − OD = OB.
У підручнику цю задачу позначено ключиком: її висновок можна використовувати в інших задачах.
Відрізки, які висоти відтинають на більшій основі
Приклад 9. Основи рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють AD = 15 см і BC = 9 см. BK і CM — висоти. Знайди AK і AM
BK і CM — висоти з вершин тупих кутів, BKMC — прямокутник.
Розв'язання.
- 1)BKMC — прямокутник, тому KM = BC = 9 см.
- 2)△ABK = △DCM (за катетом і гіпотенузою: BK = CM, AB = DC). Тому AK = MD.
- 3)На два рівні відрізки AK і MD припадає
15 − 9 = 6 (см). Тому AK = MD = 6 : 2 = 3 (см). - 4)AM = AD − MD = 15 − 3 = 12 (см).
Відповідь: AK = 3 см, AM = 12 см.
Візьмемо будь-яку рівнобічну трапецію з основами $a$ і $b$ ($a\gt b$). Висоти з її вершин тупих кутів ділять більшу основу на три частини. Середня частина дорівнює меншій основі, а дві крайні рівні між собою.
| $AK=MD=\frac{a-b}{2}$ |
| $AM=KD=\frac{a+b}{2}$ |
Перша формула — половина різниці основ, бо крайні відрізки разом дорівнюють $a-b$. Друга — сума крайнього відрізка і середнього:
$\frac{a-b}{2}+b=\frac{a+b}{2}$.
Буває й обернена задача: відомі відрізки, на які висота з вершини тупого кута ділить більшу основу. Наприклад, AK = 3 см і KD = 10 см.
BK — висота, AK = 3 см, KD = 10 см.
Більша основа дорівнює сумі відрізків: 3 + 10 = 13 (см). Менша основа дорівнює їхній різниці: 10 − 3 = 7 (см). Довший відрізок KD складається з частини під меншою основою, яка дорівнює BC, і крайнього відрізка, який дорівнює AK.
Кути рівнобічної трапеції з діагоналлю
Якщо в умові діагональ дорівнює якійсь стороні, шукай рівнобедрений трикутник. Його кути при основі рівні, а сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Приклад 10. У рівнобічній трапеції ABCD бічна сторона AB дорівнює меншій основі BC, а діагональ AC утворює з основою BC кут 25°. Знайди кути трапеції
AB = BC = CD, ∠BCA = 25°.
Розв'язання.
- 1)AB = BC, тому △ABC рівнобедрений: ∠BAC = ∠BCA = 25°.
- 2)BC ∥ AD, AC — січна, тому ∠CAD = ∠BCA = 25° (як внутрішні різносторонні).
- 3)∠A = ∠BAC + ∠CAD = 25° + 25° = 50°.
- 4)∠D = ∠A = 50°, ∠B = ∠C = 180° − 50° = 130°.
Відповідь: 50°, 130°, 130°, 50°.
Приклад 11. У рівнобічній трапеції ABCD з більшою основою AD відомо, що AD = CD і ∠BAC = 30°. Знайди кути трапеції
AB = CD = AD, ∠BAC = 30°.
Розв'язання. Позначимо ∠CAD = $x$.
- 1)AD = CD, тому △ACD рівнобедрений з основою AC:
∠DCA = ∠DAC = $x$. - 2)∠A = ∠BAC + ∠CAD = 30° + $x$. Кути при основі рівні, тому ∠D = 30° + $x$.
- 3)Сума кутів △ACD:
$x+x+(30^\circ+x)=180^\circ$, $3x=150^\circ$, $x=50^\circ$. - 4)∠A = ∠D = 30° + 50° = 80°, ∠B = ∠C = 180° − 80° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 100°, 80°.
Приклад 12. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, а основи дорівнюють 14 см і 6 см. Знайди висоту трапеції
AC ⊥ BD, KM — висота, що проходить через точку O.
Знадобиться факт 7 класу: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
Розв'язання.
- 1)Проведемо через точку O висоту KM, перпендикулярну до обох основ.
- 2)У рівнобічній трапеції діагоналі точкою перетину відтинають рівні відрізки AO і OD (доведено в прикладі 8). Крім того, ∠AOD = 90°. Отже, △AOD прямокутний і рівнобедрений з гіпотенузою AD.
- 3)Прямокутні трикутники AOM і DOM рівні за гіпотенузою і катетом: AO = OD, OM — спільний катет. Тому AM = MD, і OM — медіана △AOD. Медіана до гіпотенузи дорівнює її половині:
OM = 14 : 2 = 7 (см). - 4)Так само в △BOC:
OK = 6 : 2 = 3 (см). - 5)KM = OK + OM = 3 + 7 = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
Висота вийшла рівною півсумі основ: (14 + 6) : 2 = 10. Так буває в кожній рівнобічній трапеції з перпендикулярними діагоналями, бо міркування не залежить від чисел. Це теж «ключова» задача: висота дорівнює $\frac{a+b}{2}$.
Ознаки рівнобічної трапеції
Теорема (ознака рівнобічної трапеції). Якщо в трапеції кути при одній основі рівні, то трапеція рівнобічна.
∠A = ∠D, висоти BK і CM рівні.
Доведення для кутів при більшій основі AD.
- 1)Проведемо висоти BK і CM. BKMC — прямокутник, тому BK = CM.
- 2)Прямокутні трикутники BAK і CDM рівні за катетом і протилежним кутом: BK = CM, ∠A = ∠D. Тому AB = DC.
Якщо рівні кути при меншій основі, то рівні й кути при більшій. Вони доповнюють рівні кути до 180°, тому трапеція теж рівнобічна.
Приклад 13. У трапеції ABCD з основами AD і BC ∠B + ∠D = 180°. Доведи, що трапеція рівнобічна
Кути B і D разом дають 180°.
Доведення.
- 1)Кути A і B прилеглі до бічної сторони AB, тому ∠A = 180° − ∠B.
- 2)За умовою ∠D = 180° − ∠B. Отже, ∠A = ∠D.
- 3)Кути при основі AD рівні, тому трапеція рівнобічна (за ознакою).
Приклад 14. Діагоналі трапеції ABCD рівні. Доведи, що вона рівнобічна
AC = BD, BK і CM — висоти.
Доведення.
- 1)Проведемо висоти BK і CM. BKMC — прямокутник, тому BK = CM.
- 2)Прямокутні трикутники BKD і CMA рівні за гіпотенузою і катетом: BD = CA, BK = CM. Тому ∠BDA = ∠CAD.
- 3)У трикутниках ABD і DCA: AD — спільна сторона, BD = CA, ∠BDA = ∠CAD. Тому △ABD = △DCA (за двома сторонами та кутом між ними).
- 4)Звідси AB = DC, тобто трапеція рівнобічна.
Це «ключова» вправа підручника. Її висновок — ще одна ознака рівнобічної трапеції: трапеція з рівними діагоналями рівнобічна.
Бісектриси кутів трапеції
Приклад 15. Діагональ BD трапеції ABCD з основами AD і BC ділить кут D навпіл. Доведи, що CD = BC
Однакові дужки — рівні кути CDB, BDA і CBD.
Доведення.
- 1)∠CDB = ∠BDA, бо BD — бісектриса кута D.
- 2)∠CBD = ∠BDA (як внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BD).
- 3)Отже, ∠CDB = ∠CBD, і △BCD рівнобедрений: CD = BC.
Це «ключова» вправа: бісектриса кута при основі відтинає від трапеції рівнобедрений трикутник.
Приклад 16. Бісектриси кутів C і D трапеції ABCD з основами AD і BC перетинаються в точці O. Доведи, що ∠COD = 90°
CO і DO — бісектриси кутів C і D.
Доведення.
- 1)Кути C і D прилеглі до бічної сторони CD, тому ∠C + ∠D = 180°.
- 2)Бісектриси ділять ці кути навпіл:
∠OCD + ∠ODC = 180° : 2 = 90°. - 3)У △COD:
∠COD = 180° − 90° = 90°.
Як накреслити й побудувати трапецію
Будь-яка трапеція. Проведи дві паралельні прямі, наприклад по лініях клітинок або за допомогою лінійки й косинця. На кожній прямій познач відрізок, і довжини цих відрізків візьми різними.
Сполучи лівий кінець одного відрізка з лівим кінцем другого, а правий — з правим: вийде трапеція. Якщо відрізки будуть рівними, вийде паралелограм.
Прямокутна трапеція. Накресли відрізок AD і в точці A побудуй косинцем прямий кут. Відклади на його стороні відрізок AB.
Через B проведи пряму, паралельну AD, і познач на ній точку C так, щоб BC ≠ AD. Потім сполучи точки C і D.
Рівнобічна трапеція. Накресли більшу основу AD. На ній від точок A і D у бік середини відклади рівні відрізки AK і MD.
У точках K і M проведи перпендикуляри однакової довжини: їхні кінці — вершини B і C. Сполучи A з B, B з C і C з D. Бічні сторони вийдуть рівними, бо трикутники ABK і DCM рівні за двома катетами.
Побудова за основами $a$ і $b$ ($a\gt b$) і бічними сторонами $c$ і $d$. Якщо через вершину C провести пряму, паралельну AB, вона відітне від трапеції паралелограм ABCM і трикутник CMD. У цьому трикутнику відомі всі три сторони.
ABCM — паралелограм, тому CM = AB і AM = BC. Трикутник CMD має сторони a − b, c і d.
- Побудуй трикутник CMD за трьома сторонами: MD = $a-b$, CM = $c$, CD = $d$.
- На продовженні відрізка DM за точку M відклади MA = $b$.
- Через точку C проведи пряму, паралельну AD. Відклади на ній від точки C відрізок CB = $b$ у той самий бік, у який від M лежить точка A.
- ABCD — шукана трапеція. BC ∥ AM і BC = AM, тому ABCM — паралелограм, і AB = CM = $c$.
Трикутник CMD існує не завжди. Кожна його сторона має бути меншою від суми двох інших, інакше такої трапеції немає.
Як перевірити себе
Додай кути при бічних сторонах. Якщо ти знайшов усі чотири кути, додай кути при кожній бічній стороні. Кожна така сума має дорівнювати 180°, бо це внутрішні односторонні кути при паралельних основах.
Порівняй кути рівнобічної трапеції. Два гострі кути в неї рівні між собою, і два тупі кути теж рівні між собою. Якщо вийшло три різні кути, то помилка в розв'язанні або трапеція не рівнобічна.
Перевір основи за формулами. Висота рівнобічної трапеції з вершини тупого кута ділить більшу основу на два відрізки. Коротший дорівнює $\frac{a-b}{2}$, а довший — $\frac{a+b}{2}$. Підстав знайдені основи: мають вийти числа з умови.
Порівняй бічні сторони прямокутної трапеції. Висота — це менша бічна сторона, бо катет коротший за гіпотенузу. Якщо висота вийшла довшою за іншу бічну сторону, у розв'язанні є помилка.
Де найчастіше помиляються
1. До 180° доповнили кут при тій самій основі
Завдання: у трапеції ABCD з основами AD і BC ∠A = 70°, ∠C = 115°. Знайди ∠B і ∠D.
Помаранчеві дужки — кути при бічній стороні AB, сині — при бічній стороні CD.
Неправильно
| ∠D = 180° − 70° = 110° |
| ∠B = 180° − 115° = 65° |
Правильно
| ∠B = 180° − 70° = 110° |
| ∠D = 180° − 115° = 65° |
Як помітити: у неправильному розв'язку кут A доповнили кутом D, але вони лежать при одній основі AD. Перевір суму кутів при бічній стороні CD: 115° + 110° = 225°, а має бути 180°.
2. Переплутали відрізки на більшій основі
Завдання: висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 4 см і 9 см. Знайди основи.
Довший відрізок KD складається з KM, що дорівнює BC, і крайнього відрізка MD.
Неправильно
| AD = 4 + 9 = 13 (см) |
| BC = KD = 9 см |
Правильно
| AD = 4 + 9 = 13 (см) |
| MD = AK = 4 см |
| BC = KD − MD = 9 − 4 = 5 (см) |
Як помітити: відрізок KD складається з KM, рівного меншій основі BC, і крайнього відрізка MD. Крайні відрізки рівні, тому MD = AK = 4 см, і BC = KD − MD. Перевір: $\frac{13-5}{2}=4$, тож відповідь 13 см і 5 см правильна.
3. Паралелограм назвали трапецією
Завдання: кути чотирикутника, узяті по черзі, дорівнюють 70°, 110°, 70°, 110°. Чи є він трапецією?
Неправильно
| 70° + 110° = 180° |
| Відповідь: так, це трапеція |
Правильно
| Усі чотири суми сусідніх кутів — 180° |
| Паралельні обидві пари сторін |
| Відповідь: ні, це паралелограм |
Як помітити: у трапеції сума 180° виходить лише для двох пар сусідніх кутів. Якщо вона вийшла для всіх чотирьох пар, то протилежні кути попарно рівні, і чотирикутник — паралелограм.
Спробуй сам
- У чотирикутнику KLMN сторони KN і LM паралельні, а KL і MN — ні. Назви основи й бічні сторони.
- Два кути трапеції дорівнюють 48° і 105°. Знайди два інші кути.
- У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути дорівнюють 72° і 108°. Чи можна знайти два інші кути?
- BD — діагональ трапеції ABCD з основами AB і CD. Доведи, що ∠ABD = ∠CDB.
- Чи можуть кути трапеції, узяті по черзі, відноситися як 1 : 3 : 5 : 3?
- Чи існує трапеція, у якої два кути прямі, а два інші гострі?
- Прямі AB і CD, що містять бічні сторони трапеції ABCD з основами AD і BC, перетинаються в точці E. ∠AED = 40°, ∠EBC = 65°. Знайди кути трапеції.
- У трапеції ABCD з основами AD і BC на основі AD взято точку E так, що BE ∥ CD. ∠ABE = 55°, ∠BEA = 65°. Знайди кути трапеції.
- У прямокутній трапеції тупий кут на 70° більший за гострий. Знайди кути трапеції.
- У прямокутній трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 45°, AB = 6 см, AD = 15 см. Знайди BC.
- У прямокутній трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, CD = 14 см, BC = 9 см. Знайди AD.
- Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 см і 13 см, а бічна сторона — 4,5 см. Знайди периметр.
- Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 28°. Знайди кути трапеції.
- Основи рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють AD = 20 см і BC = 12 см, BK і CM — висоти. Знайди AK і AM.
- Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 5 см і 11 см. Знайди основи.
- Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює більшій основі й утворює з нею кут 50°. Знайди кути трапеції.
- У рівнобічній трапеції ABCD з більшою основою AD відомо, що AD = CD і ∠BAC = 12°. Знайди кути трапеції.
- Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, висота дорівнює 9 см, а менша основа — 5 см. Знайди більшу основу.
- У трапеції ABCD з основами AD і BC ∠A = 70°, ∠C = 110°. Чи є вона рівнобічною?
- Діагональ AC трапеції ABCD з основами AD і BC ділить кут A навпіл, BC = 6 см. Знайди AB.
- У прямокутній трапеції ABCD (∠A = ∠B = 90°) діагональ AC перпендикулярна до CD, ∠D = 60°, AD = 20 см. Знайди BC.
- Опиши, як побудувати трапецію з основами 7 см і 3 см і бічними сторонами 3 см і 5 см.
Перевірити відповіді
- Основи KN і LM; бічні сторони KL і MN.
- 132° і 75°.
- Ні. Протилежні кути 72° і 108° дали б рівнобічну трапецію, а кути 72° і 108° при одній основі — паралелограм. Отже, вони лежать при одній бічній стороні, а про два інші кути відомо лише, що їхня сума 180°.
- AB ∥ CD, BD — січна, кути ABD і CDB — внутрішні різносторонні.
- Ні: кути 30°, 90°, 150°, 90°, і жодна сума сусідніх кутів не дорівнює 180°.
- Ні. Якщо прямі кути лежать при одній бічній стороні, то при другій один кут гострий, а другий тупий. В інших випадках прямими виходять усі чотири кути, а це прямокутник.
- ∠A = 65°, ∠B = 115°, ∠C = 105°, ∠D = 75°.
- ∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠C = 115°, ∠D = 65°.
- 90°, 90°, 125°, 55°.
- 9 см.
- 16 см.
- 29 см.
- 62°, 118°, 118°, 62°.
- AK = 4 см, AM = 16 см.
- 16 см і 6 см.
- 65°, 115°, 115°, 65°.
- 68°, 112°, 112°, 68°.
- 13 см.
- Так: ∠D = 180° − 110° = 70° = ∠A, кути при основі AD рівні.
- 6 см: △ABC рівнобедрений, AB = BC.
- 15 см.
- Побудуй трикутник CMD зі сторонами MD = 7 − 3 = 4 см, CM = 3 см, CD = 5 см. Далі відклади MA = 3 см на продовженні DM і CB = 3 см на прямій через C, паралельній AD.
Повний розв'язок завдання 17
AB = CD = AD, ∠BAC = 12°.
- 1)Позначимо ∠CAD = $x$. △ACD рівнобедрений (AD = CD), тому ∠DCA = $x$.
- 2)∠D = ∠A = 12° + $x$.
- 3)Сума кутів △ACD:
$x+x+(12^\circ+x)=180^\circ$, $3x=168^\circ$, $x=56^\circ$. - 4)∠A = ∠D = 12° + 56° = 68°, ∠B = ∠C = 180° − 68° = 112°.
Повний розв'язок завдання 18
AC ⊥ BD, KM = 9 см, BC = 5 см.
- 1)△BOC і △AOD прямокутні й рівнобедрені, тому OK = BC : 2 і OM = AD : 2.
- 2)OK = 5 : 2 = 2,5 (см), тому
OM = 9 − 2,5 = 6,5 (см). - 3)AD = 2 · 6,5 = 13 (см).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіша причина в тому, що кут доповнили до 180° кутом при тій самій основі. Доповнювати треба кутом при тій самій бічній стороні.
Для батьків
Попросіть дитину показати на кресленні трапеції, які два кути разом дають 180°. Правильна відповідь — кути при одній бічній стороні, бо основи паралельні.
Корисне запитання: чи є прямокутник трапецією? Ні, бо в трапеції паралельна лише одна пара сторін, а в прямокутнику — обидві пари.
Ще одне запитання: чому в прямокутній трапеції висотою є саме менша бічна сторона? Ця сторона перпендикулярна до основ. Якщо з другого кінця меншої основи провести висоту, вийде прямокутний трикутник: висота в ньому — катет, а друга бічна сторона — гіпотенуза, тому вона довша.