Прямокутник: властивості діагоналей, кути й периметр, ознаки прямокутника — геометрія 8 клас

Приклад 1. Діагональ утворює з більшою стороною прямокутника кут 35°. Знайди кут між діагоналлю і меншою стороною та кути, які утворюють діагоналі

Трикутник AOD рівнобедрений: AO = DO.

Відповідь: 55°; діагоналі утворюють кути 70° і 110°.

Перевірка за пам'яткою: 2 · 35° = 70°, 180° − 70° = 110°.

Приклад 2. Діагональ ділить кут прямокутника на дві частини. Знайди їх

Умови: 1) одна частина на 30° більша за другу; 2) частини відносяться як 1 : 5. У пункті 2 знайди ще кут між діагоналями. Нехай діагональ BD ділить кут D.

Кут прямокутника прямий. Тому дві частини разом дають 90°.

Пункт 2: діагональ BD ділить кут D на x і 5x; трикутник OCD рівнобедрений.

Відповідь: 1) 30° і 60°; 2) 15° і 75°, кут між діагоналями 30°.

Чому 30°, а не 150°? Діагоналі утворюють кути 30° і 150°. Коли питають «кут між діагоналями», називають менший з них — не більший за 90°.

Коли питають про кут «проти меншої» чи «проти більшої сторони», це конкретний кут трикутника AOB чи AOD.

Приклад 3. Знайди кут між стороною і діагоналлю, якщо відомо, як він пов'язаний з кутом між діагоналями

1) Кут між меншою стороною і діагоналлю на 30° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

Нехай AB — менша сторона, а шуканий кут ∠BAO = y. Трикутник AOB рівнобедрений, тому ∠ABO = y.

AB — менша сторона; у рівнобедреному трикутнику AOB кути при основі по y.

Відповідь: 50°.

2) Кут між більшою стороною і діагоналлю на 30° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

Тепер шуканий кут — між діагоналлю і більшою стороною AD. Позначимо його z. За пам'яткою кут між діагоналями проти меншої сторони дорівнює 2z.

Кут z — між діагоналлю і більшою стороною AD; ∠AOB = 2z.

Відповідь: 30°.

Самоперевірка. З меншою стороною вийшло 50°, більше за 45°. З більшою — 30°, менше за 45°, як і має бути.

Приклад 4. Відрізок з точки O до середини сторони

1) У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O, E — середина сторони AB, ∠CAB = 64°. Знайди ∠DOE.

OE — медіана рівнобедреного трикутника AOB.

1. 1)△AOB рівнобедрений (AO = BO), тому ∠OBA = ∠OAB = 64°.
2. 2)∠AOB = 180° − 64° − 64° = 52°.
3. 3)OE — медіана, проведена до основи AB рівнобедреного трикутника. З 7 класу: вона є і бісектрисою.
4. 4)Тому ∠EOB = 52° : 2 = 26°.
5. 5)Точки D, O і B лежать на одній прямій, тому ∠DOE і ∠EOB суміжні: ∠DOE = 180° − 26° = 154°.

Відповідь: 154°.

2) OP — бісектриса трикутника AOB (P лежить на AB), ∠DOP = 140°. Знайди ∠CAB.

OP — бісектриса кута AOB; ∠DOP = 140°.

1. 1)∠POB = 180° − 140° = 40° (суміжні кути).
2. 2)∠AOB = 2 · 40° = 80° (OP — бісектриса).
3. 3)△AOB рівнобедрений: ∠OAB = (180° − 80°) : 2 = 50°.

Відповідь: ∠CAB = 50°.

Приклад 5. Знайди сторони прямокутника, периметр якого 56 см

Умови: 1) одна сторона на 6 см менша від другої; 2) сторони відносяться як 3 : 4.

Периметр — подвоєна сума двох сусідніх сторін. Тому сума сусідніх сторін: 56 : 2 = 28 (см).

Відповідь: 1) 11 см і 17 см; 2) 12 см і 16 см.

Якщо відомі обидві сторони, периметр рахуємо одразу. Сторони 6 см і 9 см: $P=2(6+9)=30$ (см).

Приклад 6. Периметр трикутника з половинками діагоналей

1) У прямокутнику ABCD AB = 9 см, AC = 16 см, O — точка перетину діагоналей. Знайди периметр трикутника AOB.

Сторони AO і BO трикутника AOB — половини діагоналей.

Відповідь: 25 см.

2) Периметр трикутника BOC дорівнює 30 см, діагональ BD = 18 см. Знайди сторону BC.

BO і CO — половини діагоналей, BC — третя сторона трикутника BOC.

Відповідь: 12 см.

Чому CO = 9 см? CO — половина діагоналі AC. А AC = BD = 18 см за властивістю 4.

Приклад 7. Перпендикуляри з точки перетину діагоналей до двох сусідніх сторін дорівнюють 5 см і 7 см. Знайди периметр прямокутника

OK = 5 см — половина сторони AB, OM = 7 см — половина сторони AD.

Покажемо, що перпендикуляр OK дорівнює половині сторони AB.

1. 1)Продовжимо KO до перетину з BC у точці L. OK ⊥ AD і BC ∥ AD, тому KL ⊥ BC.
2. 2)AB ⊥ AD і KL ⊥ AD, тому AB ∥ KL. А BL ∥ AK. Отже, ABLK — паралелограм, і KL = AB (протилежні сторони).
3. 3)△OKD = △OLB (за гіпотенузою і гострим кутом): OD = OB, ∠KOD = ∠LOB як вертикальні.
4. 4)Звідси OK = OL, тобто OK — половина KL: $OK=\frac{AB}{2}$.
5. 5)Так само OM — половина сторони AD.
6. 6)AB = 2 · 5 = 10 (см), AD = 2 · 7 = 14 (см).
7. 7)$P_{ABCD}=2(10+14)=48$ (см).

Відповідь: 48 см.

Коротко: перпендикуляр з точки O до сторони дорівнює половині сусідньої сторони.

Приклад 8. Бісектриса кута прямокутника ділить сторону навпіл. Знайди периметр

AK — бісектриса кута A; BK = KC, і трикутник ABK рівнобедрений.

Спершу з'ясуємо, яку сторону бісектриса ділить навпіл.

1. 1)∠BAK = 90° : 2 = 45° (AK — бісектриса прямого кута).
2. 2)У трикутнику ABK ∠B = 90°, тому ∠BKA = 90° − 45° = 45°.
3. 3)Кути при K і A рівні, отже, △ABK рівнобедрений: AB = BK.
4. 4)BK — половина BC. Тому AB — теж половина BC.

Отже, бісектриса ділить навпіл більшу сторону. Менша сторона вдвічі менша від більшої.

Відповідь: 1) 54 см; 2) 36 дм.

Приклад 9. У прямокутнику ABCD BK ⊥ AC, ∠ACD = 60°. Знайди довжини відрізків

Умови: 1) OK = 3 см — знайди BD і AB; 2) AC = 20 см — знайди AK і CD.

Трикутник AOB рівносторонній, BK — його висота.

1. 1)∠BAC = ∠ACD = 60° (внутрішні різносторонні кути при AB ∥ CD і січній AC).
2. 2)△AOB рівнобедрений (AO = BO), а кут при основі 60°. Тоді й другий кут при основі 60°, і третій 180° − 120° = 60°.
3. 3)Отже, △AOB рівносторонній: AB = AO = BO.
4. 4)BK — висота, проведена до основи AO рівнобедреного трикутника (BA = BO). З 7 класу: вона є і медіаною, тому $AK=KO=\frac{AO}{2}$.

Відповідь: 1) BD = 12 см, AB = 6 см; 2) AK = 5 см, CD = 10 см.

Якщо дані — буквами. OK = a: $AO=2a$, $BD=4a$, $AB=2a$. AC = m: $AO=\frac{m}{2}$, $AK=\frac{m}{4}$, $CD=\frac{m}{2}$.

Приклад 10. Прямокутник усередині рівнобедреного прямокутного трикутника

1) У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою BC = 36 см вписано прямокутник KLMN. Точки K і L лежать на гіпотенузі, M і N — на катетах.

KL : KN = 2 : 1. Знайди периметр прямокутника.

Трикутники BKN і CLM прямокутні й рівнобедрені.

1. 1)Гострі кути рівнобедреного прямокутного трикутника по 45°: ∠B = ∠C = 45°.
2. 2)У трикутнику BKN ∠K = 90°, ∠B = 45°, тому ∠BNK = 45°. Отже, BK = KN.
3. 3)Так само LC = LM. А LM = KN (протилежні сторони прямокутника).
4. 4)Нехай KN = x, тоді KL = 2x. Гіпотенуза: BK + KL + LC = x + 2x + x = 4x.
5. 5)$4x=36$, $x=9$: KN = 9 см, KL = 18 см.
6. 6)$P_{KLMN}=2(18+9)=54$ (см).

Відповідь: 54 см.

2) У рівнобедрений прямокутний трикутник з катетом 15 см вписано прямокутник. Прямий кут у них спільний, а протилежна вершина прямокутника лежить на гіпотенузі. Знайди периметр прямокутника.

Трикутник AMK рівнобедрений: AM = MK.

1. 1)∠CMK = 90° (кут прямокутника), тому ∠AMK = 180° − 90° = 90° (суміжні кути). ∠A = 45°.
2. 2)У трикутнику AMK ∠AKM = 90° − 45° = 45°. Отже, AM = MK.
3. 3)Сусідні сторони прямокутника: MK і CM. Їхня сума MK + CM = AM + CM = AC = 15 см.
4. 4)$P=2\cdot15=30$ (см).

Відповідь: 30 см.

Цікаво, що відповідь не залежить від того, де на гіпотенузі лежить вершина K.

Приклад 11. Що можна сказати про вид паралелограма?

Умови: 1) жоден його кут не є гострим; 2) жоден його кут не є тупим; 3) три його кути рівні.

Відповідь: у всіх трьох випадках паралелограм є прямокутником.

Приклад 12. Доведи: якщо в чотирикутнику три кути прямі, то він прямокутник

Дано: чотирикутник ABCD, ∠A = ∠B = ∠C = 90°.

Кути A, B і C прямі; кут D знаходимо із суми кутів.

Доведення.

1. 1)∠D = 360° − 90° − 90° − 90° = 90° (сума кутів чотирикутника).
2. 2)AD ⊥ AB і BC ⊥ AB. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні: AD ∥ BC.
3. 3)Так само AB ⊥ BC і DC ⊥ BC, тому AB ∥ DC.
4. 4)Протилежні сторони попарно паралельні — ABCD паралелограм.
5. 5)У паралелограма всі кути прямі, отже, ABCD — прямокутник.

Приклад 13. Доведи: якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він прямокутник

Доведення.

1. 1)Сума кутів чотирикутника 360°, тому кожен кут 360° : 4 = 90°.
2. 2)Три кути (навіть чотири) прямі. За прикладом 12 чотирикутник — прямокутник.

Інший шлях: протилежні кути попарно рівні — це ознака 4 паралелограма. А паралелограм з рівними кутами — прямокутник за ознакою 1.

Приклад 14. Доведи, що чотирикутник з вершинами на колі — прямокутник

1) У колі з центром O проведено два діаметри AC і BD. Доведи, що ABCD — прямокутник.

Доведення.

OA, OB, OC і OD — радіуси, тому вони рівні.

1. 1)AO = OC і BO = OD (радіуси). Діагоналі точкою перетину діляться навпіл — ABCD паралелограм (ознака 3 паралелограма).
2. 2)AC = BD (діаметри одного кола). Діагоналі паралелограма рівні — ABCD прямокутник (ознака 3 прямокутника).

2) AC — діаметр кола, точки B і D лежать на колі по різні боки від AC, AB = CD. Доведи, що ABCD — прямокутник.

Діаметр AC видно з точок B і D під прямим кутом.

1. 1)З 7 класу: діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом. Це означає: кут з вершиною на колі, сторони якого проходять через кінці діаметра, прямий. Тому ∠ABC = ∠CDA = 90°.
2. 2)△ABC = △CDA (за катетом і гіпотенузою): AB = CD, гіпотенуза AC спільна.
3. 3)Звідси BC = DA. Протилежні сторони попарно рівні — ABCD паралелограм (ознака 2 паралелограма).
4. 4)У паралелограма ABCD кут B прямий — ABCD прямокутник (ознака 2 прямокутника).

Приклад 15. Доведи, що AKCL — прямокутник

Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O. На променях OB і OD позначено точки K і L так, що OK = OL = OA.

Діагоналі AC і KL чотирикутника AKCL рівні й діляться точкою O навпіл.

Доведення.

1. 1)AO = OC (діагоналі паралелограма ABCD діляться навпіл).
2. 2)OK = OL за умовою. K і L лежать на протилежних променях OB і OD, тому O — середина KL.
3. 3)Діагоналі чотирикутника AKCL точкою O діляться навпіл — AKCL паралелограм (ознака 3 паралелограма).
4. 4)AC = 2 · OA і KL = 2 · OA, тому AC = KL.
5. 5)Діагоналі паралелограма AKCL рівні — AKCL прямокутник (ознака 3 прямокутника).