Ти навчишся знаходити відрізки за теоремою Фалеса і ділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин лінійкою без поділок. Ще ти ділитимеш відрізок у заданому відношенні й доводитимеш твердження про медіану за допомогою допоміжної паралельної прямої.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі перетинають сторони кута і на одній стороні відтинають рівні відрізки, то й на другій стороні вони відтинають рівні відрізки.
На стороні OA₃ рівні відрізки A₁A₂ і A₂A₃ позначено однією рискою. Тоді й на стороні OB₃ відрізки B₁B₂ і B₂B₃ теж рівні, їх позначено двома рисками.
Відтяті відрізки — це частини сторони кута між сусідніми точками, де її перетинають паралельні прямі. На кресленні це A₁A₂ і A₂A₃ на одній стороні, B₁B₂ і B₂B₃ на другій.
Зверни увагу: рівні відрізки лежать на одній стороні кута. Про те, чи дорівнює A₁A₂ відрізку B₁B₂, теорема нічого не каже, і на кресленні вони різні.
Тому, якщо A₁A₂ = A₂A₃ = 3 см, а B₁B₂ = 5 см, то B₂B₃ = 5 см. Довжина 3 см для цієї відповіді не потрібна.
Паралельних прямих може бути й більше за три. Якщо всі сусідні відрізки на одній стороні рівні, то рівні й усі сусідні відрізки на другій стороні.
Доведення теореми
Нехай паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута з вершиною O, і A₁A₂ = A₂A₃. Доведемо, що B₁B₂ = B₂B₃.
Помаранчеві прямі A₁M і A₂N паралельні стороні OB₃. Фіолетовими дужками позначено рівні кути при вершинах A₁ і A₂, зеленими — рівні кути при вершинах A₂ і A₃.
Доведення.
- 1)Проведемо через точки A₁ і A₂ прямі A₁M і A₂N, паралельні стороні OB₃. Точка M лежить на прямій A₂B₂, а точка N — на прямій A₃B₃.
- 2)Порівняємо трикутники A₁A₂M і A₂A₃N. Сторони A₁A₂ і A₂A₃ рівні за умовою.
- 3)∠A₂A₁M = ∠A₃A₂N як відповідні кути при паралельних прямих A₁M і A₂N та січній OA₃. Прямі A₁M і A₂N паралельні, бо обидві паралельні OB₃. Так само ∠A₁A₂M = ∠A₂A₃N як відповідні кути при паралельних прямих A₂B₂ і A₃B₃ та тій самій січній.
- 4)Отже, △A₁A₂M = △A₂A₃N за стороною і двома прилеглими кутами. Тому A₁M = A₂N.
- 5)У чотирикутнику A₁MB₂B₁ протилежні сторони попарно паралельні: A₁M ∥ B₁B₂ за побудовою, A₁B₁ ∥ MB₂ за умовою. Отже, це паралелограм, і його протилежні сторони рівні: B₁B₂ = A₁M.
- 6)Так само A₂NB₃B₂ — паралелограм, і B₂B₃ = A₂N. Ми вже знаємо, що A₁M = A₂N, тому B₁B₂ = B₂B₃.
Твердження доведено. Якщо паралельних прямих більше, те саме міркування повторюють для кожної пари сусідніх відрізків.
Наслідок: рівні відрізки на будь-яких двох прямих
Наслідок. Якщо паралельні прямі перетинають дві дані прямі й відтинають на одній з них рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій прямій.
Прямі a і b не обов'язково є сторонами кута. Проте A₁A₂ = A₂A₃, і тому B₁B₂ = B₂B₃.
Чому так? У доведенні теореми вершина кута не знадобилася. Через A₁ і A₂ проводять прямі, паралельні прямій b, і отримують ті самі рівні трикутники й паралелограми.
Тому міркування годиться для будь-яких двох прямих. Якщо ж a ∥ b, то чотирикутники між паралельними прямими — паралелограми, і B₁B₂ = A₁A₂ = A₂A₃ = B₂B₃.
Як знайти відрізок, коли перший відрізок починається у вершині
Приклад 1. Знайди відрізок ON₂
Паралельні прямі M₁N₁ і M₂N₂ перетинають сторони кута з вершиною O. Відомо, що OM₁ = M₁M₂ і ON₁ = 5 см. Знайди ON₂.
Рівні відрізки OM₁ і M₁M₂ позначено рисками. Спершу знайдемо N₁N₂, а потім увесь відрізок ON₂.
Розв'язання.
- 1)Уявимо пряму, яка проходить через вершину O паралельно M₁N₁. Вона перетинає обидві сторони кута в точці O. Разом із прямими M₁N₁ і M₂N₂ маємо три паралельні прямі. На стороні OM₂ вони відтинають рівні відрізки OM₁ і M₁M₂.
- 2)За теоремою Фалеса на другій стороні відрізки теж рівні:
N₁N₂ = ON₁ = 5 см. - 3)ON₂ = ON₁ + N₁N₂ = 5 + 5 = 10 (см).
Відповідь: ON₂ = 10 см.
Отже, відрізок від вершини до першої паралельної прямої теж вважають відтятим. Пряму через вершину на кресленні не проводять, але саме завдяки їй теорема працює. Якщо ж відомо ON₁ = N₁N₂, то так само OM₂ = 2 · OM₁.
Як поділити відрізок на рівні частини
Як поділити відрізок AB на кілька рівних частин лінійкою без поділок
- Проведи з точки A промінь, який не лежить на прямій AB.
- Відклади на промені циркулем від точки A стільки рівних відрізків, на скільки частин треба поділити AB. Кінці цих відрізків називатимемо засічками. Розхил циркуля бери будь-який зручний, але однаковий для всіх відрізків.
- Сполучи останню засічку з точкою B.
- Через решту засічок проведи косинцем і лінійкою прямі, паралельні відрізку з кроку 3. Вони перетнуть AB у точках поділу.
Чому це працює? Промінь і відрізок AB утворюють кут з вершиною A. Паралельні прямі відтинають на промені рівні відрізки, тому за теоремою Фалеса вони відтинають рівні відрізки і на AB.
Паралельну пряму будують так. Притисни одну сторону косинця до відрізка між останньою засічкою і точкою B, а до другої сторони косинця притули лінійку.
Тримаючи лінійку нерухомо, посувай косинець уздовж неї, доки його перша сторона не пройде через потрібну засічку. Тоді проведи пряму вздовж цієї сторони.
Приклад 2. Поділи відрізок AB на 3 рівні частини
Розв'язання.
- 1)Проведемо з точки A промінь AC. Циркулем відкладемо на ньому три рівні відрізки:
AC₁ = C₁C₂ = C₂C₃.
- 2)Сполучимо точку C₃ з точкою B.
- 3)Через точки C₁ і C₂ проведемо прямі, паралельні C₃B. Вони перетнуть AB у точках D₁ і D₂. За теоремою Фалеса AD₁ = D₁D₂ = D₂B.
Відповідь: точки D₁ і D₂ ділять відрізок AB на 3 рівні частини.
Перевір побудову циркулем. Розхили його на довжину AD₁ і відклади цей розхил від точки D₁ двічі. Друга засічка має припасти точно на точку B.
Приклад 3. Поділи відрізок AB у відношенні 3 : 4
Треба знайти на відрізку AB точку P. Відрізок AP має складатися з 3 однакових частин, а PB — з 4 таких самих частин.
На промені AC відкладено сім рівних відрізків. Пряма через третю засічку C₃ паралельна прямій C₇B.
Розв'язання.
- 1)Усього частин 3 + 4 = 7. Тому відкладемо на промені AC сім рівних відрізків і сполучимо сьому засічку C₇ з точкою B.
- 2)Від точки A відлічимо три засічки. Через третю засічку C₃ проведемо пряму, паралельну C₇B. Вона перетне AB у точці P.
- 3)Прямі, проведені через усі сім засічок паралельно C₇B, поділили б AB на 7 рівних частин за теоремою Фалеса. Від A до P лежать 3 з них, а від P до B — 4.
Відповідь: точка P ділить відрізок AB у відношенні 3 : 4, починаючи від точки A.
Решту шести паралельних прямих проводити не обов'язково. Потрібна лише та, що проходить через точку поділу.
Задачі з відношенням і сумою відрізків
Приклад 4. Знайди відрізки A₁A₂, A₂A₃, B₁B₂ і B₂B₃
Паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута з вершиною O. Відомо, що A₁A₂ = A₂A₃, A₁A₂ : B₁B₂ = 5 : 6 і A₂A₃ + B₂B₃ = 22 см. Знайди відрізки A₁A₂, A₂A₃, B₁B₂ і B₂B₃.
Рівні відрізки A₁A₂ і A₂A₃ позначено рисками. Помаранчеві відрізки A₂A₃ і B₂B₃ разом дорівнюють 22 см.
Розв'язання.
- 1)A₁A₂ = A₂A₃, тому за теоремою Фалеса B₁B₂ = B₂B₃.
- 2)Відрізки A₁A₂ і B₁B₂ відносяться як 5 : 6. Позначимо A₁A₂ = $5x$ см, тоді B₁B₂ = $6x$ см. A₂A₃ = A₁A₂ за умовою, а B₂B₃ = B₁B₂ за першим кроком. Тому A₂A₃ = $5x$ см і B₂B₃ = $6x$ см.
- 3)Сума A₂A₃ і B₂B₃ дорівнює 22 см:
$5x+6x=22$, $11x=22$, $x=2$. - 4)A₁A₂ = A₂A₃ = 5 · 2 = 10 (см), B₁B₂ = B₂B₃ = 6 · 2 = 12 (см).
Відповідь: A₁A₂ = A₂A₃ = 10 см, B₁B₂ = B₂B₃ = 12 см.
Якщо в умові дано різницю, рівняння складають так само. Наприклад, якщо B₂B₃ на 3 см довший за A₂A₃, виходить $6x-5x=3$, тобто $x=3$.
Доведення з допоміжною паралельною прямою
У задачах про медіану чи діагональ на кресленні часто бракує паралельних прямих. Тоді одну з них проводять самі через середину відрізка, паралельно до прямої, яка вже є.
Приклад 5. Доведи, що точка P — середина медіани AD
У трикутнику ABC проведено медіану AD. На стороні AB взято точку K так, що KB = 2 · AK.
Відрізок CK перетинає медіану AD у точці P. Доведи, що AP = PD.
D — середина сторони BC. Штрихова пряма DE допоміжна, вона паралельна CK.
Доведення.
- 1)Проведемо через точку D пряму, паралельну CK. Вона перетне сторону AB у точці E.
- 2)Розглянемо кут B. Уявимо пряму через вершину B, паралельну DE і CK. Ці три паралельні прямі перетинають сторони кута BC і BA.
- 3)На стороні BC вони відтинають рівні відрізки BD і DC, бо AD — медіана. За теоремою Фалеса на стороні BA відрізки теж рівні:
BE = EK. - 4)Відрізок KB складається з двох рівних відрізків KE і EB. За умовою він удвічі довший за AK, тому KE = AK.
- 5)Тепер розглянемо кут A. Паралельні прямі KP і ED разом з уявною паралельною їм прямою через вершину A перетинають сторони кута AB і AD. На стороні AB вони відтинають рівні відрізки AK і KE, тому за теоремою Фалеса AP = PD.
Твердження доведено.
Буває, що потрібні паралельні прямі вже є на кресленні, але їхню паралельність треба спершу довести. Наприклад, показати, що чотирикутник, сторони якого лежать на цих прямих, — паралелограм. Далі міркують так само.
Як перевірити себе
Перевір, чи прямі паралельні. Теорема Фалеса працює лише для паралельних прямих. Якщо в умові цього не сказано і довести паралельність не вдається, теорему застосовувати не можна.
Звір, на якій стороні лежать рівні відрізки. Теорема говорить про рівні відрізки, що лежать один за одним на одній стороні кута. Довжини на різних сторонах зазвичай різні, тому число з однієї сторони на другу не переносять.
Перевір побудову циркулем. Розхили циркуль на довжину однієї частини і відкладай її вздовж відрізка. Вона має вкластися рівно стільки разів, скільки частин ти будував, бо всі частини рівні.
Підстав відповідь в умову: знайдені відрізки мають давати і задане відношення, і задану суму чи різницю. Скажімо, вийшли 10 см і 12 см, а умова вимагає відношення 5 : 6 і суми 22 см. Поділи обидва числа на їхній спільний дільник 2 і отримаєш 5 і 6, а 10 + 12 = 22.
Де найчастіше помиляються
1. Довжину з однієї сторони кута переписали на другу
Завдання: паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута. A₁A₂ = A₂A₃ = 5 см, B₁B₂ = 8 см. Знайди B₂B₃.
Числа на кресленні — довжини в сантиметрах.
Неправильно
| B₂B₃ = A₂A₃ = 5 см |
Правильно
| B₂B₃ = B₁B₂ = 8 см |
Як помітити: відрізки A₂A₃ і B₂B₃ лежать на різних сторонах кута, і теорема про їхню рівність нічого не каже. Відрізок B₂B₃ дорівнює своєму сусідові B₁B₂ на тій самій стороні.
2. Теорему застосували до непаралельних прямих
Завдання: прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута, A₁A₂ = A₂A₃, B₁B₂ = 6 см. Чи можна стверджувати, що B₂B₃ = 6 см?
Прямі перетинають сторони кута, але вони не паралельні.
Неправильно
| Так, за теоремою Фалеса |
| B₂B₃ = 6 см |
Правильно
| Ні: в умові не сказано, |
| що прямі паралельні |
Як помітити: перш ніж писати «за теоремою Фалеса», знайди в умові слово «паралельні» або доведи паралельність. На кресленні видно, що без паралельності відрізок B₂B₃ вийшов значно довшим за B₁B₂.
3. Відрізок поділили на кількість частин, узяту з одного числа відношення
Завдання: поділи відрізок AB точкою P у відношенні 3 : 4, починаючи від точки A.
Правильний поділ: сім рівних частин, три від точки A і чотири від точки B.
Неправильно
| Ділимо AB на 4 частини, |
| від A беремо 3. |
| AP : PB = 3 : 1 |
Правильно
| 3 + 4 = 7 частин, |
| від A беремо 3. |
| AP : PB = 3 : 4 |
Як помітити: порахуй частини по обидва боки від точки P. Якщо з одного боку 3, а з другого 1, то відношення 3 : 1, а не 3 : 4. Кількість рівних частин дорівнює сумі чисел відношення.
Спробуй сам
- Паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута. A₁A₂ = A₂A₃, B₁B₂ = 9 см. Знайди B₁B₃.
- Паралельні прямі M₁N₁ і M₂N₂ перетинають сторони кута з вершиною O. ON₁ = N₁N₂, OM₁ = 4,5 см. Знайди OM₂.
- Поділи відрізок на 4 рівні частини лінійкою без поділок. Опиши кроки побудови.
- Точка P ділить відрізок AB у відношенні 1 : 3, починаючи від A. На скільки рівних частин треба поділити AB, щоб знайти P? Скільки частин відлічити від точки A?
- Паралельні прямі A₁B₁, A₂B₂ і A₃B₃ перетинають сторони кута. A₁A₂ = A₂A₃, A₁A₂ : B₁B₂ = 2 : 5, B₂B₃ − A₂A₃ = 9 см. Знайди A₁A₂, A₂A₃, B₁B₂ і B₂B₃.
- У трапеції ABCD з основами AD і BC точка M — середина бічної сторони AB. Через M провели пряму, паралельну основам. Вона перетинає бічну сторону CD у точці N. Доведи, що N — середина CD.
- У трикутнику ABC проведено медіану AD. На стороні AB взято точку K так, що KB = 4 · AK. Відрізок CK перетинає AD у точці P. Знайди AP : PD.
Перевірити відповіді
- 18 см: B₂B₃ = B₁B₂ = 9 см, тому B₁B₃ = 9 + 9 = 18 (см).
- 9 см: M₁M₂ = OM₁ = 4,5 см, тому OM₂ = 4,5 + 4,5 = 9 (см).
- Проведи з одного кінця відрізка промінь і відклади на ньому циркулем 4 рівні відрізки. Сполучи четверту засічку з другим кінцем відрізка. Через першу, другу й третю засічки проведи прямі, паралельні отриманому відрізку.
- На 4 рівні частини (1 + 3 = 4) і відлічити від точки A одну частину.
- $5x-2x=9$, $x=3$, тому A₁A₂ = A₂A₃ = 6 см, B₁B₂ = B₂B₃ = 15 см.
- Повний розв'язок — нижче.
- AP : PD = 1 : 2. Повний розв'язок — нижче.
Повний розв'язок завдання 6
M — середина AB. Пряма MN паралельна основам AD і BC.
- 1)Прямі BC, MN і AD паралельні. BC ∥ AD як основи трапеції, MN ∥ AD за умовою, а дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.
- 2)Ці три паралельні прямі перетинають прямі AB і CD. На прямій AB вони відтинають рівні відрізки BM і MA, бо M — середина AB.
- 3)За наслідком з теореми Фалеса вони відтинають рівні відрізки і на прямій CD:
CN = ND. Отже, N — середина CD.
Повний розв'язок завдання 7
Штрихові прямі DE і FQ паралельні CK. F — середина відрізка KE.
- 1)Проведемо через D пряму DE, паралельну CK (E лежить на AB). Уявимо ще пряму через вершину B, паралельну CK. Три паралельні прямі відтинають на стороні BC кута B рівні відрізки BD і DC, тому за теоремою Фалеса BE = EK.
- 2)KB = KE + EB = 2 · KE. За умовою KB = 4 · AK, тому KE = 2 · AK.
- 3)Позначимо через F середину відрізка KE. Тоді AK = KF = FE. Проведемо через F пряму FQ, паралельну CK (Q лежить на AD).
- 4)У куті A паралельні прямі KP, FQ і ED разом з уявною паралельною їм прямою через вершину A відтинають на стороні AB рівні відрізки AK, KF і FE. За теоремою Фалеса AP = PQ = QD.
- 5)PD = PQ + QD = 2 · AP, тому AP : PD = 1 : 2.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що довжину з однієї сторони кута переписали на другу.
Для батьків
Попросіть дитину сформулювати теорему Фалеса й показати на кресленні, які відрізки в ній рівні. Важливо, щоб рівні відрізки лежали на одній стороні кута: довжини на різних сторонах зазвичай різні.
Теорему можна перевірити за допомогою зошита в лінійку. Лінії в ньому паралельні й однаково віддалені одна від одної, тому на будь-якій похилій смужці паперу вони відтинають рівні відрізки.
Покладіть смужку навскіс так, щоб її кінці лягли на першу й четверту лінії. Попросіть дитину позначити, де смужку перетинають друга й третя лінії, і перевірити циркулем, що смужка поділилася на 3 рівні частини.