Властивості й ознаки паралелограма: кути, сторони, периметр і доведення — геометрія 8 клас

Ти навчишся знаходити кути, сторони й периметр паралелограма. А ще — доводити, що чотирикутник є паралелограмом, і не плутати властивість з ознакою.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке паралелограм

Паралелограм ABCD: AB ∥ CD і AD ∥ BC.

Паралелограм — це чотирикутник. Тому сума його кутів дорівнює 360°, як і в будь-якого чотирикутника.

Букви, що стоять поруч, позначають сусідні вершини. Той самий паралелограм можна назвати BCDA або ADCB.

Далі всі креслення розташовані так само: A ліворуч унизу, B ліворуч угорі, C праворуч угорі, D праворуч унизу.

П'ять властивостей паралелограма

Властивість — це те, що випливає з означення. Якщо фігура вже паралелограм, усі п'ять властивостей виконуються.

Чому так? Кути A і B — внутрішні односторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AB. Сума таких кутів дорівнює 180°.

Опуклий — це чотирикутник, усі кути якого менші від 180°. Кожен кут паралелограма менший від 180°, бо в парі із сусіднім дає рівно 180°. Отже, кута, більшого за розгорнутий, тут бути не може.

Діагональ AC розбиває паралелограм на два рівні трикутники.

Доведення.

1. 1)Проведемо діагональ AC.
2. 2)∠CAB = ∠ACD (внутрішні різносторонні кути при січній AC для прямих AB і CD).
3. 3)∠CAD = ∠ACB (внутрішні різносторонні кути при тій самій січній для прямих AD і BC).
4. 4)△ABC = △CDA (за стороною і двома прилеглими кутами; AC — спільна сторона).
5. 5)Звідси AB = CD, BC = AD і ∠B = ∠D.
6. 6)Додамо рівні кути при вершинах A і C: ∠BAD = ∠BCD.

Сторони рівні попарно. Тому периметр — це подвоєна сума двох сусідніх сторін.

Точка O — середина кожної з діагоналей.

Доведення.

1. 1)∠CAD = ∠ACB і ∠BDA = ∠DBC (внутрішні різносторонні кути), AD = BC (властивість 3).
2. 2)△AOD = △COB (за стороною і двома прилеглими кутами).
3. 3)Звідси AO = OC і BO = OD.

Кути паралелограма

Сторони й периметр

Діагоналі паралелограма

Точка перетину ділить кожну діагональ навпіл. Тому половина діагоналі — це сторона одного з чотирьох трикутників усередині паралелограма.

Бісектриса кута паралелограма

AK — бісектриса кута A. Трикутник ABK рівнобедрений.

Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник, якщо вона перетинає протилежну сторону. Окремою властивістю підручник цього не подає, тому обґрунтовуй щоразу.

Доведення.

1. 1)∠KAD = ∠AKB (внутрішні різносторонні кути при паралельних AD і BC та січній AK).
2. 2)∠KAD = ∠KAB, бо AK — бісектриса.
3. 3)Отже, ∠AKB = ∠KAB, і трикутник ABK рівнобедрений за ознакою рівнобедреного трикутника.
4. 4)Звідси AB = BK.

Висота паралелограма

На цьому кресленні висоти BM і BN з вершини тупого кута B лежать усередині паралелограма.

Зверни увагу на два слова означення. Висоту проводять з будь-якої точки сторони, а не лише з вершини. І опускають її на пряму, тому основа висоти може вийти за межі сторони.

Висоти AK і AL з вершини гострого кута A падають на продовження сторін.

Як довести, що чотирикутник — паралелограм

Властивість і ознака схожі словами, але працюють у різні боки. Властивість починається з паралелограма, ознака ним закінчується.

Що дано	Що доводимо	Чим
ABCD — паралелограм	AB = CD, BC = AD	власт. 3
AB = CD, BC = AD	ABCD — паралелограм	ознака 2
ABCD — паралелограм	AO = OC, BO = OD	власт. 5
AO = OC, BO = OD	ABCD — паралелограм	ознака 3
ABCD — паралелограм	∠A = ∠C, ∠B = ∠D	власт. 3
∠A = ∠C, ∠B = ∠D	ABCD — паралелограм	ознака 4

Як доводять ознаки. Усі чотири доводять однаково: проводять діагональ і шукають рівні трикутники або паралельні прямі.

Ознака 1. Дано: AB = CD і AB ∥ CD.

1. 1)Проведемо діагональ AC.
2. 2)∠BAC = ∠ACD — внутрішні різносторонні кути при AB ∥ CD і січній AC.
3. 3)△ABC = △CDA за двома сторонами й кутом між ними: AB = CD, сторона AC спільна.
4. 4)Тому ∠BCA = ∠CAD. Це внутрішні різносторонні кути при прямих BC і AD, отже, BC ∥ AD.
5. 5)Обидві пари протилежних сторін паралельні, отже, ABCD — паралелограм.

Ознака 2. Дано: AB = CD і BC = AD.

1. 1)Проведемо діагональ AC.
2. 2)△ABC = △CDA за трьома сторонами: AB = CD, BC = DA, сторона AC спільна.
3. 3)Звідси ∠BAC = ∠ACD, а це внутрішні різносторонні кути, тому AB ∥ CD.
4. 4)Так само ∠BCA = ∠CAD, тому BC ∥ AD.
5. 5)Обидві пари протилежних сторін паралельні, отже, ABCD — паралелограм.

Ознака 3. Дано: діагоналі перетинаються в точці O, причому AO = OC і BO = OD.

1. 1)∠AOD = ∠COB (вертикальні кути).
2. 2)△AOD = △COB (за двома сторонами й кутом між ними), тому AD = CB.
3. 3)Так само △AOB = △COD, тому AB = CD.
4. 4)Протилежні сторони попарно рівні, отже, ABCD — паралелограм за ознакою 2.

Ознака 4. Дано: ∠A = ∠C і ∠B = ∠D.

1. 1)Сума кутів чотирикутника — 360°: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
2. 2)Замінимо ∠C на ∠A, а ∠D на ∠B: 2∠A + 2∠B = 360°, тому ∠A + ∠B = 180°.
3. 3)∠A і ∠B — внутрішні односторонні кути при прямих AD і BC та січній AB, тому AD ∥ BC.
4. 4)Оскільки ∠C = ∠A, то й ∠B + ∠C = 180°. Це кути при прямих AB і CD та січній BC, тому AB ∥ CD.
5. 5)Обидві пари протилежних сторін паралельні, отже, ABCD — паралелограм.

Побудова паралелограма

Як перевірити себе

Склади всі чотири кути. Має вийти 360°. Перевір і сусідні пари: кожна має давати 180°.

Не загуби множник 2. Периметр дорівнює $P_{ABCD}=2(AB+BC)$, а не сумі двох сусідніх сторін.

Перевір малюнок. Іноді в умові просять знайти помилку в зображенні паралелограма.

Такого паралелограма не буває: кути при діагоналі мали б бути рівні.

Кути BAC і ACD — внутрішні різносторонні при паралельних AB і CD та січній AC. Тому вони мають бути рівні. Підписи 55° і 40° різні, отже, малюнок хибний.

Перевір половини діагоналей. На малюнку паралелограма точка перетину має ділити кожну діагональ навпіл. Відрізки 5 і 7 в одній діагоналі — уже помилка.

Упізнаєш паралелограм — дивись лише на паралельність. Перевіряй тільки те, чи паралельні протилежні сторони. Прямі кути або рівні сусідні сторони паралелограмові не заважають.

Перечитай своє доведення. Якщо слова «бо це паралелограм» стоять раніше, ніж ти це довів, міркування хибне.

Де найчастіше помиляються

1. Скористалися властивістю замість ознаки

Завдання: у чотирикутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O, причому AO = OC і BO = OD. Довести, що ABCD — паралелограм.

Що сталося: у хибному доведенні спочатку припустили те, що треба було довести.

Як помітити: властивість відповідає на питання «що випливає з паралелограма». Ознака відповідає на питання «що робить чотирикутник паралелограмом».

2. Переплутали сторони в ознаці 1

Завдання: у чотирикутнику ABCD BC ∥ AD і AB = CD. Чи обов'язково ABCD — паралелограм?

BC ∥ AD і AB = CD, але паралелограма тут немає.

Як помітити: спробуй намалювати фігуру, у якій умова виконується. Якщо вийде щось несхоже на паралелограм, ознаку застосовано неправильно.

3. У задачі з бісектрисою взяли не той відрізок

Завдання: бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BM = 7 см і MC = 5 см. Знайти периметр.

Як помітити: рівнобедрений трикутник тут ABM. Його рівні сторони AB і BM виходять з тієї самої вершини B.

4. Кут між висотами прийняли за кут паралелограма

Завдання: з вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено висоти BM і BN, ∠MBN = 58°. Знайти кути паралелограма.

Як помітити: в умові сказано, що кут B тупий. Значить, 58° не може бути кутом B.

Спробуй сам

1. Знайди всі кути паралелограма, якщо один з них дорівнює 38°.
2. Знайди всі кути паралелограма, якщо: 1) сума двох із них дорівнює 260°; 2) один на 50° більший за другий; 3) вони відносяться як 1 : 3.
3. У паралелограмі ABCD ∠BAC = 28°, ∠BCA = 47°. Знайди кути паралелограма.
4. Знайди периметр паралелограма, у якого одна сторона 7 см, а друга на 5 см більша.
5. Периметр паралелограма 54 см. Знайди його сторони, якщо одна з них удвічі більша за другу.
6. O — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Знайди діагональ AC, якщо BD = 14 см, AB = 9 см, а периметр трикутника AOB дорівнює 24 см.
7. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BM = 9 см і MC = 5 см. Знайди периметр паралелограма.
8. У паралелограмі ABCD AB = 6 см, BC = 15 см. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці P. Знайди BP і PC.
9. Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 62°. Знайди кути паралелограма.
10. Гострий кут паралелограма дорівнює 60°. Висота BH з вершини тупого кута ділить сторону AD на відрізки AH = 3 см і HD = 7 см. Знайди периметр.
11. З вершини тупого кута паралелограма проведено дві висоти. Кут між ними дорівнює 52°. Знайди кути паралелограма.
12. З вершини гострого кута паралелограма проведено дві висоти. Кут між ними дорівнює 145°. Знайди кути паралелограма.
13. У чотирикутнику ABCD ∠A = 65°, ∠B = 115°, ∠C = 65°. Доведи, що ABCD — паралелограм.
14. На сторонах AB і CD паралелограма ABCD позначено точки P і Q так, що AP = CQ. Доведи, що PBQD — паралелограм.
15. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O, причому AO = OC = 5 см і BO = OD = 8 см. Доведи, що ABCD — паралелограм.
16. Побудуй паралелограм за сторонами 4 см і 6 см та кутом 70° між ними.
17. Доведи, що бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні.

Перевірити відповіді

1. 38°, 142°, 38°, 142°.
2. 1) 130°, 50°, 130°, 50°; 2) 65°, 115°, 65°, 115°; 3) 45°, 135°, 45°, 135°.
3. 75°, 105°, 75°, 105°.
4. 38 см.
5. 9 см, 18 см, 9 см, 18 см.
6. AC = 16 см.
7. 46 см.
8. BP = 6 см, PC = 9 см.
9. 124°, 56°, 124°, 56°.
10. 32 см.
11. 52°, 128°, 52°, 128°.
12. 35°, 145°, 35°, 145°.
13. ∠D = 115°, тому протилежні кути попарно рівні — ознака 4.
14. PB = QD і PB ∥ QD — ознака 1.
15. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл — ознака 3.
16. Побудова: кут 70°, сторони 4 см і 6 см, далі дві паралельні прямі.
17. Кут між бісектрисами дорівнює 90°.

Повний розв'язок завдання 12

1)	AK і AL — висоти з вершини гострого кута A
2)	Чотирикутник AKCL: ∠K = ∠L = 90°, ∠KAL = 145°
3)	∠C = 360° − 90° − 90° − 145° = 35°
4)	∠A = ∠C = 35°, ∠B = 180° − 35° = 145°

Повний розв'язок завдання 17

1)	Бісектриси кутів A і B перетинаються в точці P
2)	∠PAB = ∠A : 2 і ∠PBA = ∠B : 2
3)	∠A + ∠B = 180°, тому ∠PAB + ∠PBA = 90°
4)	У трикутнику ABP: ∠APB = 180° − 90° = 90°

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіші причини — забутий множник 2 в периметрі й плутанина між властивістю та ознакою.

Для батьків