Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Квадрат: властивості й ознаки квадрата — геометрія 8 клас

Ти навчишся знаходити сторону й периметр квадрата, відстані від точки перетину діагоналей до вершин і сторін. Ще ти навчишся знаходити кути, коли діагональ утворює зі стороною кут 45°. А ще — доводити, що прямокутник, ромб чи інший чотирикутник є квадратом.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке квадрат

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Квадрат ABCD: усі чотири кути прямі, а рисочки показують, що всі чотири сторони рівні

Квадрат ABCD: усі кути прямі, рисочки показують рівні сторони.

Прямокутник є паралелограмом. Тому квадрат — це паралелограм, у якого всі сторони рівні. А такий паралелограм називають ромбом.

Отже, квадрат одночасно є і прямокутником, і ромбом. Тому в нього є всі властивості прямокутника і всі властивості ромба.

Родовід чотирикутників

Зв'язок між паралелограмом, прямокутником, ромбом і квадратом зручно показати схемою, схожою на родинне дерево. Кожна стрілка веде до «нащадка», тобто до фігури з додатковою властивістю.

Родовід чотирикутників. Угорі паралелограм. Стрілка 1 веде від паралелограма до прямокутника, стрілка 2 — від паралелограма до ромба. Стрілка 3 веде від прямокутника до квадрата, стрілка 4 — від ромба до квадрата

Паралелограм — «предок» прямокутника й ромба, а квадрат — «нащадок» обох.

СтрілкаЩо додати до верхньої фігури, щоб вийшла нижня
1прямий кут або рівні діагоналі
2рівні сусідні сторони або перпендикулярні діагоналі
3перпендикулярні діагоналі або рівні сусідні сторони
4рівні діагоналі або прямий кут

На стрілках 1 і 2 стоять дві ознаки прямокутника й дві ознаки ромба з § 3 і § 4. Стрілки 3 і 4 — ознаки квадрата, які розібрано нижче.

Як читати схему. Твердження «кожний квадрат є ромбом» правильне, бо від ромба до квадрата веде стрілка: квадрат — «нащадок» ромба. Твердження «кожний ромб є квадратом» хибне, бо ромб не є «нащадком» квадрата.

Які властивості спільні. Квадрат має все, що є в кожного його «предка». У таблиці «так» означає, що фігура має цю властивість завжди.

ВластивістьПрям.РомбКв.
протилежні сторони рівнітактактак
усі сторони рівнінітактак
усі кути прямітакнітак
діагоналі діляться навпілтактактак
діагоналі рівнітакнітак
діагоналі перпендикулярнінітактак
діагоналі ділять кути навпілнітактак

Скорочення: «Прям.» означає прямокутник, а «Кв.» — квадрат. Слово «ні» означає, що властивість буває не завжди: наприклад, у ромба з кутом 60° діагоналі різні.

Властивості квадрата

Властивості квадрата:

  1. усі кути квадрата прямі;
  2. периметр квадрата $P_{ABCD}=4AB$;
  3. діагоналі квадрата рівні;
  4. діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл;
  5. діагоналі ділять кути квадрата навпіл, тобто утворюють зі сторонами кути 45°;
  6. точка перетину діагоналей рівновіддалена від усіх вершин:
    AO = BO = CO = DO.
Квадрат ABCD з діагоналями AC і BD, O — точка їх перетину. Кут AOB прямий. Діагональ AC ділить прямий кут A на два кути по 45 градусів. Рисочки показують, що відрізки AO, BO, CO і DO рівні

Діагоналі рівні, перпендикулярні й діляться навпіл. Кут A поділено на два кути по 45°.

Чому саме 45°. Квадрат є ромбом, а діагональ ромба ділить його кут навпіл. Кут квадрата прямий, тому 90° : 2 = 45°.

Чому AO = BO = CO = DO. Діагоналі рівні й діляться навпіл. Отже, усі чотири половинки діагоналей однакові.

Тому на кресленні квадрата з діагоналями є три групи рівних відрізків. Рівні між собою чотири сторони, окремо рівні дві діагоналі й окремо рівні чотири половинки діагоналей.

Відстань від точки перетину діагоналей до сторони

Відстань від точки до прямої вимірюють перпендикуляром. У квадраті такий перпендикуляр дорівнює половині сторони.

Квадрат ABCD, O — точка перетину діагоналей. OK — перпендикуляр до сторони AD, K — середина AD. Трикутник AOK має прямий кут K і кут A 45 градусів

OK ⊥ AD. Трикутник AOD рівнобедрений, а трикутник AOK має кути 90° і 45°.

Доведення.

  1. 1)AO = OD (властивість 6), тому △AOD рівнобедрений з основою AD.
  2. 2)OK — висота, проведена до основи. У рівнобедреному трикутнику вона є й медіаною, тому AK = KD = AD : 2.
  3. 3)У △AOK ∠K = 90°, ∠OAK = 45° (властивість 5). Отже, ∠AOK = 90° − 45° = 45°.
  4. 4)Кути при A і O рівні, тому △AOK рівнобедрений:
    OK = AK = AD : 2.

Відстані від точки O до вершини і до сторони

  1. Відстань від точки O до вершини дорівнює половині діагоналі, бо діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
  2. Відстань від точки O до сторони дорівнює половині сторони. Перпендикуляр з точки O ділить сторону навпіл і дорівнює кожній половині.
  3. Не плутай ці відрізки. Відстань до вершини вимірюють уздовж діагоналі, а відстань до сторони вимірюють по перпендикуляру.

Сторона й периметр

У квадрата чотири рівні сторони, тому $P=4a$, де $a$ — сторона. Щоб знайти сторону за периметром, периметр ділять на 4.

Тому відношення периметра до сторони однакове для всіх квадратів: P : a = 4.

Приклад 1. Периметр квадрата дорівнює 28 см. Знайди його сторону

Розв'язання. Усі чотири сторони рівні, тому сторона дорівнює 28 : 4 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

Приклад 2. Сторона квадрата дорівнює 4,5 дм. Знайди його периметр

Розв'язання. Периметр — сума чотирьох рівних сторін:
P = 4 · 4,5 = 18 (дм).

Відповідь: 18 дм.

Приклад 3. Сума двох сторін квадрата дорівнює 18 см. Знайди його периметр

Розв'язання.

  1. 1)У сумі дві рівні сторони, тому одна сторона:
    18 : 2 = 9 (см).
  2. 2)P = 4 · 9 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

Приклад 4. Сума трьох сторін квадрата дорівнює 21 дм. Знайди його периметр

Розв'язання.

  1. 1)У сумі три рівні сторони, тому одна сторона:
    21 : 3 = 7 (дм).
  2. 2)P = 4 · 7 = 28 (дм).

Відповідь: 28 дм.

Суму ділимо на кількість сторін, які в ній додано. Ділити завжди на 4 не можна.

Приклад 5. Різниця між периметром квадрата і його стороною дорівнює 24 см. Знайди сторону й периметр

Розв'язання.

Позначимо сторону $x$ см. Тоді периметр дорівнює $4x$ см.

$4x-x=24$
$3x=24$, $x=8$
P = 4 · 8 = 32 (см)

Відповідь: 8 см і 32 см.

Розв'язати можна й без рівняння. Якщо від чотирьох сторін відняти одну, лишаться три сторони. Тому сторона дорівнює 24 : 3 = 8 (см).

Діагоналі й відстані від точки O

Приклад 6. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від вершини на 5 см. Знайди суму діагоналей

Квадрат ABCD з діагоналями, O — точка їх перетину. Відрізок OA дорівнює 5 сантиметрів

OA = 5 см — половина діагоналі AC.

Розв'язання.

  1. 1)Діагоналі діляться навпіл, тому AC = 2 · 5 = 10 (см).
  2. 2)Діагоналі квадрата рівні, тому BD = AC = 10 см.
  3. 3)AC + BD = 10 + 10 = 20 (см).

Відповідь: 20 см.

Приклад 7. Сума діагоналей квадрата дорівнює 22 см. Знайди відстань від точки їх перетину до вершини

Квадрат ABCD з діагоналями, O — точка їх перетину. Шукаємо відрізок OA

Шукаємо OA — половину діагоналі AC.

Розв'язання.

  1. 1)Діагоналі квадрата рівні, тому кожна дорівнює 22 : 2 = 11 (см).
  2. 2)Точка O ділить діагональ навпіл:
    OA = 11 : 2 = 5,5 (см).

Відповідь: 5,5 см.

Відстань до кожної з чотирьох вершин однакова, бо AO = BO = CO = DO.

Приклад 8. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від сторони на 6 см. Знайди периметр квадрата

Квадрат ABCD, O — точка перетину діагоналей. Перпендикуляр OK до сторони AD дорівнює 6 сантиметрів

OK ⊥ AD, OK = 6 см.

Розв'язання.

  1. 1)Відстань від точки O до сторони дорівнює половині сторони. Тому AD = 2 · 6 = 12 (см).
  2. 2)P = 4 · 12 = 48 (см).

Відповідь: 48 см.

Приклад 9. Периметр квадрата дорівнює 36 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей до сторони

Квадрат ABCD з периметром 36 сантиметрів, O — точка перетину діагоналей. Шукаємо перпендикуляр OK до сторони AD

Шукаємо перпендикуляр OK до сторони AD.

Розв'язання.

  1. 1)Сторона:
    AD = 36 : 4 = 9 (см).
  2. 2)Відстань від O до сторони дорівнює половині сторони:
    OK = 9 : 2 = 4,5 (см).

Відповідь: 4,5 см.

Відстань до кожної з чотирьох сторін однакова. Вона дорівнює половині сторони, а всі сторони квадрата рівні.

Як знаходити кути за допомогою кута 45°

У задачах про кути квадрата майже завжди допомагає те, що діагональ утворює зі стороною кут 45°. Знайди на кресленні трикутник, у якого одна вершина лежить у вершині квадрата, а одна сторона йде по діагоналі.

Приклад 10. Точки E і F лежать на сторонах AB і AD квадрата ABCD, EF ⊥ AC. Знайди кут AEF

Квадрат ABCD з діагоналлю AC. Точка E на стороні AB, точка F на стороні AD, відрізок EF перпендикулярний до AC і перетинає її в точці M. Кут CAB дорівнює 45 градусів, шукаємо кут AEF

M — точка перетину EF і AC. ∠CAB = 45°, ∠AME = 90°.

Розв'язання.

  1. 1)∠MAE = 45° (діагональ утворює зі стороною кут 45°).
  2. 2)У △AME ∠M = 90°, тому ∠AEM = 90° − 45° = 45°.

Відповідь: 45°.

Так само ∠AFE = 45°. Отже, трикутник AEF рівнобедрений: AE = AF.

Приклад 11. Точка K лежить на стороні AB квадрата ABCD, відрізок DK перетинає діагональ AC у точці M, ∠DMC = 75°. Знайди кут AKD

Квадрат ABCD з діагоналлю AC. Точка K на стороні AB, відрізок DK перетинає AC у точці M. Кут DMC дорівнює 75 градусів, шукаємо кут AKD

Кути DMC і AMK вертикальні.

Розв'язання.

  1. 1)∠AMK = ∠DMC = 75° (як вертикальні).
  2. 2)∠MAK = 45° (діагональ AC утворює зі стороною AB кут 45°).
  3. 3)У △AMK:
    ∠AKM = 180° − 45° − 75° = 60°.

Відповідь: 60°.

Ознаки квадрата

Теорема (ознаки квадрата).

  1. Якщо діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні, то він є квадратом.
  2. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

Доведення ознаки 1. Прямокутник є паралелограмом. Паралелограм з перпендикулярними діагоналями є ромбом, тому всі сторони цього прямокутника рівні.

Прямокутник, у якого всі сторони рівні, є квадратом за означенням.

Доведення ознаки 2. Ромб є паралелограмом. Паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником, тому всі кути цього ромба прямі.

Отже, це прямокутник, у якого всі сторони рівні, тобто квадрат.

Обидва доведення йдуть однаково: спершу фігуру впізнаємо як паралелограм, потім застосовуємо ознаку ромба чи прямокутника. Так само доводять і дві інші ознаки нижче.

Приклад 12. Сусідні сторони прямокутника ABCD рівні. Доведи, що він є квадратом

Прямокутник ABCD: усі кути прямі, а сусідні сторони AB і AD рівні — позначені однією рисочкою

ABCD — прямокутник, AB = AD.

Доведення.

  1. 1)Прямокутник ABCD є паралелограмом.
  2. 2)Паралелограм із рівними сусідніми сторонами є ромбом (ознака ромба). Отже, AB = BC = CD = DA.
  3. 3)ABCD — прямокутник, у якого всі сторони рівні, тобто квадрат (за означенням).

Приклад 13. Один кут ромба ABCD прямий. Доведи, що цей ромб є квадратом

Ромб ABCD: усі сторони рівні — позначені рисочками, кут A прямий

ABCD — ромб, ∠A = 90°.

Доведення.

  1. 1)Ромб ABCD є паралелограмом.
  2. 2)Паралелограм, у якого один кут прямий, є прямокутником (ознака прямокутника).
  3. 3)ABCD — прямокутник, у якого всі сторони рівні, бо він ромб. Отже, ABCD — квадрат.

Приклади 12 і 13 — «ключові» вправи: у підручнику їх позначено ключиком. Їх можна використовувати як ще дві ознаки квадрата: прямокутник з рівними сусідніми сторонами і ромб із прямим кутом є квадратами.

Приклад 14. У чотирикутнику ABCD усі сторони рівні й усі кути рівні. Доведи, що ABCD — квадрат

Чотирикутник ABCD: усі сторони рівні — позначені рисочками, усі кути рівні — позначені однією дужкою

Рисочки — рівні сторони, однакові дужки — рівні кути.

Тут не сказано, що ABCD — паралелограм. Тому ознаки ромба й прямокутника для паралелограма одразу застосувати не можна.

Доведення.

  1. 1)Чотирикутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом (це доведено в § 4).
  2. 2)Сума кутів чотирикутника 360°, а кути рівні. Тому кожен кут дорівнює 360° : 4 = 90°.
  3. 3)Ромб із прямим кутом є квадратом (приклад 13).

Приклад 15. Діагоналі чотирикутника рівні й перпендикулярні. Чи обов'язково він квадрат?

Ознаки квадрата говорять про прямокутник і ромб. Про довільний чотирикутник у них нічого не сказано, тому спробуємо знайти чотирикутник, який не є квадратом.

Чотирикутник ABCD, діагоналі AC і BD перпендикулярні й обидві дорівнюють 6 сантиметрам. AO дорівнює 1 сантиметр, OC — 5 сантиметрів, BO і OD — по 3 сантиметри. Сторони AB і BC різні

AC = BD = 6 см, AC ⊥ BD, але AO = 1 см, а OC = 5 см.

Розв'язання.

  1. 1)Проведемо перпендикулярні відрізки AC = 6 см і BD = 6 см. Точку перетину O виберемо так, щоб AO = 1 см, OC = 5 см, BO = OD = 3 см.
  2. 2)Діагоналі рівні й перпендикулярні, але точкою перетину не діляться навпіл: 1 см ≠ 5 см.
  3. 3)Отже, ABCD не є паралелограмом. А кожний квадрат є паралелограмом, тому ABCD не квадрат.

Відповідь: ні, не обов'язково.

Приклад 16. Чи правильне твердження «кожний ромб є квадратом»?

Щоб показати, що твердження «кожний …» хибне, досить одного прикладу, для якого воно не виконується.

Ромб ABCD з гострим кутом A 60 градусів: усі сторони рівні, але кути не прямі

Ромб ABCD з кутом 60°.

Розв'язання. Візьмемо ромб із гострим кутом 60°. Усі сторони в нього рівні, але кути не прямі.

Такий ромб не є прямокутником. Тому він не може бути й квадратом.

Відповідь: ні, твердження хибне.

Обернене твердження «кожний квадрат є ромбом» правильне: у квадрата всі сторони рівні.

Доведення в квадраті

У доведеннях з квадратом найчастіше використовують три факти:

  1. сторони квадрата рівні;
  2. діагоналі рівні й точкою перетину діляться навпіл;
  3. діагональ утворює зі стороною кут 45°.

Приклад 17. Точки M і N лежать на діагоналі AC квадрата ABCD, AM = CN. Доведи, що △ABM = △CDN

Квадрат ABCD з діагоналлю AC. Точки M і N на AC, AM дорівнює CN — дві рисочки. Відрізки BM і DN. Кути BAM і DCN по 45 градусів

AM = CN (дві рисочки), AB = CD (одна рисочка), кути при A і C по 45°.

Доведення.

  1. 1)AB = CD (як сторони квадрата).
  2. 2)∠BAM = ∠DCN = 45° (діагональ утворює зі стороною кут 45°).
  3. 3)AM = CN за умовою.
  4. 4)Тому △ABM = △CDN (за двома сторонами та кутом між ними).

Приклад 18. O — точка перетину діагоналей квадрата ABCD. Точки M і N лежать на відрізках BO і OD, BM = DN. Доведи, що AMCN — ромб

Квадрат ABCD з діагоналями, O — точка їх перетину. Точки M і N на діагоналі BD, BM дорівнює DN. Чотирикутник AMCN

O — точка перетину діагоналей, BM = DN.

Доведення.

  1. 1)OB = OD (діагоналі діляться навпіл) і BM = DN. Точка M лежить між B і O, а N — між O і D. Тому OM = OB − BM = OD − DN = ON.
  2. 2)OA = OC (діагоналі діляться навпіл).
  3. 3)Діагоналі AC і MN чотирикутника AMCN точкою перетину діляться навпіл. Отже, AMCN — паралелограм (ознака паралелограма).
  4. 4)AC ⊥ BD, тобто AC ⊥ MN. Паралелограм з перпендикулярними діагоналями є ромбом.

Приклад 19. На сторонах квадрата ABCD позначено точки E, F, G і H так, що BE = BF = DG = DH. Доведи, що EFGH — прямокутник

Квадрат ABCD. Точки E на AB, F на BC, G на CD, H на DA, причому BE, BF, DG і DH рівні — одна рисочка. Чотирикутник EFGH. Кути BEF і AEH по 45 градусів

E на AB, F на BC, G на CD, H на DA.

Доведення.

  1. 1)△EBF прямокутний і рівнобедрений, бо ∠B = 90° і BE = BF. Його гострі кути рівні:
    ∠BEF = 90° : 2 = 45°.
  2. 2)AE = AB − BE, AH = AD − DH, а AB = AD і BE = DH. Тому AE = AH.
  3. 3)△EAH теж прямокутний і рівнобедрений, тому ∠AEH = 45°.
  4. 4)Кути BEF, FEH і AEH разом утворюють розгорнутий кут AEB, тобто 180°. Тому
    ∠FEH = 180° − 45° − 45° = 90°.
  5. 5)Так само прямими є кути при F, G і H. Чотирикутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником («ключова» вправа § 3).

Приклад 20. З точки M до кола з центром O проведено дві перпендикулярні дотичні MA і MB, радіус кола дорівнює 5 см. Знайди периметр чотирикутника MAOB

Коло з центром O і радіусом 5 сантиметрів. З точки M проведено дотичні MA і MB, A і B — точки дотику. Кути при A, B і M прямі

A і B — точки дотику, ∠AMB = 90°, OA = 5 см.

Спершу доведемо, що MAOB — квадрат. Згадай факт із 7 класу: дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Розв'язання.

  1. 1)∠OAM = ∠OBM = 90° (дотична перпендикулярна до радіуса), ∠AMB = 90° за умовою.
  2. 2)Четвертий кут:
    ∠AOB = 360° − 3 · 90° = 90°. Чотирикутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником («ключова» вправа § 3).
  3. 3)OA = OB (як радіуси). Прямокутник із рівними сусідніми сторонами є квадратом (приклад 12).
  4. 4)Сторона квадрата 5 см, тому P = 4 · 5 = 20 (см).

Відповідь: 20 см.

Квадрат у рівнобедреному прямокутному трикутнику

У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути по 45°.

Квадрат відтинає від нього менші трикутники з тими самими кутами 45° і 90°. Такі трикутники теж рівнобедрені, тому їхні катети рівні. З цих рівних відрізків і складаються катет чи гіпотенуза великого трикутника.

Приклад 21. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) з катетом 12 см вписано квадрат CMNK так, що прямий кут C у них спільний, а точка N лежить на гіпотенузі AB. Знайди периметр квадрата

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C, катети CA і CB дорівнюють по 12 сантиметрів, напис стоїть під CB. Квадрат CMNK: M на CB, K на CA, N на гіпотенузі AB

CA = CB = 12 см, K на CA, M на CB, N на AB.

Розв'язання.

Позначимо сторону квадрата $x$ см.

  1. 1)∠A = 45°, бо гострі кути рівнобедреного прямокутного трикутника рівні.
  2. 2)У △AKN ∠K = 90°, тому ∠ANK = 90° − 45° = 45°. Отже, △AKN рівнобедрений, і AK = KN = $x$.
  3. 3)$CA=CK+KA=x+x=2x$. Тому $2x=12$, $x=6$.
  4. 4)P = 4 · 6 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

Сторона квадрата вийшла рівною половині катета. Тому в квадрата зі спільним прямим кутом периметр завжди вдвічі більший за катет.

Приклад 22. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат KMNL: K і M лежать на гіпотенузі AB, L — на катеті AC, N — на катеті BC. Периметр квадрата дорівнює 16 см. Знайди гіпотенузу

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C угорі. Квадрат KMNL: K і M на гіпотенузі AB, L на катеті AC, N на катеті BC. Периметр квадрата 16 сантиметрів

Кути A і B по 45°, KL ⊥ AB і MN ⊥ AB.

Розв'язання.

  1. 1)Сторона квадрата:
    16 : 4 = 4 (см).
  2. 2)У △AKL ∠K = 90°, ∠A = 45°, тому ∠ALK = 45° і AK = KL = 4 см.
  3. 3)Так само у △BMN:
    MB = MN = 4 см.
  4. 4)AB = AK + KM + MB = 4 + 4 + 4 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

Приклад 23. На сторонах квадрата ABCD зовні побудовано рівні рівнобедрені трикутники AKB, BLC, CMD і DNA з кутом 70° при вершинах K, L, M і N. Доведи, що KLMN — квадрат

Квадрат ABCD. На його сторонах зовні побудовано рівні рівнобедрені трикутники AKB, BLC, CMD і DNA з кутом 70 градусів при вершинах K, L, M, N. Чотирикутник KLMN

Кут при вершині L дорівнює 70°, кут KBL — 160°.

Кути при основі кожного трикутника однакові:
(180° − 70°) : 2 = 55°.

Доведення.

  1. 1)Навколо вершини B лежать чотири кути: кут квадрата ABC, кути при основах ABK і CBL та кут KBL. Разом вони дають 360°, тому
    ∠KBL = 360° − 90° − 55° − 55° = 160°. Так само біля вершин C, D і A.
  2. 2)Бічні сторони рівних трикутників рівні:
    BK = BL = CL = CM = DM = DN = AN = AK.
  3. 3)Тому △KBL = △LCM = △MDN = △NAK (за двома сторонами та кутом 160° між ними). Отже, KL = LM = MN = NK.
  4. 4)△KBL рівнобедрений, тому ∠BLK = (180° − 160°) : 2 = 10°. Так само ∠CLM = 10°.
  5. 5)∠KLM = ∠KLB + ∠BLC + ∠CLM = 10° + 70° + 10° = 90°. Так само прямими є інші кути KLMN.
  6. 6)У KLMN усі сторони рівні й усі кути рівні, тому це квадрат (приклад 14).

Як побудувати квадрат

За периметром. Щоб поділити відрізок-периметр на 4, двічі знайди середину відрізка. Вийде сторона.

Побудуй косинцем прямий кут A і відклади на його сторонах відрізки AB і AD, рівні цій стороні.

Потім через точку B проведи пряму, перпендикулярну до AB, а через точку D — пряму, перпендикулярну до AD. Вони перетнуться в четвертій вершині C.

За діагоналлю. Діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні й діляться навпіл. Тому достатньо побудувати дві такі діагоналі.

Побудова квадрата за діагоналлю: відрізок AC, через його середину O проведено перпендикулярну пряму, на ній від O відкладено OB і OD, що дорівнюють OA

OA = OC = OB = OD, BD ⊥ AC.

  1. Накресли відрізок AC, рівний діагоналі з умови, і познач його середину O.
  2. Через точку O проведи пряму, перпендикулярну до AC.
  3. На цій прямій по обидва боки від O відклади відрізки OB і OD, рівні OA.
  4. Сполучи точки A, B, C і D: ABCD — квадрат, бо його діагоналі рівні, перпендикулярні й діляться навпіл.

За сумою діагоналей. Діагоналі квадрата рівні, тому спершу поділи суму навпіл, тобто знайди середину відрізка. Вийде діагональ, а далі будуй за діагоналлю.

Як перевірити себе

Перевір периметр діленням. Поділи знайдений периметр на 4: має вийти сторона, бо всі чотири сторони квадрата рівні.

Порівняй відстані від точки O. Відстань до вершини — половина діагоналі, а відстань до сторони — половина сторони.

У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона. У трикутнику ABD діагональ BD лежить проти прямого кута, тому вона довша за сторону. Отже, відстань до вершини має вийти більшою.

Склади кути трикутника. Якщо одна вершина трикутника лежить у вершині квадрата, а сторона йде по діагоналі, то один його кут дорівнює 45°. Сума трьох кутів має дати 180°.

Перечитай доведення. Перед ознакою квадрата має стояти рядок, що фігура — прямокутник або ромб. Ознаки квадрата діють лише для них.

Де найчастіше помиляються

1. Відстань від точки O до сторони прийняли за сторону

Завдання: точка перетину діагоналей квадрата віддалена від сторони на 5 см. Знайди периметр квадрата.

Квадрат ABCD, O — точка перетину діагоналей, OK — перпендикуляр до сторони AD завдовжки 5 сантиметрів. Сторона AD удвічі довша за OK

OK = 5 см, а сторона AD складається з двох таких відрізків: AK і KD.

Неправильно

Сторона 5 см
P = 4 · 5 = 20 (см)

Правильно

Сторона 2 · 5 = 10 (см)
P = 4 · 10 = 40 (см)

Як помітити: точка K ділить сторону AD навпіл, тому сторона вдвічі довша за OK. Якщо периметр вийшов 4 · 5 см, перпендикуляр узяли за цілу сторону.

2. Суму трьох сторін поділили на 4

Завдання: сума трьох сторін квадрата дорівнює 27 см. Знайди його периметр.

Неправильно

Сторона 27 : 4 = 6,75 (см)
P = 4 · 6,75 = 27 (см)

Правильно

Сторона 27 : 3 = 9 (см)
P = 4 · 9 = 36 (см)

Як помітити: периметр вийшов рівним сумі трьох сторін. Але сторін чотири, тому периметр має бути більшим.

3. Паралелограм із рівними діагоналями назвали квадратом

Завдання: діагоналі паралелограма ABCD рівні. Чи можна стверджувати, що ABCD — квадрат?

Неправильно

Діагоналі квадрата рівні
Відповідь: так, ABCD — квадрат

Правильно

Рівні діагоналі — ознака прямокутника
Прямокутник не завжди квадрат
Відповідь: ні, не можна
Прямокутник ABCD зі сторонами 8 і 4 сантиметри. Його діагоналі AC і BD рівні, але сусідні сторони різні, тож це не квадрат

Прямокутник зі сторонами 8 см і 4 см: діагоналі рівні, а сусідні сторони різні.

Як помітити: у неправильному розв'язку властивість квадрата прочитали навпаки. З того, що в квадрата діагоналі рівні, не випливає, що фігура з рівними діагоналями — квадрат.

Спробуй сам

  1. Периметр квадрата дорівнює 52 см. Знайди його сторону.
  2. Сторона квадрата дорівнює 3,5 дм. Знайди його периметр.
  3. Сума двох сторін квадрата дорівнює 15 см. Знайди його периметр.
  4. Сума трьох сторін квадрата дорівнює 33 дм. Знайди його периметр.
  5. Різниця між периметром квадрата і його стороною дорівнює 42 см. Знайди сторону й периметр.
  6. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від вершини на 7 см. Знайди суму діагоналей.
  7. Сума діагоналей квадрата дорівнює 30 см. Знайди відстань від точки їх перетину до вершини.
  8. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від сторони на 2,5 см. Знайди периметр квадрата.
  9. Периметр квадрата дорівнює 28 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей до сторони.
  10. Точка K лежить на стороні BC квадрата ABCD. Відрізок AK перетинає діагональ BD у точці M, ∠AMB = 105°. Знайди кут BAK.
  11. Чи правильне твердження «кожний квадрат є паралелограмом»?
  12. Діагоналі прямокутника ABCD перпендикулярні, AB = 6 см. Знайди периметр прямокутника.
  13. Діагоналі ромба рівні. Знайди кут між діагоналлю і стороною цього ромба.
  14. Точки M і N лежать на сторонах AB і BC квадрата ABCD, BM = BN. Доведи, що BD ⊥ MN.
  15. У рівнобедрений прямокутний трикутник з катетом 18 см вписано квадрат. Прямий кут у них спільний, а четверта вершина квадрата лежить на гіпотенузі. Знайди периметр квадрата.
  16. У рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою 21 см вписано квадрат. Дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Знайди периметр квадрата.
  17. З точки M до кола з центром O проведено дві перпендикулярні дотичні MA і MB, MA = 4 см. Знайди радіус кола.
  18. Опиши, як побудувати квадрат, сума діагоналей якого 10 см.
Перевірити відповіді
  1. 13 см.
  2. 14 дм.
  3. 30 см.
  4. 44 дм.
  5. 14 см і 56 см.
  6. 28 см.
  7. 7,5 см.
  8. 20 см.
  9. 3,5 см.
  10. 30°.
  11. Так: квадрат є прямокутником, а прямокутник — паралелограмом.
  12. 24 см: за ознакою 1 це квадрат.
  13. 45°: за ознакою 2 цей ромб є квадратом.
  14. △MBN рівнобедрений, а BD ділить його кут B навпіл. Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою, тому BD ⊥ MN.
  15. 36 см.
  16. 28 см.
  17. 4 см: MAOB — квадрат.
  18. Поділи 10 см на 2 — діагональ 5 см. Відклади AC = 5 см, через середину O проведи перпендикуляр і відклади на ньому OB = OD = 2,5 см.

Повний розв'язок завдання 10

Квадрат ABCD з діагоналлю BD. Точка K на стороні BC, відрізок AK перетинає BD у точці M. Кут AMB дорівнює 105 градусів, шукаємо кут BAK

У △ABM кут B дорівнює 45°, кут M — 105°.

  1. 1)∠ABM = 45° (діагональ BD утворює зі стороною AB кут 45°).
  2. 2)У △ABM:
    ∠BAM = 180° − 45° − 105° = 30°.

Повний розв'язок завдання 16

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C угорі, гіпотенуза AB дорівнює 21 сантиметр. Квадрат KMNL: K і M на гіпотенузі, L на AC, N на BC. Відрізки AK, KM і MB рівні

AB = 21 см, K і M на гіпотенузі.

  1. 1)Кути A і B по 45°. У △AKL ∠K = 90°, тому ∠ALK = 45° і AK = KL.
  2. 2)Так само MB = MN. Отже, AK = KM = MB — три рівні частини гіпотенузи.
  3. 3)Сторона квадрата:
    21 : 3 = 7 (см), P = 4 · 7 = 28 (см).

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіша причина — відстань від точки O до сторони сплутали зі стороною або з половиною діагоналі.

Для батьків

Попросіть дитину пояснити, чому квадрат є і прямокутником, і ромбом. Досить сказати, що в нього всі кути прямі й усі сторони рівні.

Корисне запитання: чи є квадратом чотирикутник з рівними й перпендикулярними діагоналями? Правильна відповідь — не обов'язково, бо діагоналі можуть не ділитися навпіл.

Ще одне запитання: на якій відстані від сторони лежить точка перетину діагоналей квадрата зі стороною 10 см? Відповідь — 5 см, бо ця відстань дорівнює половині сторони.

Повідомити про помилку