Ти навчишся відрізняти цілі вирази від дробових і знаходити допустимі значення змінної. Розберемо, коли раціональний дріб дорівнює нулю, а коли взагалі не має змісту.
Уже розв’язав вправи й хочеш знайти, де могла закрастися помилка? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Коротко про зміст
Цілий раціональний вираз не містить ділення на вираз зі змінною. Ділити на число можна: вираз $\frac{x-y}{4}$ цілий, бо він дорівнює $\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}y$.
Дробовий раціональний вираз містить ділення на вираз зі змінною, наприклад $\frac{5}{a}$ або $m-\frac{2}{m+1}$. Цілі й дробові вирази разом називають раціональними виразами. У них є лише додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня.
Раціональний дріб — це вираз $\frac{P}{Q}$, де P і Q — многочлени. Наприклад, $\frac{x+3}{x^2-2}$ є раціональним дробом.
Вираз $\frac{x}{1+\frac{1}{x}}$ раціональним дробом не є. Його знаменник містить дріб, тому цей знаменник не є многочленом. Проте раціональним виразом цей вираз є.
Так само не є раціональним дробом вираз, у чисельнику якого стоїть дріб зі змінною, наприклад $\frac{a+\frac{1}{b}}{a-2}$.
Коли вираз має зміст
Цілий вираз має зміст за будь-яких значень змінних. Щоб знайти його значення, треба лише додавати, віднімати, множити й ділити на число, відмінне від нуля. Ці дії можна виконати завжди.
З дробом $\frac{5}{x-3}$ інакше. Його значення можна знайти для будь-якого x, крім x = 3.
Якщо x = 3, знаменник дорівнює 3 − 3 = 0, а на нуль ділити не можна. Кажуть, що за x = 3 вираз не має змісту.
Значення змінної, за яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінної. Усі вони разом утворюють область визначення виразу, або область допустимих значень змінних у виразі.
Відповідь записують словами або коротко. Словами для дробу $\frac{5}{x-3}$ пишуть «x — усі числа, крім 3», а коротко пишуть «x ≠ 3».
Якщо заборонених значень кілька, кожне записують окремо через крапку з комою: «a ≠ 3; a ≠ −3». Якщо заборонених значень немає, пишуть, що змінна — будь-яке число, наприклад «y — будь-яке число».
Коли дріб дорівнює нулю. Дріб $\frac{P}{Q}$ дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Ці дві умови записують системою:
$\begin{cases}P=0,\\ Q\ne0.\end{cases}$
Фігурна дужка означає, що обидві умови мають виконуватися разом. Друга умова потрібна, бо за Q = 0 дріб не має змісту, тож і нулю він дорівнювати не може.
Як знайти допустимі значення змінної
- Випиши всі знаменники, у яких є змінна. Не пропусти знаменник дробу, що стоїть усередині іншого дробу.
- Для кожного знаменника знайди, за яких значень змінної він дорівнює нулю. Якщо знаменник можна розкласти на множники, розклади його: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю.
- Знайдені значення заборонені, бо на нуль ділити не можна. Запиши кожне з них окремо зі знаком «≠».
- Якщо знаменник не дорівнює нулю за жодного значення змінної, напиши у відповіді, що змінна — будь-яке число.
Цілий чи дробовий вираз
Приклад 1. Визнач, які вирази цілі, а які дробові
| 1) | $\dfrac{2a-b}{5}$ |
| 2) | $\dfrac{3}{x}+x^2$ |
| 3) | $\dfrac{1}{4}m^2-7m$ |
| 4) | $\dfrac{6}{c^2+4}$ |
Розв’язання. У кожному виразі шукаємо ділення на вираз зі змінною.
- 1)У виразах 1) і 3) ділять лише на числа 5 і 4. Тому ці вирази цілі.
- 2)У виразі 2) число 3 ділять на x, а у виразі 4) число 6 ділять на c² + 4. Тому ці вирази дробові.
Квадрат числа не менший від нуля, тому c² + 4 не менше від 4 і нулем не буває. Проте вираз 4) усе одно є дробовим. Цілий вираз чи дробовий, визначає саме ділення на вираз зі змінною.
Відповідь: вирази 1) і 3) цілі, вирази 2) і 4) дробові.
Допустимі значення змінної
Приклад 2. Знайди допустимі значення змінної в сумі двох дробів
Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{x+1}{x(x-5)}+\frac{3}{x+2}$.
Розв’язання. Вираз має зміст, лише коли мають зміст обидва дроби. Тому розглянемо кожен знаменник окремо.
| $x(x-5)\ne0$ | |
| $x\ne0;\ x\ne5$ | |
| $x+2\ne0$ | |
| $x\ne-2$ |
- 1)Перший знаменник є добутком x(x − 5). Він дорівнює нулю, коли x = 0 або коли x − 5 = 0, тобто x = 5.
- 2)Другий знаменник x + 2 дорівнює нулю, коли x = −2.
Відповідь: x ≠ 0; x ≠ 5; x ≠ −2.
Якщо в знаменнику стоїть лише число, як у виразі $\frac{b+2}{7}$, заборонених значень немає. Тоді відповідь така: b — будь-яке число.
Буває й обернене завдання: скласти вираз, який не має змісту лише за x = 3 і x = −1. Для цього потрібен знаменник, що дорівнює нулю саме за цих значень, наприклад $\frac{1}{(x-3)(x+1)}$.
Приклад 3. Розклади знаменник на множники і знайди допустимі значення
Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{9}{b(b-4)+2b-8}$.
Розв’язання. З многочлена b(b − 4) + 2b − 8 одразу не видно, коли він дорівнює нулю. Тому спершу розкладемо його на множники.
| $b(b-4)+2b-8$ | |
| $=b{\color{#d86f12}{(b-4)}}+2{\color{#d86f12}{(b-4)}}$ | |
| $=(b-4)(b+2)$ | |
| $(b-4)(b+2)\ne0$ | |
| $b\ne4;\ b\ne-2$ |
- 1)З доданків 2b − 8 виносимо 2 за дужки:
2b − 8 = 2(b − 4). Тепер обидва доданки мають спільний множник b − 4. - 2)Виносимо b − 4 за дужки, і в других дужках лишається b + 2.
- 3)Добуток дорівнює нулю, коли b − 4 = 0 або b + 2 = 0, тобто b = 4 або b = −2.
Відповідь: b ≠ 4; b ≠ −2.
Інші знаменники розкладають способами з 7 класу. Спільний множник виносять за дужки:
y² − 6y = y(y − 6), тому y ≠ 0; y ≠ 6.
Різницю квадратів розкладають за формулою:
c² − 36 = (c − 6)(c + 6), тому c ≠ 6; c ≠ −6. Знаменник (k + 5)² дорівнює нулю лише за k = −5, тож заборонене значення одне: k ≠ −5.
Приклад 4. Знайди допустимі значення, коли в знаменнику є модуль
Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{2}{|a+1|-5}$.
Розв’язання. З’ясуємо, коли знаменник дорівнює нулю.
| $|a+1|-5=0$ | |
| $|a+1|=5$ | |
| $a+1=5$ або $a+1=-5$ | |
| $a=4$ або $a=-6$ |
- 1)Переносимо 5 у праву частину зі знаком «+».
- 2)Модуль дорівнює 5, коли вираз під модулем дорівнює 5 або −5, бо обидва ці числа віддалені від нуля на 5. Тому випадків два.
- 3)Розв’язуємо кожну рівність:
a = 5 − 1 = 4 і a = −5 − 1 = −6. Обидва значення заборонені.
Відповідь: a ≠ 4; a ≠ −6.
Знаменник |m| + 5 нулем не буває. Модуль не менший від нуля, тому сума |m| + 5 не менша від 5. Отже, у виразі $\frac{1}{|m|+5}$ змінна m — будь-яке число.
Приклад 5. Знайди допустимі значення, коли в знаменнику є ще один дріб
Знайди допустимі значення змінної у виразі $\dfrac{6}{1-\dfrac{3}{x}}$.
Розв’язання. У цьому виразі два знаменники: внутрішній x і зовнішній $1-\frac{3}{x}$.
- 1)Дріб $\frac{3}{x}$ має зміст лише тоді, коли x ≠ 0.
- 2)Зовнішній знаменник $1-\frac{3}{x}$ дорівнює нулю, коли дріб $\frac{3}{x}$ дорівнює 1. Дріб дорівнює 1, коли його чисельник дорівнює знаменнику, тобто коли x = 3.
Одне заборонене значення робить нулем внутрішній знаменник, а друге — зовнішній. Тому заборонених значень два.
Відповідь: x ≠ 0; x ≠ 3.
Так само шукають заборонені значення для знаменника $\frac{1}{x}+1$. Він дорівнює нулю, коли $\frac{1}{x}=-1$. Дріб дорівнює −1, коли чисельник і знаменник — протилежні числа, тобто коли x = −1.
Разом із внутрішнім знаменником виходить x ≠ 0; x ≠ −1.
Значення дробу
Дріб можна скласти й за умовою задачі. Якщо автомобіль за t год проїхав 150 км, його швидкість дорівнює $\frac{150}{t}$ км/год. За t = 2 швидкість дорівнює 150 : 2 = 75 (км/год).
Щоб знайти значення дробу, підстав число замість змінної і виконай дії. Від’ємне число бери в дужки, якщо його підносять до степеня, множать на нього чи віднімають його. Ось значення дробу $\frac{x+4}{x-1}$ за x = −2:
$\frac{-2+4}{-2-1}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$.
Приклад 6. Знайди, за якого значення змінної дріб дорівнює певному числу
За якого значення y значення дробу $\frac{y-3}{6}$ дорівнює −1,5?
Розв’язання. Запишемо рівність і помножимо обидві її частини на 6.
| $\dfrac{y-3}{6}=-1{,}5$ | |
| $y-3=-1{,}5\cdot6$ | |
| $y-3=-9$ | |
| $y=-6$ |
- 1)Множимо обидві частини на 6. З 7 класу відомо, що від множення обох частин на число, відмінне від нуля, корені рівняння не змінюються.
- 2)Обчислюємо −1,5 · 6 = −9 і переносимо −3 у праву частину:
y = −9 + 3 = −6. - 3)Перевіряємо підстановкою. Чисельник дорівнює −6 − 3 = −9, а −9 : 6 = −1,5.
Відповідь: y = −6.
Коли дріб дорівнює нулю
Приклад 7. З’ясуй, за якого значення змінної дріб дорівнює нулю
Для якого значення x дорівнює нулю дріб $\frac{3x-12}{x^2-4x}$?
Розв’язання. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$\begin{cases}3x-12=0,\\ x^2-4x\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}x=4,\\ x(x-4)\ne0.\end{cases}$
- 1)Чисельник 3x − 12 дорівнює нулю, коли 3x = 12, тобто x = 4. Інших таких значень немає.
- 2)Підставляємо x = 4 у знаменник:
4² − 4 · 4 = 16 − 16 = 0. За x = 4 знаменник дорівнює нулю, тому дріб не має змісту. - 3)Єдине значення, за якого чисельник дорівнює нулю, відкидаємо. Отже, дріб нулю не дорівнює ніколи.
Відповідь: немає таких значень x.
Якщо знаменник за знайденим значенням не дорівнює нулю, це значення записують у відповідь. Наприклад, у дробі $\frac{x+7}{x-2}$ чисельник дорівнює нулю, коли x = −7. Знаменник тоді дорівнює −7 − 2 = −9, тобто не нулю, тому дріб дорівнює нулю за x = −7.
Знак дробу
Приклад 8. Визнач знак дробу за знаком змінної
Визнач знак дробу $\frac{|c-3|+1}{d^5}$, якщо $d\lt0$.
Розв’язання. Визначимо окремо знак чисельника і знак знаменника.
- 1)Модуль не буває від’ємним, тому |c − 3| + 1 не менше від 1. Отже, чисельник додатний за будь-якого c.
- 2)Число d від’ємне, а показник 5 непарний. Добуток п’яти від’ємних множників від’ємний, тому знаменник d⁵ від’ємний.
- 3)Додатне число, поділене на від’ємне, дає від’ємне число.
Відповідь: дріб від’ємний.
З парним показником усе інакше. Якщо $b\lt0$, то b⁴ додатне, бо чотири від’ємні множники об’єднуються у дві пари, і добуток кожної пари додатний.
Приклад 9. Доведи, що дріб від’ємний за будь-якого значення змінної
Доведи, що для будь-якого значення x значення дробу $\frac{-3}{x^2+2}$ є від’ємним.
Доведення.
- 1)Квадрат будь-якого числа не менший від нуля. Тому x² + 2 не менше від 2, тобто знаменник додатний за будь-якого x.
- 2)Чисельник −3 від’ємний.
- 3)Від’ємне число, поділене на додатне, дає від’ємне число. Твердження доведено.
Слова «невід’ємний» і «додатний» означають різне. Невід’ємне число — це додатне число або нуль, а недодатне — від’ємне число або нуль.
Дріб $\frac{(x-1)^2}{x^2+4}$ невід’ємний: його знаменник додатний, а чисельник не менший від нуля. Додатним цей дріб назвати не можна, бо за x = 1 він дорівнює нулю.
Як перевірити себе
- Підстав кожне заборонене значення в знаменник. Має вийти нуль. Наприклад, для знаменника x² − 16 і значення −4 отримуємо (−4)² − 16 = 0. Якщо вийшло інше число, заборонене значення знайдено неправильно.
- Перевір, що розглянуто кожен знаменник зі змінною. Окремо подивись на знаменник дробу, що стоїть усередині іншого дробу. Кожен пропущений знаменник може приховувати пропущене заборонене значення.
- Коли шукаєш, за якого значення дріб дорівнює нулю, підстав знайдене значення в знаменник. Якщо знаменник дорівнює нулю, дріб за цього значення не має змісту, і значення треба відкинути.
- Знак дробу перевір на конкретних числах. Якщо за умовою змінна від’ємна, підстав замість неї −1, а замість інших змінних — будь-які допустимі числа. Порахуй знак дробу: він має збігтися зі знаком, який ти визначив міркуванням.
Де найчастіше помиляються
1. Не перевірили знаменник, коли шукали, де дріб дорівнює нулю
Завдання: знайти, для якого значення x дорівнює нулю дріб $\frac{(x-5)(x+2)}{x^2-25}$.
Неправильно
| $(x-5)(x+2)=0$ | |
| $x=5$ або $x=-2$ | |
| Відповідь: $x={\color{#a72727}{5}}$, $x=-2$. |
Правильно
| $x=5$ або $x=-2$ | |
| знаменник за $x=5$ | |
| $5^2-25=0$, відкидаємо | |
| знаменник за $x=-2$ | |
| $(-2)^2-25=-21$ | |
| Відповідь: x = −2 |
Що сталося: знайшли, коли чисельник дорівнює нулю, і на цьому зупинилися. Але за x = 5 знаменник x² − 25 теж дорівнює нулю, тому дріб за цього значення не має змісту.
Як помітити: підстав кожне знайдене значення в знаменник. Значення, за якого знаменник дорівнює нулю, у відповідь не потрапляє.
2. Знайшли лише одне значення, за якого різниця квадратів дорівнює нулю
Завдання: знайти допустимі значення змінної у виразі $\frac{7}{x^2-16}$.
Неправильно
| $x^2-16\ne0$ | |
| $x^2\ne16$ | |
| Відповідь: ${\color{#a72727}{x\ne4}}$. |
Правильно
| $x^2-16=(x-4)(x+4)$ | |
| $(x-4)(x+4)\ne0$ | |
| Відповідь: x ≠ 4; x ≠ −4 |
Що сталося: згадали лише число 4, квадрат якого дорівнює 16. Але (−4)² теж дорівнює 16. Розклад на множники за формулою різниці квадратів показує обидва значення.
Як помітити: якщо в знаменнику є x², перевір і протилежне число. Квадрати протилежних чисел рівні.
3. Пропустили знаменник дробу, що стоїть у знаменнику
Завдання: знайти допустимі значення змінної у виразі $\dfrac{4}{1+\dfrac{2}{x}}$.
Неправильно
| $1+\dfrac{2}{x}\ne0$ | |
| $\dfrac{2}{x}\ne-1,\quad x\ne-2$ | |
| Відповідь: ${\color{#a72727}{x\ne-2}}$. |
Правильно
| $x\ne0$ | |
| $1+\dfrac{2}{x}\ne0,\quad x\ne-2$ | |
| Відповідь: x ≠ 0; x ≠ −2 |
Що сталося: перевірили лише великий знаменник. Але за x = 0 не має змісту вже дріб $\frac{2}{x}$, а отже, і весь вираз.
Як помітити: порахуй усі риски дробу у виразі. Під кожною рискою стоїть знаменник, і кожен треба перевірити.
4. Шукали заборонені значення там, де знаменник не буває нулем
Завдання: знайти допустимі значення змінної у виразі $\frac{5}{x^2+1}$.
Неправильно
| $x^2+1\ne0$ | |
| Відповідь: ${\color{#a72727}{x\ne1;\ x\ne-1}}$. |
Правильно
| $x^2+1$ не менше від 1 | |
| Відповідь: x — будь-яке число |
Що сталося: переплутали x² + 1 з x² − 1. Квадрат числа не менший від нуля, тому сума x² + 1 не менша від 1 і нулем не буває.
Як помітити: підстав «заборонене» число в знаменник. За x = 1 вираз x² + 1 дорівнює 2, тобто нулем не стає.
Спробуй сам
- Цілим чи дробовим є вираз $\frac{x-y}{7}+\frac{2}{y}$?
- Чи є раціональним дробом вираз $\dfrac{a}{2+\dfrac{1}{a}}$?
- Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{4}{m-1}+\frac{m}{m+8}$.
- Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{1}{x(x+3)-2x-6}$.
- Знайди допустимі значення змінної у виразі $\frac{8}{3-|k+1|}$.
- Знайди допустимі значення змінної у виразі $\dfrac{3}{\dfrac{4}{x}-1}$.
- Знайди значення дробу $\frac{1+x}{2-x}$, якщо x = −4.
- За якого значення a значення дробу $\frac{a+5}{4}$ дорівнює −3?
- Для якого значення y дорівнює нулю дріб $\frac{y^2+5y}{y+5}$?
- Визнач знак дробу $\frac{p^4}{q^3}$, якщо $p\lt0$ і $q\lt0$.
- Склади вираз зі змінною x, який не має змісту лише за x = 3 і x = −5.
Перевірити відповіді
- Дробовим: число 2 ділять на змінну y.
- Ні: знаменник містить дріб і не є многочленом. Це раціональний вираз.
- m ≠ 1; m ≠ −8.
- x ≠ −3; x ≠ 2.
- k ≠ 2; k ≠ −4.
- x ≠ 0; x ≠ 4.
- −0,5.
- a = −17.
- y = 0.
- Дріб від’ємний.
- Наприклад, $\frac{1}{(x-3)(x+5)}$.
Повний розв’язок завдання 4
Розкладемо знаменник на множники. З доданків −2x − 6 виносимо −2 за дужки, щоб у дужках вийшло x + 3.
| $x(x+3)-2x-6$ | |
| $=x(x+3)-2(x+3)$ | |
| $=(x+3)(x-2)$ | |
| $x\ne-3;\ x\ne2$ |
Добуток (x + 3)(x − 2) дорівнює нулю, коли x = −3 або x = 2. Ці значення заборонені.
Повний розв’язок завдання 9
$\begin{cases}y^2+5y=0,\\ y+5\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}y(y+5)=0,\\ y\ne-5.\end{cases}$
Чисельник y(y + 5) дорівнює нулю, коли y = 0 або y = −5. За y = −5 знаменник дорівнює нулю, тому це значення відкидаємо. За y = 0 знаменник дорівнює 5, отже, дріб дорівнює нулю лише за y = 0.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що пропущено знаменник або не перевірено знаменник для значення, яке обнуляє чисельник.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чому вираз $\frac{5}{x-3}$ не має змісту за x = 3. Відповідь має бути такою: знаменник тоді дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна.
Коли дитина шукає, за якого значення дріб дорівнює нулю, запитайте, чи перевірила вона знаменник. Значення, за якого нулю дорівнюють і чисельник, і знаменник, у відповідь не записують.
Ця тема знадобиться в § 8, де розв’язують рівняння з дробами. Там так само спершу шукають значення, за яких знаменник дорівнює нулю.