Основна властивість раціонального дробу: скорочення і зведення до нового знаменника — алгебра 8 клас

Приклад 1. Скоротити дріб з одночленами

Скоротимо три дроби.

1. 1)Числа скорочуємо, як у 6 класі. У пункті 1 найбільший спільний дільник чисел 18 і 12 — це 6.
2. 2)Беремо лише букви, які є і в чисельнику, і в знаменнику. Для кожної з них беремо менший степінь. У пункті 1 з $x^3$ і $x$ беремо $x$, з $y$ і $y^2$ беремо $y$. Спільний множник — $6xy$.
3. 3)Записуємо чисельник і знаменник добутками з цим множником. Ділимо обидва на $6xy$.
4. 4)У пункті 2 мінус переносимо перед дріб: $\frac{-2a}{3b^2}=-\frac{2a}{3b^2}$.
5. 5)У пункті 3 букви стоять у різному порядку, але множення переставне. Після скорочення $k^3$ лишається в чисельнику, а $c^3$ — у знаменнику: $\frac{k^3}{c^3}$.

Відповідь: 1) $\frac{3x^2}{2y}$; 2) $-\frac{2a}{3b^2}$; 3) $\frac{k^3}{c^3}$.

Приклад 2. Подати частку одночленів дробом і скоротити

Запишемо частку у вигляді дробу і скоротимо його.

1. 1)Знак «:» замінюємо рискою дробу. Ділене стає чисельником, дільник — знаменником.
2. 2)Спільний множник: 5 (з чисел 20 і 15), $m$ і $n$. Скорочуємо на $5mn$.
3. 3)Мінус у знаменнику переносимо перед дріб.

Відповідь: $-\frac{4m^2}{3n^3}$.

Приклад 3. Скоротити дріб, де множники вже записано

Скоротимо два дроби.

1. 1)Дужку $(y-4)$ вважаємо однією «буквою». З $(y-4)^2$ і $(y-4)^3$ беремо менший степінь — $(y-4)^2$.
2. 2)У пункті 2 спільні множники — 5, $k$ і $(k+2)$. У чисельнику лишається $2(k+2)^2$.

Відповідь: 1) $\frac{2}{3(y-4)}$; 2) $\frac{2(k+2)^2}{3k}$.

Приклад 4. Винести спільний множник і скоротити

Скоротимо два дроби.

1. 1)У чисельнику виносимо 4: $4m-12n=4(m-3n)$. У знаменнику виносимо 10: $10m-30n=10(m-3n)$.
2. 2)Тепер видно спільний множник $(m-3n)$. Ділимо на нього. Лишається числовий дріб $\frac{4}{10}$, його теж скорочуємо.
3. 3)У пункті 2 чисельник $c$ — це $c\cdot 1$. Після ділення на $c$ у чисельнику лишається 1, а не 0.

Відповідь: 1) $\frac{2}{5}$; 2) $\frac{1}{c-4}$.

Приклад 5. Скоротити дріб із протилежними множниками

Скоротимо два дроби.

Вирази $a-2b$ і $2b-a$ протилежні: $2b-a=-(a-2b)$. Вони відрізняються лише знаком.

1. 1)Виносимо множники: $5a-10b=5(a-2b)$, $6b-3a=3(2b-a)$.
2. 2)Дужки різні, але протилежні. Замінюємо $3(2b-a)$ на $-3(a-2b)$: мінус переходить до числа.
3. 3)Скорочуємо на $(a-2b)$. Дістаємо $\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$.

Відповідь: 1) $-\frac{5}{3}$; 2) $-\frac{x}{4}$.

Приклад 6. Скоротити дріб за формулами скороченого множення

Скоротимо два дроби.

1. 1)Чисельник $x^2-25$ — різниця квадратів: $x^2-5^2=(x-5)(x+5)$.
2. 2)Знаменник — квадрат суми: $x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=(x+5)^2$, тобто $(x+5)(x+5)$.
3. 3)Скорочуємо на $(x+5)$ один раз. Дріб $\frac{x-5}{x+5}$ далі не скорочується: $x-5$ і $x+5$ — різні вирази.
4. 4)У пункті 2 у чисельнику виносимо 3, а знаменник розкладаємо як різницю квадратів.

Відповідь: 1) $\frac{x-5}{x+5}$; 2) $\frac{3}{a-7}$.

Приклад 7. Винести степінь і розкласти до кінця

1. 1)З кожного доданка виносимо найменший степінь $x^4$.
2. 2)Дужка $x^2-1$ ще розкладається: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Без цього кроку спільного множника $(x+1)$ не видно.
3. 3)Скорочуємо на $x^4(x+1)$. У знаменнику лишається 1, тому відповідь — многочлен.

Відповідь: $x-1$.

Приклад 8. Скоротити дріб, розкладаючи групуванням

1. 1)У чисельнику чотири доданки. Групуємо перші два і останні два: з $bx+3x$ виносимо $x$, з $-by-3y$ виносимо $-y$.
2. 2)В обох групах вийшла дужка $(b+3)$. Виносимо її: $(b+3)(x-y)$.
3. 3)У знаменнику виносимо 5. Скорочуємо на $(b+3)$.

Відповідь: $\frac{x-y}{5}$.

Приклад 9. Скоротити дріб із сумою або різницею кубів

Скоротимо два дроби.

1. 1)$64=4^3$, тому $a^3+64=a^3+4^3$ — сума кубів: $(a+4)(a^2-4a+16)$.
2. 2)$a^2-16$ — різниця квадратів: $(a-4)(a+4)$. Скорочуємо на $(a+4)$.
3. 3)Тричлен $a^2-4a+16$ — неповний квадрат різниці. На множники його не розкладають, тож скорочення закінчено.
4. 4)У пункті 2: $8=2^3$, тому $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$. Тричлен $x^2+2x+4$ — неповний квадрат суми, його теж не розкладають.

Відповідь: 1) $\frac{a^2-4a+16}{a-4}$; 2) $\frac{5}{x^2+2x+4}$.

Приклад 10. Складніші дроби: спершу спростити або розкласти кількома способами

Скоротимо три дроби.

1. 1)У пункті 1 чисельник — не добуток. Розкриваємо квадрати і зводимо подібні: лишається $20a$. Далі скорочуємо $\frac{20a}{10a^2}$ на $10a$.
2. 2)У пункті 2 з дужки $2a-6b$ виносимо 2. Під квадратом множник теж підносимо до квадрата: $2^2=4$.
3. 3)У пункті 3 знаменник розкладаємо двічі: $x^4-81=(x^2)^2-9^2$, а потім ще $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Суму квадратів $x^2+9$ на множники не розкладають.

Відповідь: 1) $\frac{2}{a}$; 2) $\frac{4(a-3b)}{7}$; 3) $\frac{x^2+3x+9}{(x+3)(x^2+9)}$.

Приклад 11. Знайти значення дробу: спершу скоротити

Знайдемо значення $\frac{4x^2-2xy}{6xy-3y^2}$, якщо $x=-3$, $y=\frac{1}{2}$.

1. 1)Спершу перевіряємо, що дріб має зміст. $2x-y=-6-\frac{1}{2}\ne 0$ і $y\ne 0$, тож знаменник не нуль.
2. 2)Скорочуємо на $(2x-y)$. Підставляти в короткий дріб $\frac{2x}{3y}$ набагато легше.

Так само зручно з дробами, де є степені. Знайдемо значення виразу $-\frac{(a^2)^4(x^3)^5}{4(a^3)^3(x^5)^3}$, якщо $a=-0{,}5$, $x=2026$.

1. 1)Підносимо степінь до степеня: $(a^2)^4=a^8$, $(a^3)^3=a^9=a\cdot a^8$, $(x^3)^5=(x^5)^3=x^{15}$.
2. 2)За $a=-0{,}5$ і $x=2026$ знаменник не нуль, тож вираз має зміст. Скорочуємо на $a^8x^{15}$. Буква $x$ скоротилася повністю, тож значення від $x$ не залежить: число 2026 не знадобилося.
3. 3)Мінус перед дробом зберігаємо до кінця. Тут він «зустрічається» з мінусом знаменника: $-\frac{1}{-2}=0{,}5$.

Відповідь: −4; 0,5.

Приклад 12. Знайти область визначення функції й побудувати графік

Функція: $y=\frac{x^2-4}{2-x}$.

1. 1)Знаменник не може дорівнювати нулю. $2-x=0$ лише за $x=2$, тож 2 не входить в область визначення.
2. 2)Скорочуємо. Знаменник $2-x=-(x-2)$, тому перед дужкою стоїть мінус.
3. 3)Графік $y=-x-2$ — пряма. Будуємо її за двома точками: (0; −2) і (−2; 0).
4. 4)Точка з абсцисою 2 графіку не належить. Її ординату рахуємо за новою формулою: $y=-4$. На графіку цю точку зображують «порожньою».

Пряма $y=-x-2$ з «виколотою» точкою (2; −4).

Підставити $x=2$ у початкову формулу не вийде: там дістанемо $\frac{0}{0}$. Тому ординату «виколотої» точки рахуємо лише за скороченою формулою.

Відповідь: область визначення — усі числа, крім 2; графік — пряма $y=-x-2$ без точки (2; −4).

Приклад 13. Звести дріб з одночленом у знаменнику

Зведемо два дроби до нових знаменників.

1. 1)Ділимо новий знаменник на старий: 20 : 5 = 4, $x^3:x=x^2$. Додатковий множник — $4x^2$.
2. 2)Множимо на $4x^2$ чисельник 3 і знаменник $5x$.

Відповідь: 1) $\frac{12x^2}{20x^3}$; 2) $\frac{6mn^3}{21n^5}$.

Приклад 14. Звести дріб до знаменника-многочлена

Зведемо чотири дроби до нових знаменників.

1. 1)Кожен новий знаменник розкладаємо на множники. У пункті 1 виносимо $n^2$, у пункті 4 це сума кубів: $t^3+8=t^3+2^3$.
2. 2)Один множник розкладу — старий знаменник. Другий — додатковий множник.
3. 3)Множимо на нього чисельник. У знаменнику пишемо заданий новий знаменник.

Відповідь: 1) $\frac{4n^2}{mn^2-n^3}$; 2) $\frac{7a+14}{a^2-4}$;

3) $\frac{x^2+xy}{x^2+2xy+y^2}$; 4) $\frac{5t^2-10t+20}{t^3+8}$.

Приклад 15. Звести дріб до протилежного знаменника

Зведемо два дроби до нових знаменників.

1. 1)У пункті 1 додатковий множник $-1$. Множимо на $-1$ чисельник і знаменник. Мінус з чисельника можна винести перед дріб.
2. 2)У пункті 2 розкладаємо $9-x^2$ як різницю квадратів. Множник $3-x$ протилежний до $x-3$: $3-x=-(x-3)$.
3. 3)Тому додатковий множник $-(x+3)$, з мінусом. Перевірка: $(x-3)\cdot\bigl(-(x+3)\bigr)$ $=-(x^2-9)=9-x^2$.

Відповідь: 1) $-\frac{3}{5-y}$; 2) $\frac{-x^2-3x}{9-x^2}$.