Ти навчишся розв’язувати рівняння, у яких змінна стоїть у знаменнику. Розберемо три способи з підручника і покажемо, чому деякі корені доводиться відкидати.
Уже розв’язав вправи й шукаєш, де розійшлася відповідь? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Коротко про зміст
Рівносильні рівняння мають однакові корені. Наприклад, рівняння x + 4 = 7 і 5x = 15 рівносильні, бо корінь кожного з них дорівнює 3. Два рівняння, які не мають коренів, теж вважають рівносильними.
З 7 класу ти знаєш три перетворення, після яких рівняння стає рівносильним початковому:
- розкрити дужки чи звести подібні доданки;
- перенести доданок в іншу частину з протилежним знаком;
- помножити чи поділити обидві частини на те саме число, відмінне від нуля.
Раціональне рівняння — це рівняння, ліва і права частини якого є раціональними виразами. Якщо обидві частини цілі, рівняння називають цілим, наприклад 2(x − 1) = x + 5. Якщо хоча б одна частина дробова, тобто змінна стоїть у знаменнику, рівняння називають дробовим, наприклад $\frac{3}{x}=x-2$.
Рівняння $\frac{x+1}{3}=x-2$ теж ціле: змінної в знаменнику немає, там стоїть лише число.
Дробове рівняння має зміст не для всіх значень змінної: знаменник не може дорівнювати нулю. Значення, за яких обидві частини мають зміст, називають допустимими значеннями змінної в рівнянні. Усі вони разом утворюють область визначення рівняння, коротко ОВР, або область допустимих значень (ОДЗ).
ОВР записують словами або нерівностями. Для рівняння $\frac{5}{x-4}=1$ знаменник $x-4\ne0$, тому $x\ne4$. Можна сказати й так: ОВР містить усі числа, крім 4.
Знаменник на кшталт $x^2+1$ нулем не буває. Число $x^2$ не менше від нуля, тому $x^2+1$ не менше від 1. Такий знаменник ОВР не обмежує.
Чи є число коренем? Підстав число в обидві частини. Воно буде коренем, лише якщо жоден знаменник не стає нулем і частини рівні.
Наприклад, для рівняння $\frac{x^2-9}{x-3}=0$ число 3 коренем не є. За x = 3 чисельник дорівнює нулю, але й знаменник дорівнює нулю, тож дріб не має змісту.
Як розв’язати дробове рівняння
- Обери спосіб. Спосіб 1: перенеси всі доданки ліворуч і зведи ліву частину до одного дробу. Такий дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Спосіб 2 зручний, коли в кожній частині стоїть по одному дробу: тоді діє властивість пропорції. Спосіб 3 зручний, коли дробів багато: обидві частини множать на їхній найпростіший спільний знаменник.
- У способах 2 і 3 спершу знайди ОВР: знайди числа, за яких знаменники дорівнюють нулю. Ці числа не можуть бути коренями. У способі 1 таку саму перевірку робить друга умова системи: знаменник не дорівнює нулю.
- Розв’яжи ціле рівняння. У способі 1 його отримують, коли прирівнюють чисельник до нуля, а в способах 2 і 3 його дає множення. У ньому дробів уже немає, тому розв’язуєш його так само, як у 7 класі.
- Порівняй кожен корінь з ОВР або з умовою, що знаменник не дорівнює нулю. Число, за якого знаменник дорівнює нулю, коренем не є: на нуль ділити не можна.
Чому корені порівнюють з ОВР? У способах 2 і 3 обидві частини множать на знаменники, тобто на вирази зі змінною. За деяких значень змінної такий вираз дорівнює нулю, і тоді ціле рівняння може мати корінь, якого в дробового рівняння немає.
Спосіб 1. Дріб дорівнює нулю
Дріб $\frac{P}{Q}$ дорівнює нулю тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тому рівняння $\frac{P}{Q}=0$ рівносильне системі:
$\begin{cases}P=0,\\ Q\ne0\end{cases}$
Фігурна дужка означає, що обидві умови мають виконуватися разом. Друга умова відкидає числа, за яких знаменник дорівнює нулю, тому окремо ОВР у цьому способі можна не шукати.
Якщо праворуч стоїть число чи дріб, їх спершу переносять ліворуч і зводять ліву частину до одного дробу.
Приклад 1. Розв’яжи рівняння, звівши його до вигляду P/Q = 0
Розв’яжемо рівняння $\frac{3x}{x-4}=2$.
Розв’язання. Перенесемо 2 ліворуч і зведемо ліву частину до одного дробу.
| $\dfrac{3x}{x-4}-\hphantom{{}^{x-4/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{x-4/}}}2}{1}=0$ | |
| $\dfrac{3x-2(x-4)}{x-4}=0$ | |
| $\dfrac{3x-2x+8}{x-4}=0$ | |
| $\dfrac{x+8}{x-4}=0$ |
Дріб дорівнює нулю, тож переходимо до системи:
$\begin{cases}x+8=0,\\ x-4\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}x=-8,\\ x\ne4;\end{cases}\quad x=-8.$
- 1)Число 2 записуємо дробом зі знаменником 1. Його додатковий множник дорівнює x − 4, і, як у підручнику, ми пишемо його над дробом ліворуч через косу риску.
- 2)Добуток 2(x − 4) віднімаємо цілком, тому беремо його в дужки. Після розкриття дужок −2 · (−4) дає +8.
- 3)Чисельник x + 8 дорівнює нулю, коли x = −8. За цього значення знаменник дорівнює −12, тобто відмінний від нуля. Отже, −8 є коренем.
Відповідь: −8.
Буває, що корінь чисельника перетворює знаменник на нуль. У рівнянні $\frac{x+5}{-5-x}=0$ чисельник дорівнює нулю лише за x = −5, але тоді й знаменник дорівнює нулю. Тому коренів немає.
Нуль теж може бути коренем. У рівнянні $\frac{x^2}{x-9}=0$ чисельник дорівнює нулю за x = 0, а знаменник тоді дорівнює −9. Отже, корінь дорівнює 0, і відкидати його не можна.
Чи рівносильні два рівняння
За виглядом рівнянь цього не визначиш. Треба знайти корені кожного рівняння і порівняти їх. Рівняння рівносильні, якщо корені однакові або коренів немає в обох.
Приклад 2. З’ясуй, чи рівносильні рівняння
Чи рівносильні рівняння $\frac{x^2-5x}{x}=0$ і $\frac{x-5}{x+1}=0$?
Розв’язання. Розв’яжемо кожне рівняння.
| 1) | $\begin{cases}x(x-5)=0,\\ x\ne0;\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=0\text{ або }x=5,\\ x\ne0;\end{cases}\quad x=5;$ | |
| 2) | $\begin{cases}x-5=0,\\ x+1\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}x=5,\\ x\ne-1;\end{cases}\quad x=5.$ |
- 1)У першому рівнянні виносимо x за дужки: x² − 5x = x(x − 5). Добуток дорівнює нулю, коли x = 0 або x = 5. Число 0 перетворює знаменник на нуль, тому лишається тільки 5.
- 2)Друге рівняння має один корінь 5: за x = 5 знаменник дорівнює 6.
- 3)Корені однакові, тож рівняння рівносильні.
Ціле рівняння x² − 5x = 0 має корені 0 і 5. Тому з першим рівнянням воно не рівносильне, хоча й записане тим самим чисельником.
Відповідь: так.
Спосіб 2. Основна властивість пропорції
Якщо $\frac{P}{Q}=\frac{M}{N}$, то P · N = M · Q, де $Q\ne0$ і $N\ne0$. Так зручно розв’язувати рівняння, у якому зліва і справа стоїть по одному дробу. Якщо в одній частині дріб і число, спершу зведи їх до одного дробу.
Приклад 3. Розв’яжи рівняння за властивістю пропорції
Розв’яжемо рівняння $\frac{3x-2}{x+1}=\frac{x}{x-5}+2$.
Розв’язання. Знайдемо ОВР. Знаменники не дорівнюють нулю: $x+1\ne0$ і $x-5\ne0$, тобто $x\ne-1$ і $x\ne5$.
Зведемо праву частину, тобто дріб і число, до одного дробу, щоб вийшла пропорція.
| $\dfrac{x}{x-5}+2=\dfrac{x+2(x-5)}{x-5}$ | |
| $=\dfrac{3x-10}{x-5}$ | |
| $\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{3x-10}{x-5}$ | |
| $(3x-2)(x-5)=(3x-10)(x+1)$ | |
| ${\color{#176fc1}{3x^2}}-15x-2x+10$ | |
| $={\color{#176fc1}{3x^2}}+3x-10x-10$ | |
| $3x^2-17x+10$ | |
| $=3x^2-7x-10$ | |
| $-17x+7x=-10-10$ | |
| $-10x=-20,\quad x=2$ |
- 1)Число 2 записуємо дробом зі знаменником 1 і зводимо до знаменника x − 5. У чисельнику виходить x + 2x − 10 = 3x − 10.
- 2)Перемножуємо чисельник лівого дробу на знаменник правого і чисельник правого на знаменник лівого. Дужки розкриваємо за правилом множення многочленів.
- 3)Зводимо подібні в кожній частині: −15x − 2x = −17x і 3x − 10x = −7x. В обох частинах стоїть 3x², тому віднімаємо його з обох частин. Члени з x переносимо ліворуч, а числа — праворуч, змінюючи знаки.
- 4)Число 2 не дорівнює ні −1, ні 5, тому воно належить ОВР і є коренем.
Розв’язання можна закінчити системою з коренем і умовами ОВР:
$\begin{cases}x=2,\\ x\ne-1,\\ x\ne5;\end{cases}\quad x=2.$
Відповідь: 2.
Після розкриття дужок $x^2$ часто стоїть в обох частинах з однаковим коефіцієнтом. Тоді його віднімають з обох частин, і рівняння стає лінійним. Якщо $x^2$ не зникає, перенеси все ліворуч і розклади ліву частину на множники, як у прикладі 4.
Спосіб 3. Множення на спільний знаменник
Якщо дробів у рівнянні кілька, обидві частини множать на найпростіший спільний знаменник усіх дробів. Знаменники спершу розкладають на множники: так видно і ОВР, і спільний знаменник. Вираз, на який множимо, підручник пише за вертикальною рискою праворуч від рівняння.
Приклад 4. Розв’яжи рівняння, помноживши на спільний знаменник
Розв’яжемо рівняння $\frac{2x}{x+2}+\frac{8}{x^2+2x}=\frac{x+4}{x}$.
Розв’язання. Розкладемо знаменник другого дробу: x² + 2x = x(x + 2). Знаменники x + 2, x(x + 2) і x не дорівнюють нулю, тому $x\ne0$ і $x\ne-2$.
ОВР містить усі числа, крім 0 і −2. Найпростіший спільний знаменник дорівнює x(x + 2). Помножимо на нього обидві частини.
| $\left.\begin{aligned}&\dfrac{2x}{x+2}+\dfrac{8}{x(x+2)}\\&=\dfrac{x+4}{x}\end{aligned}\;\right|\cdot x(x+2)$ | |
| $2x\cdot x+8=(x+4)(x+2)$ | |
| $2x^2+8=x^2+6x+8$ | |
| $x^2-6x=0$ | |
| $x(x-6)=0$ | |
| $x=0$ або $x=6$ |
- 1)Множимо кожен дріб на x(x + 2) і скорочуємо. У першого дробу лишається множник x, у другого знаменник скорочується повністю, а в третього лишається множник x + 2.
- 2)Переносимо всі члени ліворуч і зводимо подібні: 2x² − x² = x², а 8 − 8 = 0. Виходить рівняння x² − 6x = 0.
- 3)Виносимо x за дужки. Добуток дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю: x = 0 або x − 6 = 0.
- 4)Число 0 не належить ОВР, тому воно не є коренем. Число 6 належить ОВР.
Ділити рівняння x² − 6x = 0 на x не можна: так губиться корінь 0. Тут корінь 0 і так не належить ОВР, але в іншому рівнянні він може бути справжнім коренем.
Відповідь: 6.
Протилежні знаменники і число окремим доданком
Вирази 4 − x і x − 4 протилежні: вони відрізняються лише знаком. Тому $\frac{c}{4-x}=-\frac{c}{x-4}$. Так дріб зі знаменником 4 − x отримує знаменник x − 4, як інші дроби рівняння.
Число, що стоїть окремим доданком, під час множення на спільний знаменник теж множать.
Приклад 5. Розв’яжи рівняння з протилежними знаменниками
Розв’яжемо рівняння $\frac{x}{x-4}+2=\frac{x+12}{4-x}$.
Розв’язання. Обидва знаменники дорівнюють нулю за x = 4, тому ОВР: $x\ne4$. Змінимо знак у знаменнику правого дробу і помножимо обидві частини на x − 4.
| $\left.\dfrac{x}{x-4}+2=-\dfrac{x+12}{x-4}\;\right|\cdot(x-4)$ | |
| $x+{\color{#176fc1}{2(x-4)}}=-(x+12)$ | |
| $x+2x-8=-x-12$ | |
| $4x=-4,\quad x=-1$ |
- 1)У знаменнику 4 − x виносимо мінус: 4 − x = −(x − 4). Мінус переходить перед дріб.
- 2)Множимо на x − 4 кожен доданок, разом із числом 2. Мінус перед дробом лишається, тому праворуч стоїть −(x + 12).
- 3)Число −1 не дорівнює 4, тому воно належить ОВР.
Відповідь: −1.
Задачі на дріб
У задачах цього параграфа невідомий дріб треба знайти за тим, як змінюються його чисельник і знаменник. Позначаємо змінною те, що шукаємо: чисельник дробу або число, яке додають до чисельника чи віднімають від знаменника. Решту виражаємо через цю змінну і записуємо умову рівнянням-пропорцією.
Приклад 6. Знайди дріб за його оберненим дробом
Знаменник дробу на 7 більший за чисельник. Якщо до чисельника додати 20, а від знаменника відняти 1, то вийде дріб, обернений до початкового. Знайди початковий дріб.
Розв’язання. Нехай чисельник дорівнює x. Тоді знаменник дорівнює x + 7, і початковий дріб — це $\frac{x}{x+7}$.
Новий чисельник дорівнює x + 20, а новий знаменник дорівнює x + 7 − 1 = x + 6.
Обернений дріб отримують, коли чисельник і знаменник міняють місцями. Тому новий дріб дорівнює $\frac{x+7}{x}$. ОВР: $x\ne-7$, $x\ne-6$ і $x\ne0$.
| $\dfrac{x+20}{x+6}=\dfrac{x+7}{x}$ | |
| $x(x+20)=(x+7)(x+6)$ | |
| $x^2+20x=x^2+13x+42$ | |
| $7x=42,\quad x=6$ |
- 1)Число 6 належить ОВР. Чисельник дорівнює 6, а знаменник дорівнює 6 + 7 = 13.
- 2)Перевіримо за умовою. Новий дріб дорівнює $\frac{6+20}{13-1}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$. Він справді обернений до $\frac{6}{13}$.
Відповідь: $\frac{6}{13}$.
Простіші задачі розв’язують так само.
Нехай дріб дорівнює $\frac{2}{5}$, а його знаменник на 9 більший за чисельник. Тоді $\frac{x}{x+9}=\frac{2}{5}$, звідси 5x = 2x + 18, x = 6, і дріб дорівнює $\frac{6}{15}$. Шукають саме чисельник і знаменник, тому дріб $\frac{6}{15}$ не скорочують.
Модуль у чисельнику і буква a
У складніших вправах у чисельнику стоїть модуль або ще одна буква. Способи ті самі, лише ціле рівняння розв’язують уважніше.
Приклад 7. Розв’яжи рівняння з модулем у чисельнику
Розв’яжемо рівняння $\frac{|x+2|-3}{x-1}=0$.
Розв’язання. Дріб дорівнює нулю, тож чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
| $\begin{cases}|x+2|-3=0,\\ x-1\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}|x+2|=3,\\ x\ne1;\end{cases}$ | |
| $x+2=3$ або $x+2=-3$ | |
| $x=1$ або $x=-5$ |
- 1)Модуль дорівнює 3, коли вираз під модулем дорівнює 3 або −3. Тому розглядаємо обидва випадки.
- 2)Число 1 перетворює знаменник на нуль, тож лишається тільки −5.
Відповідь: −5.
Приклад 8. Знайди, за яких значень a рівняння не має коренів
За яких значень a рівняння $\frac{x-3a}{x(x+6)}=0$ не має коренів?
Розв’язання. ОВР: $x\ne0$ і $x\ne-6$. Чисельник дорівнює нулю, коли x = 3a.
- 1)Число 3a буде коренем, якщо воно належить ОВР. Коренів не буде, коли 3a збігається з одним із заборонених чисел.
- 2)Якщо 3a = 0, то a = 0. Якщо 3a = −6, то a = −2.
- 3)За будь-якого іншого a рівняння має один корінь 3a.
Відповідь: a = 0 або a = −2.
Буває, що в чисельнику два множники, і чисельник має два корені. Рівняння має лише один корінь, коли один із цих коренів перетворює знаменник на нуль. Так само буває, коли обидва корені однакові.
Наприклад, у рівнянні $\frac{(x-a)(x-2)}{x+1}=0$ корені чисельника дорівнюють a і 2. Лише один корінь буде за a = −1 і за a = 2. За a = −1 корінь a перетворює знаменник x + 1 на нуль, а за a = 2 обидва корені дорівнюють 2.
Як перевірити себе
- Порівняй відповідь з ОВР. Підстав кожен корінь у знаменники початкового рівняння. Якщо якийсь знаменник дорівнює нулю, це число треба відкинути, бо на нуль ділити не можна.
- Підстав корінь в обидві частини. Обидві частини мають дати те саме число. Якщо значення різні, помилка в обчисленнях, і її треба знайти.
- Перевір, що помножено кожен доданок. Кожен доданок початкового рівняння множать на спільний знаменник, навіть якщо після скорочення від знаменника нічого не лишилося. Найчастіше забувають число, що стоїть окремим доданком. Воно має отримати весь спільний знаменник множником, інакше рівняння зміниться.
Ось як виглядає друга перевірка для рівняння $\frac{3x-2}{x+1}=\frac{x}{x-5}+2$ і кореня 2:
| $\dfrac{3\cdot2-2}{2+1}=\dfrac{4}{3}$ | |
| $\dfrac{2}{2-5}+2=-\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{4}{3}$ | |
| Значення збіглися |
Де найчастіше помиляються
1. Записали у відповідь число, за якого знаменник дорівнює нулю
Завдання: розв’язати рівняння $\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{4}{x^2-4}$. Знаменник $x^2-4=(x-2)(x+2)$, тому обидві частини множать на $(x-2)(x+2)$.
Неправильно
| $(x+2)+3(x-2)=4$ | |
| $4x-4=4,\quad x=2$ | |
| Відповідь: ${\color{#a72727}{2}}$. |
Правильно
| ОВР: $x\ne2$ і $x\ne-2$ | |
| $x=2$, але 2 не належить ОВР | |
| Коренів немає |
Що сталося: ціле рівняння розв’язали правильно, але ОВР не знайшли. Число 2 перетворює знаменники x − 2 і x² − 4 на нуль, тому рівняння за x = 2 не має змісту.
Як помітити: підстав відповідь у знаменники початкового рівняння. Якщо хоч один із них дорівнює нулю, це число не є коренем.
2. Не помножили число, що стоїть окремим доданком
Завдання: розв’язати рівняння $\frac{x}{x-2}+3=\frac{10}{x-2}$.
Неправильно
| $x+{\color{#a72727}{3}}=10$ | |
| $x=7$ |
Правильно
| $x+{\color{#176b3a}{3(x-2)}}=10$ | |
| $4x-6=10,\quad x=4$ |
Що сталося: обидві частини множать на x − 2, тому множиться кожен доданок, і число 3 теж. Число 4 належить ОВР, бо ОВР: $x\ne2$.
Як помітити: підстав відповідь у початкове рівняння. За x = 7 ліва частина дорівнює $\frac{7}{5}+3=\frac{22}{5}$, а права — $\frac{10}{5}=2$. За x = 4 обидві частини дорівнюють 5.
3. Записали корінь, хоча знаменник тоді дорівнює нулю
Завдання: розв’язати рівняння $\frac{x-3}{3-x}=0$.
Неправильно
| $x-3=0,\quad x=3$ | |
| Відповідь: ${\color{#a72727}{3}}$. |
Правильно
| $\begin{cases}x-3=0,\\ 3-x\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}x=3,\\ x\ne3.\end{cases}$ | |
| Коренів немає |
Що сталося: прирівняли до нуля лише чисельник, а другу умову системи загубили. За x = 3 знаменник 3 − x теж дорівнює нулю.
Як помітити: у системі завжди два рядки. Якщо число з першого рядка заборонене другим рядком, воно не є коренем.
4. Не взяли в дужки добуток, який віднімають
Завдання: розв’язати рівняння $\frac{x+1}{x-3}=2$.
Неправильно
| $\dfrac{x+1-2x{\color{#a72727}{-6}}}{x-3}=0$ | |
| $-x-5=0,\quad x=-5$ |
Правильно
| $\dfrac{x+1-{\color{#176b3a}{2(x-3)}}}{x-3}=0$ | |
| $\dfrac{x+1-2x+6}{x-3}=0$ | |
| $-x+7=0,\quad x=7$ |
Що сталося: віднімати треба весь добуток 2(x − 3), тобто і 2x, і −6. Без дужок мінус змінив знак лише в 2x, а −6 так і лишилося з мінусом.
Як помітити: підстав відповідь. За x = −5 ліва частина дорівнює $\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}$, а не 2. За x = 7 вона дорівнює $\frac{8}{4}=2$.
Спробуй сам
- Розв’яжи рівняння $\frac{5x}{x+3}=4$.
- Розв’яжи рівняння $\frac{x^2}{x+7}=0$.
- Чи рівносильні рівняння $\frac{x^2+4x}{x}=0$ і x + 4 = 0?
- Розв’яжи рівняння за властивістю пропорції: $\frac{2x^2+6}{x+3}=2x$.
- Розв’яжи рівняння $\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{4}{x^2-2x}$.
- Розв’яжи рівняння $\frac{2x}{x-5}+1=\frac{x+1}{5-x}$.
- Знайди дріб, що дорівнює $\frac{3}{4}$, якщо його знаменник на 5 більший за чисельник.
- Розв’яжи рівняння $\frac{|x-3|-2}{x-5}=0$.
- За яких значень a рівняння $\frac{x-a}{x(x-4)}=0$ не має коренів?
Перевірити відповіді
- 12.
- 0.
- Так: корінь кожного рівняння дорівнює −4.
- 1.
- Коренів немає.
- 1.
- $\frac{15}{20}$.
- 1.
- a = 0 або a = 4.
Повний розв’язок завдання 5
Розкладемо знаменник: x² − 2x = x(x − 2). ОВР: $x\ne0$ і $x\ne2$. Помножимо обидві частини на x(x − 2).
| $x\cdot x-2(x-2)=4$ | |
| $x^2-2x+4=4$ | |
| $x^2-2x=0,\quad x(x-2)=0$ | |
| $x=0$ або $x=2$ |
Обидва числа перетворюють знаменники на нуль, тобто не належать ОВР. Тому коренів немає.
Повний розв’язок завдання 8
| $\begin{cases}|x-3|-2=0,\\ x-5\ne0;\end{cases}\quad\begin{cases}|x-3|=2,\\ x\ne5;\end{cases}$ | |
| $x-3=2$ або $x-3=-2$ | |
| $x=5$ або $x=1$ |
Модуль дорівнює 2, коли вираз під модулем дорівнює 2 або −2, тому випадків два. Число 5 перетворює знаменник на нуль, тож лишається тільки 1.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що у відповіді лишилося число, яке не належить ОВР.
Для батьків
Попросіть дитину перед розв’язанням знайти й записати ОВР. Саме цей крок найчастіше пропускають, і тоді у відповідь потрапляє число, за якого знаменник дорівнює нулю.
Запитайте, чому корінь цілого рівняння не завжди є коренем дробового. Дитина має пояснити, що обидві частини множили на вираз зі змінною, а за деяких значень цей вираз дорівнює нулю.
Корисна звичка — підставити відповідь у початкове рівняння. Якщо частини рівняння дають різні значення, у розв’язанні є помилка.