Ти навчишся множити раціональні дроби так, як радить підручник. Спершу добуток записують під однією рискою і скорочують, а вже потім перемножують те, що лишилося. А ще навчишся підносити дріб до степеня, не втрачаючи ні коефіцієнта, ні знака «мінус».
Уже розв’язав вправи й шукаєш, де розійшлася відповідь? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Коротко про правило
Звичайні дроби ти множив у 6 класі:
$\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}$. Чисельники перемножили окремо, і знаменники окремо. Раціональні дроби множать так само.
Правило множення дробів. Щоб помножити дріб на дріб, перемнож окремо чисельники й окремо знаменники. Перший добуток запиши в чисельник, а другий — у знаменник:
$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$
Доведемо, що правило правильне за будь-яких значень змінних, за яких $b\ne 0$ і $d\ne 0$. Позначимо значення дробів буквами: $\frac{a}{b}=p$ і $\frac{c}{d}=q$. Частка $a:b$ дорівнює $p$, тому ділене дорівнює добутку дільника на частку, тобто $a=bp$. Так само $c=dq$.
Перемножимо ці рівності й переставимо множники:
$ac=bp\cdot dq=bd\cdot pq$.
Отже, якщо $ac$ поділити на $bd$, вийде $pq$. Це й означає, що $\frac{ac}{bd}=pq=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$.
Так само множать три дроби й більше: усі чисельники йдуть у чисельник, а всі знаменники — у знаменник. Якщо один із множників є одночленом або многочленом, його записують як дріб зі знаменником 1.
Як помножити дроби
- Якщо чисельники чи знаменники є многочленами, розклади їх на множники. Тоді стане видно, які множники можна скоротити.
- Запиши добуток чисельників і добуток знаменників під однією рискою, але ще не перемножуй їх. Так спільні множники добре видно.
- Скороти дріб: поділи чисельник і знаменник на кожен спільний множник.
- Перемнож те, що лишилося в чисельнику й у знаменнику, і запиши відповідь. Множники в дужках можна залишити як є або розкрити дужки, бо обидва записи правильні.
Дроби з одночленами
Приклад 1. Помнож два дроби з одночленами
Виконаємо множення $\frac{6a^3}{5b^2}\cdot\frac{10b}{9a}$.
Розв’язання.
| $\dfrac{6a^3}{5b^2}\cdot\dfrac{10b}{9a}=\dfrac{6a^3\cdot 10b}{5b^2\cdot 9a}=\dfrac{4a^2}{3b}$ |
- 1)Записуємо обидва чисельники над рискою, а обидва знаменники — під нею. Перемножувати поки не поспішаємо.
- 2)Скорочуємо числа. Числа 6 і 9 ділимо на 3, лишаються 2 і 3. Числа 10 і 5 ділимо на 5, лишаються 2 і 1. Отже, у чисельнику 2 · 2 = 4, а в знаменнику 3 · 1 = 3.
- 3)Скорочуємо змінні. Чисельник і знаменник ділимо на $a$, тож з $a^3$ лишається $a^2$. Потім ділимо на $b$, тож з $b^2$ у знаменнику лишається $b$.
Чому спершу не перемножувати? Тоді вийшов би дріб $\frac{60a^3b}{45ab^2}$, і довелося б шукати, на що скоротити числа 60 і 45. Маленькі множники скорочувати легше.
Відповідь: $\frac{4a^2}{3b}$.
Приклад 2. Помнож від’ємні дроби з десятковим коефіцієнтом
Виконаємо множення $-\frac{2{,}5x^3}{9y}\cdot\left(-\frac{6y^2}{5x}\right)$.
Розв’язання.
| $-\dfrac{2{,}5x^3}{9y}\cdot\left(-\dfrac{6y^2}{5x}\right)=\dfrac{2{,}5x^3\cdot 6y^2}{9y\cdot 5x}$ | |
| $=\dfrac{x^2y}{3}$ |
- 1)Обидва множники від’ємні, а добуток двох від’ємних чисел додатний. Тому мінусів у записі вже немає.
- 2)Скорочуємо числа. Числа 6 і 9 ділимо на 3, лишаються 2 і 3. Тепер у чисельнику 2,5 · 2 = 5, і це число скорочуємо з числом 5 у знаменнику.
- 3)У чисельнику з чисел лишається 1, а в знаменнику — 3. Після скорочення на $x$ і на $y$ лишаються $x^2$ і $y$.
Знак добутку визначай до скорочення. Порахуй мінуси перед дробами й одночленами: якщо їх парна кількість, добуток додатний, а якщо непарна — від’ємний. Мінуси всередині двочленів, наприклад у $x-4$, сюди не входять.
Відповідь: $\frac{x^2y}{3}$.
Приклад 3. Помнож одночлен на дріб
Перетворимо на дріб вираз $-8ab^2\cdot\frac{5}{12a^3b}$.
Розв’язання.
| $-8ab^2\cdot\dfrac{5}{12a^3b}=-\dfrac{8ab^2}{1}\cdot\dfrac{5}{12a^3b}$ | |
| $=-\dfrac{8ab^2\cdot 5}{12a^3b}=-\dfrac{10b}{3a^2}$ |
- 1)Записуємо одночлен як дріб зі знаменником 1. Тепер видно, що одночлен іде лише в чисельник, а знаменник множиться на 1 і не змінюється.
- 2)Числа 8 і 12 ділимо на 4, лишаються 2 і 3. У чисельнику 2 · 5 = 10.
- 3)Ділимо чисельник і знаменник на $a$ і на $b$. З $a^3$ у знаменнику лишається $a^2$, а з $b^2$ у чисельнику лишається $b$.
Відповідь: $-\frac{10b}{3a^2}$.
Приклад 4. Помнож три дроби
Спростимо вираз $\frac{15a^2}{14b}\cdot\frac{21b^3}{25c}\cdot\frac{10c^2}{9a^3}$.
Розв’язання.
| $\dfrac{15a^2}{14b}\cdot\dfrac{21b^3}{25c}\cdot\dfrac{10c^2}{9a^3}$ | |
| $=\dfrac{15a^2\cdot 21b^3\cdot 10c^2}{14b\cdot 25c\cdot 9a^3}=\dfrac{b^2c}{a}$ |
- 1)Усі три чисельники записуємо над рискою, а всі три знаменники — під нею.
- 2)Розкладаємо числа на прості множники. У чисельнику:
15 · 21 · 10 = 3 · 5 · 3 · 7 · 2 · 5.
У знаменнику:
14 · 25 · 9 = 2 · 7 · 5 · 5 · 3 · 3.
Прості множники однакові, тому числа скорочуються повністю. - 3)Скорочуємо змінні. З $a^2$ і $a^3$ у знаменнику лишається $a$. З $b^3$ і $b$ у чисельнику лишається $b^2$, а з $c^2$ і $c$ лишається $c$.
Відповідь: $\frac{b^2c}{a}$.
Дроби з многочленами
Многочлен скоротити не можна, поки він не розкладений на множники. Тому спершу многочлени розкладаємо, і для цього знадобляться способи з 7 класу:
| $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | |
| $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ | |
| $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ | |
| $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | |
| $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ |
Ще один спосіб — це винесення спільного множника за дужки, наприклад $2x+6=2(x+3)$.
Приклад 5. Розклади многочлени й помнож дроби
Виконаємо множення $\frac{x^2-9}{4x}\cdot\frac{6x^2}{2x+6}$.
Розв’язання.
| $\dfrac{x^2-9}{4x}\cdot\dfrac{6x^2}{2x+6}$ | |
| $=\dfrac{{\color{#d86f12}{(x-3)(x+3)}}\cdot 6x^2}{4x\cdot{\color{#d86f12}{2(x+3)}}}$ | |
| $=\dfrac{3x(x-3)}{4}$ |
- 1)Розкладаємо чисельник першого дробу за формулою різниці квадратів:
$x^2-9=(x-3)(x+3)$. У знаменнику другого дробу виносимо 2 за дужки:
$2x+6=2(x+3)$. - 2)Скорочуємо на множник $x+3$, бо він є і в чисельнику, і в знаменнику.
- 3)Крім множника $x-3$, лишаються $6x^2$ у чисельнику і $4x\cdot 2$ у знаменнику. Числа 6 і 4 ділимо на 2, лишаються 3 і 2, і в знаменнику 2 · 2 = 4. Множники $x^2$ і $x$ ділимо на $x$, і виходить $\frac{3x(x-3)}{4}$.
Відповідь можна залишити з дужками, а можна розкрити їх: $\frac{3x^2-9x}{4}$. Обидва записи правильні.
Відповідь: $\frac{3x(x-3)}{4}$.
Приклад 6. Помнож дроби з протилежними двочленами
Виконаємо множення $\frac{a-5b}{6b}\cdot\frac{9b^2}{5b-a}$.
Розв’язання.
| $\dfrac{a-5b}{6b}\cdot\dfrac{9b^2}{5b-a}=\dfrac{(a-5b)\cdot 9b^2}{6b\cdot(5b-a)}$ | |
| $=\dfrac{{\color{#d86f12}{-(5b-a)}}\cdot 9b^2}{6b\cdot(5b-a)}=-\dfrac{3b}{2}$ |
- 1)Двочлени $a-5b$ і $5b-a$ протилежні: у них ті самі члени, але з протилежними знаками. Тому $a-5b=-(5b-a)$.
- 2)Скорочуємо на $5b-a$. Мінус при цьому лишається, і ми виносимо його перед дріб.
- 3)Лишається $\frac{9b^2}{6b}$. Ділимо 9 і 6 на 3, а $b^2$ і $b$ — на $b$. Виходить $\frac{3b}{2}$.
Відповідь: $-\frac{3b}{2}$.
Приклад 7. Помнож многочлен на дріб
Перетворимо на дріб вираз $(x^2+4x+4)\cdot\frac{3x}{x^2-4}$.
Розв’язання.
| $(x^2+4x+4)\cdot\dfrac{3x}{x^2-4}$ | |
| $=\dfrac{x^2+4x+4}{1}\cdot\dfrac{3x}{x^2-4}$ | |
| $=\dfrac{{\color{#d86f12}{(x+2)^2}}\cdot 3x}{{\color{#d86f12}{(x-2)(x+2)}}}=\dfrac{3x(x+2)}{x-2}$ |
- 1)Записуємо многочлен як дріб зі знаменником 1. Так видно, що весь многочлен іде в чисельник.
- 2)Многочлен $x^2+4x+4$ є квадратом суми:
$x^2+4x+4=(x+2)^2$. Знаменник $x^2-4$ є різницею квадратів:
$x^2-4=(x-2)(x+2)$. - 3)Квадрат $(x+2)^2$ означає два однакові множники $x+2$. Один із них скорочуємо з множником $x+2$ у знаменнику, а другий лишається.
Якщо розкрити дужки в чисельнику, відповідь матиме вигляд $\frac{3x^2+6x}{x-2}$. Обидва записи правильні.
Відповідь: $\frac{3x(x+2)}{x-2}$.
Приклад 8. Помнож дроби з квадратом різниці й різницею кубів
Знайдемо добуток $\frac{a^2-4a+4}{a^2+2a+4}\cdot\frac{a^3-8}{a^2-4}$.
Розв’язання.
| $\dfrac{a^2-4a+4}{a^2+2a+4}\cdot\dfrac{a^3-8}{a^2-4}$ | |
| $=\dfrac{{\color{#d86f12}{(a-2)^2}}\cdot{\color{#d86f12}{(a-2)(a^2+2a+4)}}}{(a^2+2a+4)\cdot{\color{#d86f12}{(a-2)(a+2)}}}$ | |
| $=\dfrac{(a-2)^2}{a+2}$ |
- 1)Розкладаємо три многочлени. Квадрат різниці:
$a^2-4a+4=(a-2)^2$.
Різниця кубів:
$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$.
Різниця квадратів:
$a^2-4=(a-2)(a+2)$. - 2)Тричлен $a^2+2a+4$ не є квадратом суми, бо в $(a+2)^2$ середній член дорівнює $4a$. Такий тричлен називають неповним квадратом суми, і на множники він не розкладається. Він є і в чисельнику, і в знаменнику, тому його скорочуємо цілим.
- 3)У чисельнику множник $a-2$ трапляється тричі, а в знаменнику — один раз. Після скорочення на $a-2$ у чисельнику лишається $(a-2)^2$.
Відповідь: $\frac{(a-2)^2}{a+2}$.
Приклад 9. Розклади многочлен групуванням і помнож дроби
Виконаємо множення $\frac{ab-3a+2b-6}{b^2-9}\cdot\frac{b+3}{a^2-4}$.
Розв’язання.
| Розкладемо чисельник першого дробу групуванням: | |
| $ab-3a+2b-6$ | |
| $=a(b-3)+2(b-3)$ | |
| $=(b-3)(a+2)$ | |
| Тепер помножимо дроби: | |
| $\dfrac{ab-3a+2b-6}{b^2-9}\cdot\dfrac{b+3}{a^2-4}$ | |
| $=\dfrac{{\color{#d86f12}{(b-3)(a+2)}}\cdot(b+3)}{{\color{#d86f12}{(b-3)(b+3)}}\cdot{\color{#d86f12}{(a-2)(a+2)}}}$ | |
| $=\dfrac{1}{a-2}$ |
- 1)У чотиричлені $ab-3a+2b-6$ немає множника, спільного для всіх членів. Тому об’єднуємо члени в пари: з $ab-3a$ виносимо $a$, а з $2b-6$ виносимо 2. В обох дужках вийшло $b-3$, і його виносимо за дужки.
- 2)Знаменники розкладаємо за формулою різниці квадратів:
$b^2-9=(b-3)(b+3)$ і $a^2-4=(a-2)(a+2)$. - 3)Скорочуємо на $b-3$, на $b+3$ і на $a+2$. У чисельнику лишається 1, а в знаменнику — $a-2$.
Відповідь: $\frac{1}{a-2}$.
Піднесення дробу до степеня
Степінь — це добуток однакових множників. Тому за правилом множення дробів, наприклад, для куба:
| $\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}$ | |
| $=\dfrac{a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b}=\dfrac{a^3}{b^3}$ |
Для будь-якого натурального показника $n$ міркуємо так само. У чисельнику вийде $n$ множників $a$, тобто $a^n$, а в знаменнику — $n$ множників $b$, тобто $b^n$.
Правило піднесення дробу до степеня. Щоб піднести дріб до степеня, піднеси до цього степеня окремо чисельник і окремо знаменник. Перший результат запиши в чисельник, а другий — у знаменник:
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$, де $n$ — натуральне число.
Чисельник і знаменник часто є одночленами, і тоді знадобляться дві властивості степеня з 7 класу.
Перша властивість: щоб піднести добуток до степеня, до цього степеня підносять кожен множник, наприклад $(ab)^3=a^3b^3$. Друга властивість: щоб піднести степінь до степеня, показники множать, наприклад $(a^2)^3=a^6$, бо 2 · 3 = 6.
Приклад 10. Піднеси дріб з одночленами до степеня
Піднесемо до степеня: $\left(\frac{2a^3}{5b^2}\right)^3$.
Розв’язання.
| $\left(\dfrac{2a^3}{5b^2}\right)^3=\dfrac{(2a^3)^3}{(5b^2)^3}$ | |
| $=\dfrac{2^3\cdot(a^3)^3}{5^3\cdot(b^2)^3}=\dfrac{8a^9}{125b^6}$ |
- 1)Підносимо до куба окремо чисельник $2a^3$ і окремо знаменник $5b^2$.
- 2)У кожному одночлені до куба підносимо і число, і змінну:
$2^3=8$, $5^3=125$. - 3)Показники множимо. Маємо $(a^3)^3=a^9$, бо 3 · 3 = 9, і $(b^2)^3=b^6$, бо 2 · 3 = 6.
Відповідь: $\frac{8a^9}{125b^6}$.
Якщо перед дробом стоїть мінус, його можна записати множником $-1$.
Число $-1$ у парному степені дорівнює 1, бо мінуси знищуються парами:
$(-1)^4=1$. У непарному степені один мінус лишається без пари:
$(-1)^5=-1$. Тому від’ємний дріб у парному степені дає додатний результат, а в непарному — від’ємний.
Приклад 11. Піднеси від’ємний дріб до непарного степеня
Подамо у вигляді дробу вираз $\left(-\frac{2m}{n^4}\right)^5$.
Розв’язання.
| $\left(-\dfrac{2m}{n^4}\right)^5=(-1)^5\cdot\dfrac{(2m)^5}{(n^4)^5}$ | |
| $=-\dfrac{32m^5}{n^{20}}$ |
- 1)Показник 5 непарний, тому $(-1)^5=-1$, і мінус перед дробом лишається.
- 2)Підносимо до п’ятого степеня і число, і змінну:
$2^5=32$, тож $(2m)^5=32m^5$. - 3)У знаменнику показники множимо:
$(n^4)^5=n^{20}$, бо 4 · 5 = 20.
Відповідь: $-\frac{32m^5}{n^{20}}$.
Найчастіше помиляються саме тут, тому ось таблиця пасток. Перекрий долонею стовпчики «Правильно» і «Пастка» та спробуй піднести кожен дріб до степеня самостійно.
| Вираз | Правильно | Пастка |
|---|---|---|
| $\left(\dfrac{2a}{b}\right)^3$ | $\dfrac{8a^3}{b^3}$ | $\dfrac{2a^3}{b^3}$ |
| Коефіцієнт 2 теж підносимо до куба: $2^3=8$. | ||
| $\left(\dfrac{m^3}{3}\right)^2$ | $\dfrac{m^6}{9}$ | $\dfrac{m^5}{9}$ |
| Показники множимо: $(m^3)^2=m^6$, бо 3 · 2 = 6. Якщо їх додати, вийде хибне $m^5$. | ||
| $\left(\dfrac{x}{5}\right)^2$ | $\dfrac{x^2}{25}$ | $\dfrac{x^2}{10}$ |
| Квадрат числа 5 дорівнює 5 · 5 = 25. Число 10 вийде, якщо помилково помножити 5 на 2. | ||
| $\left(-\dfrac{x}{y}\right)^4$ | $\dfrac{x^4}{y^4}$ | $-\dfrac{x^4}{y^4}$ |
| Показник 4 парний, тому мінуси знищуються парами і результат додатний. | ||
| $\left(-\dfrac{x}{y}\right)^3$ | $-\dfrac{x^3}{y^3}$ | $\dfrac{x^3}{y^3}$ |
| Показник 3 непарний, тому один мінус лишається і результат від’ємний. | ||
Степінь і множення в одному виразі
Спершу підносимо дроби до степеня, а потім множимо, бо піднесення до степеня виконують раніше за множення.
Приклад 12. Піднеси дроби до степеня і помнож
Виконаємо дії: $\left(\frac{3x^2}{4y^3}\right)^2\cdot\left(-\frac{2y^2}{3x}\right)^3$.
Розв’язання.
| $\left(\dfrac{3x^2}{4y^3}\right)^2\cdot\left(-\dfrac{2y^2}{3x}\right)^3$ | |
| $=\dfrac{9x^4}{16y^6}\cdot\left(-\dfrac{8y^6}{27x^3}\right)$ | |
| $=-\dfrac{9x^4\cdot 8y^6}{16y^6\cdot 27x^3}=-\dfrac{x}{6}$ |
- 1)Підносимо перший дріб до квадрата:
$3^2=9$, $4^2=16$, $(x^2)^2=x^4$, $(y^3)^2=y^6$. - 2)Другий дріб від’ємний, а показник 3 непарний, тому результат від’ємний:
$2^3=8$, $3^3=27$, $(y^2)^3=y^6$. - 3)Множимо й скорочуємо. Числа 9 і 27 ділимо на 9, лишаються 1 і 3. Числа 8 і 16 ділимо на 8, лишаються 1 і 2. Множник $y^6$ скорочується повністю, а з $x^4$ і $x^3$ лишається $x$ у чисельнику. У знаменнику 3 · 2 = 6.
Відповідь: $-\frac{x}{6}$.
Приклад 13. Піднеси до квадрата дріб із двочленами і помнож
Виконаємо дії: $\left(\frac{x-2}{x+3}\right)^2\cdot\frac{x^2+6x+9}{x^2-4}$.
Розв’язання.
| $\left(\dfrac{x-2}{x+3}\right)^2\cdot\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-4}$ | |
| $=\dfrac{(x-2)^2}{(x+3)^2}\cdot\dfrac{{\color{#d86f12}{(x+3)^2}}}{{\color{#d86f12}{(x-2)(x+2)}}}$ | |
| $=\dfrac{x-2}{x+2}$ |
- 1)Підносимо до квадрата весь чисельник $x-2$ і весь знаменник $x+3$. Двочлени пишемо в дужках, а квадрати не розкриваємо, бо дужки ще знадобляться для скорочення.
- 2)Розкладаємо другий дріб:
$x^2+6x+9=(x+3)^2$ і $x^2-4=(x-2)(x+2)$. - 3)Множник $(x+3)^2$ скорочується повністю. З $(x-2)^2$ у чисельнику і $x-2$ у знаменнику лишається $x-2$ у чисельнику.
Відповідь: $\frac{x-2}{x+2}$.
Значення виразу
Щоб знайти значення виразу з дробами, спершу спрости його. Підставляти числа в довгий вираз важко, а в короткий — легко.
Приклад 14. Спрости вираз і знайди його значення
Знайдемо значення виразу $\frac{x^2-y^2-x+y}{5x+5}\cdot\frac{x+1}{x-y}$, якщо $x=3{,}7$, $y=-2{,}7$.
Розв’язання.
| Розкладемо чисельник першого дробу групуванням: | |
| $x^2-y^2-x+y$ | |
| $=(x-y)(x+y)-(x-y)$ | |
| $=(x-y)(x+y-1)$ | |
| Тепер помножимо дроби: | |
| $\dfrac{{\color{#d86f12}{(x-y)(x+y-1)}}\cdot(x+1)}{{\color{#d86f12}{5(x+1)}}\cdot(x-y)}$ | |
| $=\dfrac{x+y-1}{5}$ | |
| Підставимо значення змінних: | |
| $\dfrac{3{,}7+(-2{,}7)-1}{5}=\dfrac{0}{5}=0$ |
- 1)Ділити на нуль не можна, тому спершу перевіряємо, що за цих значень вираз має зміст:
$5x+5=23{,}5$ і $x-y=6{,}4$. Нулю знаменники не дорівнюють. - 2)Першу пару членів $x^2-y^2$ розкладаємо як різницю квадратів. Другу пару $-x+y$ записуємо як $-(x-y)$, тобто $-1\cdot(x-y)$. Тепер в обох частинах є множник $x-y$, і його виносимо за дужки. У дужках лишаються $x+y$ від першої частини і $-1$ від другої.
- 3)Скорочуємо на $x-y$ і на $x+1$. Лишається короткий вираз $\frac{x+y-1}{5}$.
- 4)Підставляємо числа. Сума $3{,}7+(-2{,}7)$ дорівнює 1, тому чисельник дорівнює нулю, і значення виразу теж нуль.
Якби ми підставляли числа одразу, довелося б підносити до квадрата 3,7 і −2,7 та рахувати чотири дроби. Після спрощення вистачило одного додавання.
Відповідь: 0.
Як перевірити себе
Підстав зручне число. Початковий вираз і відповідь рівні за всіх допустимих значень змінних. Візьми число, за якого знаменники не дорівнюють нулю, і обчисли обидва вирази.
| Перевіримо, що $\frac{x^2-9}{4x}\cdot\frac{6x^2}{2x+6}=\frac{3x(x-3)}{4}$. Підставимо $x=1$. | |
| $\dfrac{1-9}{4}\cdot\dfrac{6}{2+6}=-2\cdot\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{2}$ | |
| $\dfrac{3\cdot 1\cdot(1-3)}{4}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}$ | |
| Значення збіглися |
Одна збіжність ще не доводить, що відповідь правильна. А от розбіжність точно означає помилку. Тому перевір і другим числом: так більше шансів помітити помилку.
- Порахуй мінуси. Якщо в добутку мінусів перед дробами й одночленами парна кількість, відповідь має бути без мінуса, а якщо непарна — з мінусом. Мінус перед дробом, який підносять до степеня, рахуй уже після піднесення: у парному степені він зникає, а в непарному лишається. Коли ти замінюєш двочлен на протилежний, наприклад $x-4$ на $-(4-x)$, додається ще один мінус, і його теж рахуй.
- Перевір показники в степені дробу. Показник кожної змінної у відповіді дорівнює її показнику в дробі, помноженому на показник степеня. Коефіцієнт теж має бути піднесений до степеня.
- Перевір, чи скорочено до кінця. Розклади чисельник і знаменник відповіді на множники. Якщо в них є спільний множник, скороти на нього.
Де найчастіше помиляються
1. Скоротили доданок замість множника
Завдання: помножити дроби $\frac{a+3}{5}\cdot\frac{10}{a}$.
Неправильно
| $\dfrac{(a+3)\cdot 10}{5a}=({\color{#a72727}{1+3}})\cdot 2=8$ |
Правильно
| $\dfrac{(a+3)\cdot 10}{5a}={\color{#176b3a}{\dfrac{2(a+3)}{a}}}$ |
Що сталося: $a$ у чисельнику — лише доданок суми $a+3$, а не множник усього чисельника. Скорочувати можна тільки множники, тому тут скорочуються лише числа 10 і 5.
Як помітити: підстав $a=3$. Початковий вираз дорівнює $\frac{6}{5}\cdot\frac{10}{3}=4$. Правильна відповідь теж дає $\frac{2\cdot 6}{3}=4$, а неправильна дає 8.
2. Помножили на одночлен і знаменник
Завдання: перетворити на дріб $3x\cdot\frac{y}{6x^2}$.
Неправильно
| $3x\cdot\dfrac{y}{6x^2}=\dfrac{3x\cdot y}{{\color{#a72727}{3x\cdot}}6x^2}=\dfrac{y}{6x^2}$ |
Правильно
| $\dfrac{3x}{{\color{#176b3a}{1}}}\cdot\dfrac{y}{6x^2}=\dfrac{3xy}{6x^2}=\dfrac{y}{2x}$ |
Що сталося: одночлен $3x$ — це дріб $\frac{3x}{1}$. Його знаменник дорівнює 1, тому знаменник другого дробу множиться лише на 1.
Як помітити: підстав $x=1$, $y=2$. Початковий вираз дорівнює $3\cdot\frac{2}{6}=1$. Правильна відповідь дає $\frac{2}{2}=1$, а неправильна дає $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
3. Не піднесли до степеня коефіцієнт
Завдання: піднести до степеня $\left(\frac{3a^2}{b}\right)^3$.
Неправильно
| $\left(\dfrac{3a^2}{b}\right)^3=\dfrac{{\color{#a72727}{3}}a^6}{b^3}$ |
Правильно
| $\left(\dfrac{3a^2}{b}\right)^3=\dfrac{3^3(a^2)^3}{b^3}=\dfrac{{\color{#176b3a}{27}}a^6}{b^3}$ |
Що сталося: до куба підносять увесь чисельник $3a^2$, тобто і число 3, і змінну. Число 3 у кубі дорівнює 3 · 3 · 3 = 27.
Як помітити: підстав $a=1$, $b=1$. Початковий вираз дорівнює $3^3=27$, а неправильна відповідь дає 3.
4. Загубили мінус у протилежних двочленах
Завдання: помножити дроби $\frac{x-4}{3}\cdot\frac{6}{4-x}$.
Неправильно
| $\dfrac{(x-4)\cdot 6}{3(4-x)}={\color{#a72727}{2}}$ |
Правильно
| $\dfrac{-(4-x)\cdot 6}{3(4-x)}={\color{#176b3a}{-2}}$ |
Що сталося: двочлени $x-4$ і $4-x$ протилежні. Щоб скоротити, спершу записують $x-4=-(4-x)$, і мінус переходить у відповідь.
Як помітити: підстав $x=1$. Початковий вираз дорівнює $\frac{-3}{3}\cdot\frac{6}{3}=-2$, а неправильна відповідь дає 2.
Спробуй сам
- Виконай множення: $\frac{4x^2}{9y}\cdot\frac{3y^3}{8x}$.
- Виконай множення: $-\frac{1{,}5a}{7b^2}\cdot\left(-\frac{14b^3}{3a^2}\right)$.
- Перетвори на дріб: $-6m^2n\cdot\frac{5}{9mn^3}$.
- Спрости: $\frac{6x}{35y^2}\cdot\frac{14y^3}{9z}\cdot\frac{15z^2}{4x^2}$.
- Виконай множення: $\frac{y^2-16}{3y}\cdot\frac{9y^2}{2y+8}$.
- Виконай множення: $\frac{2a-c}{4c}\cdot\frac{10c^2}{c-2a}$.
- Перетвори на дріб: $(m^2-6m+9)\cdot\frac{2m}{m^2-9}$.
- Знайди добуток: $\frac{x^2+6x+9}{x^2-3x+9}\cdot\frac{x^3+27}{x^2-9}$.
- Виконай множення: $\frac{xy+2x-3y-6}{y^2-4}\cdot\frac{y-2}{x^2-9}$.
- Піднеси до степеня: $\left(\frac{3m^2}{2n}\right)^4$.
- Піднеси до степеня: $\left(-\frac{a^3}{2b}\right)^4$.
- Піднеси до степеня: $\left(-\frac{2x}{y^3}\right)^3$.
- Виконай дії: $\left(\frac{2a}{3b^2}\right)^3\cdot\left(-\frac{9b^3}{4a^2}\right)^2$.
- Виконай дії: $\left(\frac{m+1}{m-1}\right)^2\cdot\frac{m^2-2m+1}{m^2-1}$.
- Знайди значення виразу $\frac{a^2-1}{3a}\cdot\frac{6a^2}{a+1}$, якщо $a=2{,}5$.
- Знайди значення виразу $\frac{m^2-n^2+m-n}{4m+4}\cdot\frac{m+1}{m-n}$, якщо $m=1{,}4$, $n=-2{,}4$.
Перевірити відповіді
- $\frac{xy^2}{6}$.
- $\frac{b}{a}$.
- $-\frac{10m}{3n^2}$.
- $\frac{yz}{x}$.
- $\frac{3y(y-4)}{2}$.
- $-\frac{5c}{2}$.
- $\frac{2m(m-3)}{m+3}$.
- $\frac{(x+3)^2}{x-3}$.
- $\frac{1}{x+3}$.
- $\frac{81m^8}{16n^4}$.
- $\frac{a^{12}}{16b^4}$.
- $-\frac{8x^3}{y^9}$.
- $\frac{3}{2a}$.
- $\frac{m+1}{m-1}$.
- Вираз дорівнює $2a(a-1)$; значення 7,5.
- Вираз дорівнює $\frac{m+n+1}{4}$; значення 0.
Повний розв’язок завдання 9
| $xy+2x-3y-6$ | |
| $=x(y+2)-3(y+2)$ | |
| $=(y+2)(x-3)$ | |
| $\dfrac{(y+2)(x-3)\cdot(y-2)}{(y-2)(y+2)\cdot(x-3)(x+3)}$ | |
| $=\dfrac{1}{x+3}$ |
З перших двох членів виносимо $x$, а з двох останніх — число $-3$, бо $-3y-6=-3(y+2)$. Потім скорочуємо на $y+2$, на $y-2$ і на $x-3$.
Повний розв’язок завдання 13
| $\left(\dfrac{2a}{3b^2}\right)^3=\dfrac{8a^3}{27b^6}$ | |
| $\left(-\dfrac{9b^3}{4a^2}\right)^2=\dfrac{81b^6}{16a^4}$ | |
| $\dfrac{8a^3\cdot 81b^6}{27b^6\cdot 16a^4}=\dfrac{3}{2a}$ |
Показник 2 парний, тому мінус перед другим дробом зникає. Числа 81 і 27 скорочуємо на 27, лишаються 3 і 1. Числа 8 і 16 скорочуємо на 8, лишаються 1 і 2.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіша причина — загублений мінус або коефіцієнт, який не піднесли до степеня.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чому підручник радить спершу записати добуток під однією рискою і скоротити, а вже потім множити. Правильна відповідь така: маленькі множники скорочувати легше, ніж великі добутки.
Запитайте, чому в дробі $\frac{a+3}{a}$ не можна скоротити $a$. Дитина має сказати, що скорочують лише множники, а $a$ в чисельнику є доданком.
Корисна звичка — це перевірка підстановкою. Нехай дитина підставить те саме число в початковий вираз і у відповідь. Якщо значення різні, у розв’язанні є помилка.