Дроби з різними знаменниками: як знайти найпростіший спільний знаменник і додаткові множники — алгебра 8 клас

Приклад 1. Додай дроби, коли знаменники не мають спільних множників

Виконаємо додавання $\frac{5}{a}+\frac{2}{b}$.

Розв’язання.

1. 1)Знаменники $a$ і $b$ не мають спільних множників. Тому спільний знаменник дорівнює їхньому добутку $ab$.
2. 2)Першому дробу бракує множника $b$, а другому — множника $a$. Це і є додаткові множники.
3. 3)Множимо кожен чисельник на свій множник: $5\cdot b=5b$ і $2\cdot a=2a$. Скорочувати нічого.

Відповідь: $\frac{5b+2a}{ab}$.

Приклад 2. Знайди найпростіший спільний знаменник і додай дроби

Виконаємо додавання $\frac{5}{12a^3b}+\frac{7}{18ab^2}$.

Розв’язання.

1. 1)Знайдемо коефіцієнт спільного знаменника. Найменше число, що ділиться і на 12, і на 18, — це 36.
2. 2)Знайдемо степені змінних. Змінна $a$ трапляється в степенях 3 і 1, тому беремо $a^3$. Змінна $b$ трапляється в степенях 1 і 2, тому беремо $b^2$. Найпростіший спільний знаменник дорівнює $36a^3b^2$.
3. 3)Знайдемо додаткові множники: $36a^3b^2:12a^3b=3b$ і $36a^3b^2:18ab^2=2a^2$.

Додаткові множники $3b$ і $2a^2$ не мають спільного множника. Отже, знаменник $36a^3b^2$ справді найпростіший.

Можна було взяти добуток знаменників: $12a^3b\cdot 18ab^2=216a^4b^3$. Тоді додатковими множниками були б $18ab^2$ і $12a^3b$. У них є спільний множник $6ab$, тож такий знаменник не найпростіший, і відповідь довелося б скорочувати на $6ab$.

Відповідь: $\frac{15b+14a^2}{36a^3b^2}$.

Приклад 3. Відніми дроби з многочленами в чисельниках

Виконаємо віднімання $\frac{a-3}{6a}-\frac{2a-5}{9a}$.

Розв’язання.

1. 1)Найменше число, що ділиться на 6 і на 9, — 18. Спільний знаменник дорівнює $18a$, а додаткові множники — 3 і 2.
2. 2)Чисельник $a-3$ множимо на 3 цілком, тому пишемо його в дужках: $3(a-3)$. Так само записуємо $2(2a-5)$.
3. 3)Перед другим добутком стоїть «−». Розкриваючи дужки, змінюємо знаки обох членів: $-2(2a-5)=-4a+10$.

Відповідь: $\frac{1-a}{18a}$.

Приклад 4. Виконай дії з трьома дробами

Подамо у вигляді дробу вираз $\frac{2}{xy}+\frac{3}{yz}-\frac{5}{xz}$.

Розв’язання.

1. 1)У знаменниках трапляються змінні $x$, $y$ і $z$, кожна в першому степені. Тому спільний знаменник дорівнює $xyz$.
2. 2)Кожному дробу бракує однієї змінної: першому $z$, другому $x$, третьому $y$. Це і є додаткові множники.

Відповідь: $\frac{2z+3x-5y}{xyz}$.

Приклад 5. Подай у вигляді дробу різницю цілого виразу і дробу

Перетворимо вираз $3x-\frac{9x^2-2}{3x}$.

Розв’язання.

1. 1)Записуємо $3x$ як дріб $\frac{3x}{1}$. Спільний знаменник дорівнює $3x$, тому додатковий множник цілого виразу теж дорівнює $3x$.
2. 2)Множимо: $3x\cdot 3x=9x^2$. Чисельник дробу беремо в дужки, бо перед дробом стоїть «−».
3. 3)Розкриваємо дужки: $9x^2-9x^2+2=2$.

Відповідь: $\frac{2}{3x}$.

Приклад 6. Відніми дроби з двочленами в знаменниках

Виконаємо віднімання $\frac{2}{a-b}-\frac{1}{a+b}$.

Розв’язання.

1. 1)Знаменники $a-b$ і $a+b$ не розкладаються і не мають спільних множників. Тому спільний знаменник дорівнює їхньому добутку.
2. 2)Додатковий множник одного дробу дорівнює знаменнику другого. Двочлен-множник у чисельнику пишемо в дужках: $2(a+b)$.
3. 3)Перед $(a-b)$ стоїть «−», тому, розкриваючи дужки, змінюємо знаки обох членів: $-(a-b)=-a+b$.

Знаменник відповіді можна записати й коротше, бо $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Відповідь: $\frac{a+3b}{(a-b)(a+b)}$, або $\frac{a+3b}{a^2-b^2}$.

Приклад 7. Винеси спільний множник у знаменниках і відніми дроби

Виконаємо віднімання $\frac{a+1}{3a-6}-\frac{a}{2a-4}$.

Розв’язання.

1. 1)Виносимо спільні множники: $3a-6=3(a-2)$ і $2a-4=2(a-2)$.
2. 2)Множник $a-2$ є в обох знаменниках, тож у спільний знаменник він іде один раз. Числа 3 і 2 замінюємо найменшим числом, яке ділиться на кожне з них, тобто числом 6. Спільний знаменник дорівнює $6(a-2)$.
3. 3)Додаткові множники: 6 : 3 = 2 і 6 : 2 = 3.
4. 4)Чисельник $2-a$ протилежний до $a-2$, бо $2-a=-(a-2)$. Скорочуємо на $a-2$, і лишається число $-\frac{1}{6}$.

Відповідь: $-\frac{1}{6}$.

Приклад 8. Відніми дроби, коли один знаменник є квадратом двочлена

Виконаємо віднімання $\frac{1}{a^2-4a+4}-\frac{1}{a^2-4}$.

Розв’язання.

1. 1)Перший знаменник є квадратом різниці: $a^2-4a+4=(a-2)^2$. Другий знаменник є різницею квадратів: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.
2. 2)Множник $a-2$ трапляється в степенях 2 і 1, тому беремо найбільший показник: $(a-2)^2$. Додаємо множник $a+2$ і дістаємо спільний знаменник $(a-2)^2(a+2)$.
3. 3)Першому дробу бракує множника $a+2$, а другому — ще одного множника $a-2$.

Відповідь: $\frac{4}{(a-2)^2(a+2)}$.

Приклад 9. Відніми дроби, коли один знаменник ділиться на інший

Виконаємо віднімання $\frac{x+1}{x^2-x+1}-\frac{3x}{x^3+1}$.

Розв’язання.

1. 1)Розкладаємо $x^3+1$ за формулою суми кубів: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$. Отже, $x^3+1$ ділиться на перший знаменник, тому він і є спільним знаменником.
2. 2)Першому дробу бракує множника $x+1$, а додатковий множник другого дробу дорівнює 1.
3. 3)Квадрат суми розкриваємо за формулою: $(x+1)^2=x^2+2x+1$.
4. 4)Новий чисельник $x^2-x+1$ дорівнює одному з множників знаменника, тому дріб скорочується.

Відповідь: $\frac{1}{x+1}$.

Приклад 10. Порівняй два шляхи: добуток знаменників і найпростіший знаменник

Знайдемо суму $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2+2x}$ двома способами.

Розв’язання.

Шлях 1. Беремо добуток знаменників, нічого не розкладаючи.

Шлях 1 ще не закінчено. Додаткові множники $x^2+2x=x(x+2)$ і $x^2-4=(x-2)(x+2)$ мають спільний множник $x+2$, тому знаменник не найпростіший і дріб можна скоротити. Але для цього чисельник $2x^2+2x-4$ треба розкласти на множники, а розкладати такі тричлени ми ще не вміємо.

Шлях 2. Спершу розкладаємо знаменники.

У шляху 2 найпростіший знаменник $x(x-2)(x+2)$ містить кожен множник один раз. Додаткові множники $x$ і $x-2$ спільного множника не мають, і відповідь вийшла одразу, без скорочення.

Переконаймося підстановкою, що результати обох шляхів рівні. Візьмемо $x=3$. У шляху 1 дістанемо $\frac{18+6-4}{5\cdot 15}=\frac{20}{75}=\frac{4}{15}$. У шляху 2 дістанемо $\frac{2\cdot 2}{3\cdot 1\cdot 5}=\frac{4}{15}$.

Відповідь: $\frac{2(x-1)}{x(x-2)(x+2)}$.

Приклад 11. Додай дроби з протилежними множниками в знаменниках

Виконаємо додавання $\frac{2}{x^2-xy}+\frac{2}{y^2-xy}$.

Розв’язання.

1. 1)Розкладаємо знаменники: $x^2-xy=x(x-y)$ і $y^2-xy=y(y-x)$. Множники $x-y$ і $y-x$ протилежні.
2. 2)Записуємо $y(y-x)=-y(x-y)$. Мінус із знаменника переходить перед дріб, і «+» стає «−».
3. 3)Тепер спільний знаменник дорівнює $xy(x-y)$, а додаткові множники — $y$ і $x$.
4. 4)Чисельник $2y-2x=-2(x-y)$, тому скорочуємо на $x-y$.

Відповідь: $-\frac{2}{xy}$.

Приклад 12. Подай у вигляді дробу вираз із трьох дробів

Перетворимо вираз $\frac{3}{b-4}-\frac{1}{b+4}+\frac{24}{16-b^2}$ за кроками алгоритму.

Розв’язання.

1. 1)Розкладаємо третій знаменник: $16-b^2=(4-b)(4+b)$. Множник $4-b$ протилежний до $b-4$, отже, $16-b^2=-(b^2-16)$. Знак «+» перед третім дробом стає «−».
2. 2)Найпростіший спільний знаменник дорівнює $b^2-16=(b-4)(b+4)$.
3. 3)Додаткові множники дорівнюють $b+4$, $b-4$ і 1.
4. 4)Виконуємо дії в чисельнику, а тоді скорочуємо.

Відповідь: $\frac{2}{b+4}$.

Приклад 13. Подай у вигляді дробу різницю многочлена і дробу

Перетворимо вираз $x+3-\frac{x^2+9}{x-3}$.

Розв’язання.

1. 1)Многочлен $x+3$ записуємо як дріб зі знаменником 1. Його додатковий множник дорівнює всьому знаменнику $x-3$.
2. 2)Добуток $(x+3)(x-3)$ є різницею квадратів: $x^2-9$. Чисельник дробу $x^2+9$ беремо в дужки, бо перед ним стоїть «−».
3. 3)Мінус із чисельника виносимо перед дріб: $\frac{-18}{x-3}=-\frac{18}{x-3}$. Потім за правилом з § 2 змінюємо знак перед дробом і знак знаменника: $x-3$ стає $3-x$.

Відповіді $-\frac{18}{x-3}$ і $\frac{18}{3-x}$ обидві правильні, тож переносити мінус у знаменник не обов’язково. У підручнику відповідь до такого прикладу записано без мінуса перед дробом, тому ми зробили так само.

Відповідь: $\frac{18}{3-x}$.

Приклад 14. Доведи тотожність із трьома дробами

Доведемо тотожність $\frac{2a-3}{2a}-\frac{3b-2}{3b}-\frac{4a-3b}{6ab}=-\frac{1}{a}$.

Доведення.

1. 1)Спільний знаменник дорівнює $6ab$, а додаткові множники — $3b$, $2a$ і 1. Чисельник третього дробу беремо в дужки, бо перед ним стоїть «−».
2. 2)Подібні члени знищуються: $6ab-6ab=0$, $4a-4a=0$, $-9b+3b=-6b$.
3. 3)Скорочуємо $\frac{-6b}{6ab}$ на $6b$ і дістаємо праву частину.

Ліва частина за всіх допустимих значень змінних дорівнює правій. Тотожність доведено.

Приклад 15. Доведи тотожність із десятковими дробами

Доведемо тотожність $\frac{0{,}6}{0{,}2a+0{,}4}-\frac{0{,}3a}{0{,}1a^2-0{,}4}=-\frac{6}{a^2-4}$.

Доведення.

1. 1)Спершу позбуваємося десяткових дробів. За основною властивістю дробу множимо чисельник і знаменник кожного дробу на 10.
2. 2)Перший дріб скорочуємо на 2: $\frac{6}{2a+4}=\frac{6}{2(a+2)}=\frac{3}{a+2}$.
3. 3)Далі діємо за алгоритмом: $a^2-4=(a-2)(a+2)$, і це спільний знаменник. Додаткові множники дорівнюють $a-2$ і 1.

Ліва частина за всіх допустимих значень змінної дорівнює правій. Тотожність доведено.

Приклад 16. Доведи, що значення виразу не залежить від змінної

Доведемо, що значення виразу $\frac{7m-1}{3m-3}-\frac{m+1}{m-1}$ не залежить від $m$.

Доведення.

1. 1)Виносимо 3 у першому знаменнику: $3m-3=3(m-1)$. Спільний знаменник дорівнює $3(m-1)$, а додаткові множники — 1 і 3.
2. 2)Чисельник $4m-4=4(m-1)$, тому скорочуємо на $m-1$.
3. 3)Вираз має зміст, коли $m\ne 1$. За всіх таких $m$ він дорівнює числу $\frac{4}{3}$, тому його значення від $m$ не залежить.

Приклад 17. Доведи, що значення виразу додатне

Доведемо, що значення виразу $\frac{a^3+a}{a-1}-\frac{2a^2+2}{2a-2}$ додатне за всіх допустимих значень $a$.

Доведення.

1. 1)Виносимо 2 у другому знаменнику: $2a-2=2(a-1)$. Спільний знаменник дорівнює $2(a-1)$, а додаткові множники — 2 і 1.
2. 2)Чисельник розкладаємо групуванням, як у 7 класі. Об’єднуємо члени в пари $2a^3-2a^2$ і $2a-2$: з першої пари виносимо $2a^2$, а з другої — 2.
3. 3)Після скорочення лишається $a^2+1$. Квадрат будь-якого числа невід’ємний, тому $a^2+1\geqslant 1$, а отже, значення виразу додатне.

Приклад 18. З’ясуй, чи може значення виразу дорівнювати нулю

Чи існує таке значення $x$, за якого вираз $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$ дорівнює нулю?

Розв’язання.

1. 1)Спрощуємо вираз: спільний знаменник дорівнює $(x-2)(x+2)$, а чисельник — 4.
2. 2)Дріб дорівнює нулю лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю. Чисельник тут дорівнює 4, і нулем він не стане за жодного $x$.

Відповідь: такого значення $x$ не існує.

Приклад 19. Знайди число, за якого вираз тотожно дорівнює дробу

За якого значення $k$ вираз $3-\frac{k}{x+5}$ тотожно дорівнює дробу $\frac{3x}{x+5}$?

Розв’язання.

1. 1)Перетворюємо вираз на дріб зі знаменником $x+5$, як у дробу $\frac{3x}{x+5}$.
2. 2)Знаменники однакові. Дроби тотожно рівні, коли чисельники $3x+15-k$ і $3x$ рівні за будь-якого допустимого значення $x$, тобто за $x\ne -5$. Для цього число $15-k$ має дорівнювати нулю, тобто $k=15$.

Перевірка: $3-\frac{15}{x+5}=\frac{3x+15-15}{x+5}=\frac{3x}{x+5}$.

Відповідь: $k=15$.

Приклад 20. Знайди значення виразу, спершу спростивши його

Знайдемо значення виразу $\frac{2a}{a^2-b^2}-\frac{1}{a-b}$, якщо $a=3{,}7$, $b=-2{,}7$.

Розв’язання.

1. 1)Перевіряємо знаменники: $a-b=3{,}7+2{,}7=6{,}4$ і $a+b=1$. Нулю вони не дорівнюють, тож вираз має зміст.
2. 2)Спрощуємо: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, і це спільний знаменник.
3. 3)Лише тепер підставляємо числа в короткий вираз $\frac{1}{a+b}$.

Відповідь: 1.

Приклад 21. Побудуй графік функції

Побудуємо графік функції $y=\frac{3x+1}{x-1}-\frac{x+7}{2x-2}$.

Розв’язання.

1. 1)Знаменник не може дорівнювати нулю: $x-1=0$ лише за $x=1$. Тому 1 не входить в область визначення функції.
2. 2)Спрощуємо формулу: $2x-2=2(x-1)$, і це спільний знаменник. Виходить $y=2{,}5$.
3. 3)Графіком функції $y=2{,}5$ є пряма, паралельна осі $x$. Точка з абсцисою 1 графіку не належить, тому її зображуємо «порожньою»: це «виколота» точка (1; 2,5).

Пряма $y=2{,}5$ з «виколотою» точкою (1; 2,5).

Відповідь: графіком є пряма $y=2{,}5$ без точки (1; 2,5).