Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками: дужки в чисельнику і протилежні знаменники — алгебра 8 клас

Приклад 1. Виконай дії з дробами, у чисельниках яких одночлени

Виконаємо три дії.

1. 1)Знаменники однакові, тож знаменник переписуємо один раз. Чисельники з’єднуємо знаком дії.
2. 2)Чисельники — подібні одночлени: $4a+5a=9a$, $11y^2-4y^2=7y^2$.
3. 3)У пункті 1 дріб $\frac{9a}{3x}$ скорочуємо на 3. В інших пунктах скорочувати нічого.

Відповідь: 1) $\frac{3a}{x}$; 2) $\frac{7y^2}{c}$; 3) $\frac{9}{b}$.

Приклад 2. Відніми дріб, у чисельнику якого двочлен

Виконаємо три дії.

1. 1)Весь чисельник від’ємника беремо в дужки: віднімаємо весь вираз $3m-10$, тобто обидва його члени.
2. 2)Розкриваємо дужки. Мінус перед дужками змінює знак кожного члена: $-(3m-10)=-3m+10$.
3. 3)Зводимо подібні: $9m-3m=6m$, $-4+10=6$. Виносимо 6 і скорочуємо на 6.
4. 4)У пункті 2 дроби додаємо, тож дужки не потрібні. Доданки $a$ і $-a$ дають 0, і дріб дорівнює числу 2.
5. 5)У пункті 3 після дужок $5k-5k=0$, $2c^3+2c^3=4c^3$. Скорочуємо на $4c$: $c^3:c=c^2$.

Відповідь: 1) $\frac{m+1}{m}$; 2) 2; 3) $c^2$.

Приклад 3. Спрости вираз із трьох дробів

1. 1)Усі три чисельники пишемо над однією рискою. Дужки потрібні лише для третього: перед ним стоїть «−».
2. 2)Розкриваємо дужки: $-(2x-1)=-2x+1$.
3. 3)Зводимо подібні: $5x+x-2x=4x$, $-2+9+1=8$. Виносимо 4 і скорочуємо на 4.

Відповідь: $\frac{x+2}{x}$.

Приклад 4. Виконай дію й скороти результат

Виконаємо чотири дії.

1. 1)У пункті 1 чисельник $y^2-36$ — різниця квадратів: $(y-6)(y+6)$. Скорочуємо на $y-6$, і в знаменнику лишається 1. Відповідь — многочлен.
2. 2)У пункті 2 знаменник — теж різниця квадратів: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Скорочуємо на $x+1$. У чисельнику лишається 1, бо $x+1=1\cdot(x+1)$.
3. 3)У пункті 3 чисельник $x-y$ і знаменник $(x-y)^2=(x-y)(x-y)$. Скорочуємо на $x-y$ один раз.
4. 4)У пункті 4 після дужок: $7c-3c=4c$ і $-(-4)=+4$. Чисельник $c^2+4c+4$ — квадрат суми $(c+2)^2$. У знаменнику виносимо $c$. Скорочуємо на $c+2$.

Відповідь: 1) $y+6$; 2) $\frac{1}{x-1}$; 3) $\frac{1}{x-y}$; 4) $\frac{c+2}{c}$.

Приклад 5. Додай і відніми дроби з протилежними знаменниками

Виконаємо дві дії.

1. 1)Вибираємо знаменник, який лишимо, наприклад $a-5$. У другому дробі змінюємо знак знаменника: $5-a$ стає $a-5$.
2. 2)Одночасно змінюємо знак перед цим дробом: «+» стає «−». Тепер знаменники однакові.
3. 3)Віднімаємо і скорочуємо: $3a-15=3(a-5)$, дріб дорівнює 3.
4. 4)У пункті 2 перед дробом уже стоїть «−». Після зміни знака знаменника він стає «+»: $-\frac{2n}{2n-m}=+\frac{2n}{m-2n}$.

Відповідь: 1) 3; 2) $\frac{m+2n}{m-2n}$.

Приклад 6. Виконай дії, коли знаменники — квадрати, куби чи добутки

Виконаємо три дії.

1. 1)У пункті 1 квадрати рівні. Замінюємо $(3-t)^2$ на $(t-3)^2$, а знак перед дробом не змінюємо.
2. 2)Віднімаємо: $t+6-9=t-3$. Скорочуємо на $t-3$ один раз, у знаменнику лишається $t-3$.
3. 3)У пункті 2 куби протилежні. Замінюємо $(3-t)^3$ на $(t-3)^3$ і змінюємо знак перед дробом.
4. 4)Чисельник $15-5t=-5(t-3)$. Скорочуємо на $t-3$: з куба лишається квадрат.
5. 5)У пункті 3 обидві дужки знаменника протилежні, тож знаменники рівні. Знак не змінюємо, одразу віднімаємо й виносимо 2.

Відповідь: 1) $\frac{1}{t-3}$; 2) $-\frac{5}{(t-3)^2}$; 3) $\frac{2}{n-4}$.

Приклад 7. Доведи тотожність

Доведемо, що $\frac{(x+5)^2}{4x}-\frac{(x-5)^2}{4x}=5$.

1. 1)Перетворюємо ліву частину: віднімаємо дроби за правилом.
2. 2)Розкриваємо квадрати за формулами $(a+b)^2$ і $(a-b)^2$. Другий квадрат беремо в дужки: перед ним «−».
3. 3)Зводимо подібні: $x^2-x^2=0$, $10x+10x=20x$, $25-25=0$. Скорочуємо $\frac{20x}{4x}$ на $4x$.

Ліва частина за всіх допустимих значень ($x\ne 0$) дорівнює 5, тобто правій частині. Тотожність доведено.

Приклад 8. Знайди значення виразу: спершу спрости

Знайдемо значення трьох виразів.

1. 1)Спершу перевіряємо, що знаменники за цих значень не дорівнюють нулю: $c\ne 0$; $3a-12=3\cdot 35-12=93$; $p+3q=3001-1=3000$.
2. 2)Спрощуємо вираз за правилами. У пункті 2 знаменники протилежні: у другому дробі змінюємо знак знаменника й знак перед дробом.
3. 3)Скорочуємо. У пункті 2 чисельник — різниця квадратів, у пункті 3 — квадрат суми $(p+3q)^2$.
4. 4)Лише тепер підставляємо числа в короткий вираз.

Якби ми підставили 3001 і $-\frac{1}{3}$ одразу в початковий вираз, довелося б підносити 3001 до квадрата. Після спрощення лишилося одне віднімання.

Відповідь: 1) 12; 2) 13; 3) 3000.

Приклад 9. Подай дріб у вигляді суми й різниці дробів

1. 1)Кожен член чисельника пишемо над своїм знаменником $ab$. Знаки між дробами — ті самі, що між членами чисельника.
2. 2)Скорочуємо кожен дріб: $\frac{4a}{ab}$ на $a$, $\frac{3b}{ab}$ на $b$. Дріб $\frac{6}{ab}$ не скорочується.

Відповідь: $\frac{4}{b}-\frac{3}{a}+\frac{6}{ab}$.

Приклад 10. Подай дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу й дробу

Розглянемо чотири дроби.

1. 1)У пункті 1 знаменник $x^2$ — одночлен. Ділимо на нього кожен член чисельника: $x^3:x^2=x$, $2x^2:x^2=2$. Член 5 на $x^2$ не ділиться, він лишається дробом.
2. 2)У пункті 2 шукаємо в чисельнику $y+2$, помножене на число. Беремо $3(y+2)=3y+6$. Число 7 розбиваємо: $7=6+1$.
3. 3)Розбиваємо дріб на два й скорочуємо перший на $y+2$. Лишається ціле число 3 і дріб $\frac{1}{y+2}$.
4. 4)У пункті 3 з перших двох членів виносимо $x$: $x^2+4x=x(x+4)$. Член $-7$ стає дробом з мінусом.
5. 5)У пункті 4 з $3a-3b$ виносимо 3: виходить множник $a-b$, такий самий, як знаменник.

Перевірка підстановкою: у пункті 2 візьмемо $y=0$. Початковий дріб: $\frac{7}{2}=3{,}5$. Відповідь: $3+\frac{1}{2}=3{,}5$. Збіглося.

Відповідь: 1) $x-2+\frac{5}{x^2}$; 2) $3+\frac{1}{y+2}$; 3) $x-\frac{7}{x+4}$; 4) $3+\frac{2}{a-b}$.