Завдання № 5 ДР-4 [8М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 43)

Тема: Розв’язування прямокутних трикутників

З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, що утворює кут 45° із прямою. Знайдіть довжину перпендикуляра та довжину похилої, якщо проекція похилої дорівнює 4 см.

Розв’язок:

Нехай проекція похилої CB = 4 см, кут між похилою і прямою ∠B = 45°.
 
1. Знайдемо довжину похилої AB.
За означенням косинуса:
$\cos B = \frac{CB}{AB}$
$\cos 45^\circ = \frac{4}{AB}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{AB}$
$AB = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см

2. Знайдемо довжину перпендикуляра AC.
За означенням синуса:
$\sin B = \frac{AC}{AB}$
$\sin 45^\circ = \frac{AC}{4\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AC}{4\sqrt{2}}$
$AC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ см

Відповідь:

4 см; $4\sqrt{2}$ см