Сторінка 40
248. Доведіть тотожність:
1) $\left(\frac{a^2-ab}{a^2b+b^3}-\frac{2a^2}{b^3-ab^2+a^2b-a^3}\right)\cdot\left(1-\frac{b-1}{a}-\frac{b}{a^2}\right) = \frac{a+1}{ab}$;
2) $\left(\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x-1}+\frac{4x}{x^2-1}\right)\cdot\left(\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\right) = 4$;
3) $\left(\frac{1}{a^2-ab}-\frac{3b^2}{a^4-ab^3}-\frac{b}{a^3+a^2b+ab^2}\right)\cdot\left(b+\frac{a^2}{a+b}\right) = \frac{1}{a}$;
4) $\left(\frac{3x+2}{3x^2+1}-\frac{18x^3-x-9}{9x^4-1}+\frac{3x-2}{3x^2-1}\right):\frac{x^2+10x+25}{9x^4-1} = \frac{1}{x+5}$.
Розв'язок:
1) 1)
$\frac{a(a-b)}{b(a^2+b^2)}-\frac{2a^2}{(b-a)(a^2+b^2)} =$
$= \frac{a(a-b)}{b(a^2+b^2)}+\frac{2a^2}{(a-b)(a^2+b^2)} =$
$= \frac{a(a-b)^2+2a^2b}{b(a-b)(a^2+b^2)} =$
$= \frac{a(a^2-2ab+b^2+2ab)}{b(a-b)(a^2+b^2)} =$
$= \frac{a}{b(a-b)}$
2)
$1-\frac{b-1}{a}-\frac{b}{a^2} =$
$= \frac{a^2-a(b-1)-b}{a^2} =$
$= \frac{a(a-b)+(a-b)}{a^2} =$
$= \frac{(a-b)(a+1)}{a^2}$
3)
$\frac{a}{b(a-b)}\cdot\frac{(a-b)(a+1)}{a^2} =$
$= \frac{a+1}{ab}$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
2) 1)
$\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x-1}+\frac{4x}{x^2-1} =$
$= \frac{2x(x-1)+2(x+1)+4x}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2x^2+4x+2}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2(x+1)}{x-1}$
2)
$\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1} =$
$= \frac{2x(x-1)+2(x+1)-4x}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2x^2-4x+2}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} =$
$= \frac{2(x-1)}{x+1}$
3)
$\frac{2(x+1)}{x-1}\cdot\frac{2(x-1)}{x+1} =$
$= 4$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
3) Розкладемо знаменники на множники:
$a^2-ab=a(a-b)$;
$a^4-ab^3=a(a-b)(a^2+ab+b^2)$;
$a^3+a^2b+ab^2=a(a^2+ab+b^2)$.
1)
$\frac{1}{a^2-ab}-\frac{3b^2}{a^4-ab^3}-\frac{b}{a^3+a^2b+ab^2} =$
$= \frac{a^2+ab+b^2-3b^2-b(a-b)}{a(a-b)(a^2+ab+b^2)} =$
$= \frac{a^2-b^2}{a(a-b)(a^2+ab+b^2)} =$
$= \frac{a+b}{a(a^2+ab+b^2)}$
2)
$b+\frac{a^2}{a+b} =$
$= \frac{ab+b^2+a^2}{a+b}$
3)
$\frac{a+b}{a(a^2+ab+b^2)}\cdot\frac{a^2+ab+b^2}{a+b} =$
$= \frac{1}{a}$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
4) Спільний знаменник: $9x^4-1=(3x^2-1)(3x^2+1)$.
1)
$(3x+2)(3x^2-1) =$
$= 9x^3+6x^2-3x-2$
2)
$(3x-2)(3x^2+1) =$
$= 9x^3-6x^2+3x-2$
3) Сума цих добутків: $18x^3-4$.
Чисельник:
$18x^3-4-(18x^3-x-9) =$
$= 18x^3-4-18x^3+x+9 =$
$= x+5$
4) Отже,
$\frac{3x+2}{3x^2+1}-\frac{18x^3-x-9}{9x^4-1}+\frac{3x-2}{3x^2-1} =$
$= \frac{x+5}{9x^4-1}$
5)
$\frac{x+5}{9x^4-1}:\frac{x^2+10x+25}{9x^4-1} =$
$= \frac{x+5}{9x^4-1}\cdot\frac{9x^4-1}{(x+5)^2} =$
$= \frac{1}{x+5}$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
249. Доведіть тотожність:
1) $\left(\frac{2ab}{4a^2-9b^2}+\frac{b}{3b-2a}\right):\left(1-\frac{2a-3b}{2a+3b}\right) =$
$= \frac{b}{2(3b-2a)}$;
2) $\left(\frac{1}{2a-b}+\frac{3b}{b^2-4a^2}-\frac{2}{2a+b}\right):\left(\frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}+1\right) = -\frac{1}{4a}$.
Розв'язок:
1) 1)
$\frac{2ab}{(2a-3b)(2a+3b)}-\frac{b}{2a-3b} =$
$= \frac{2ab-b(2a+3b)}{(2a-3b)(2a+3b)} =$
$= \frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)}$
2)
$1-\frac{2a-3b}{2a+3b} =$
$= \frac{2a+3b-2a+3b}{2a+3b} =$
$= \frac{6b}{2a+3b}$
3)
$\frac{-3b^2}{(2a-3b)(2a+3b)}\cdot\frac{2a+3b}{6b} =$
$= -\frac{b}{2(2a-3b)} =$
$= \frac{b}{2(3b-2a)}$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
2) 1)
$\frac{1}{2a-b}-\frac{3b}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{2}{2a+b} =$
$= \frac{2a+b-3b-2(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} =$
$= \frac{-2a}{(2a-b)(2a+b)}$
2)
$\frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}+1 =$
$= \frac{4a^2+b^2+4a^2-b^2}{(2a-b)(2a+b)} =$
$= \frac{8a^2}{(2a-b)(2a+b)}$
3)
$\frac{-2a}{(2a-b)(2a+b)}\cdot\frac{(2a-b)(2a+b)}{8a^2} =$
$= -\frac{1}{4a}$
Ліва частина дорівнює правій, отже, тотожність доведено.
250. Доведіть, що за всіх допустимих значень $x$ значення виразу не залежать від $x$:
1) $\left(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x^3+1}+\frac{3}{x^2-x+1}\right)\cdot\left(x-\frac{2x-1}{x+1}\right)$;
2) $\left(\frac{2x^2+x}{x^3-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right):\left(1+\frac{x+1}{x}-\frac{2x^2+5x-1}{x^2-x}\right)$;
3) $\frac{1}{2x-3}:\left(\frac{4}{4x^2-9}-\frac{6x-9}{8x^3+27}\right)+\frac{12x-4x^2}{2x+3}$.
Розв'язок:
1) 1)
$\frac{1}{x+1}-\frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{3}{x^2-x+1} =$
$= \frac{x^2-x+1-3+3(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} =$
$= \frac{x^2+2x+1}{(x+1)(x^2-x+1)} =$
$= \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} =$
$= \frac{x+1}{x^2-x+1}$
2)
$x-\frac{2x-1}{x+1} =$
$= \frac{x^2+x-2x+1}{x+1} =$
$= \frac{x^2-x+1}{x+1}$
3)
$\frac{x+1}{x^2-x+1}\cdot\frac{x^2-x+1}{x+1} =$
$= 1$
Значення виразу дорівнює $1$ за всіх допустимих значень $x$, тобто не залежить від $x$.
2) 1)
$\frac{2x^2+x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x+1}{x^2+x+1} =$
$= \frac{2x^2+x-(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} =$
$= \frac{2x^2+x-x^2+1}{(x-1)(x^2+x+1)} =$
$= \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} =$
$= \frac{1}{x-1}$
2)
$1+\frac{x+1}{x}-\frac{2x^2+5x-1}{x(x-1)} =$
$= \frac{x(x-1)+(x+1)(x-1)-(2x^2+5x-1)}{x(x-1)} =$
$= \frac{x^2-x+x^2-1-2x^2-5x+1}{x(x-1)} =$
$= \frac{-6x}{x(x-1)} =$
$= -\frac{6}{x-1}$
3)
$\frac{1}{x-1}:\left(-\frac{6}{x-1}\right) =$
$= -\frac{1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{6} =$
$= -\frac{1}{6}$
Значення виразу дорівнює $-\frac{1}{6}$ за всіх допустимих значень $x$, тобто не залежить від $x$.
3) 1)
$\frac{4}{(2x-3)(2x+3)}-\frac{3(2x-3)}{(2x+3)(4x^2-6x+9)} =$
$= \frac{4(4x^2-6x+9)-3(2x-3)^2}{(2x-3)(2x+3)(4x^2-6x+9)} =$
$= \frac{16x^2-24x+36-12x^2+36x-27}{(2x-3)(2x+3)(4x^2-6x+9)} =$
$= \frac{4x^2+12x+9}{(2x-3)(2x+3)(4x^2-6x+9)} =$
$= \frac{(2x+3)^2}{(2x-3)(2x+3)(4x^2-6x+9)} =$
$= \frac{2x+3}{(2x-3)(4x^2-6x+9)}$
2)
$\frac{1}{2x-3}\cdot\frac{(2x-3)(4x^2-6x+9)}{2x+3} =$
$= \frac{4x^2-6x+9}{2x+3}$
3)
$\frac{4x^2-6x+9}{2x+3}+\frac{12x-4x^2}{2x+3} =$
$= \frac{6x+9}{2x+3} =$
$= \frac{3(2x+3)}{2x+3} =$
$= 3$
Значення виразу дорівнює $3$ за всіх допустимих значень $x$, тобто не залежить від $x$.
251. Доведіть, що за всіх допустимих значень $y$ значення виразу не залежать від $y$:
1) $\left(3-\frac{9+4y^2}{3+2y}\right)\cdot\left(\frac{1}{2y}+\frac{2}{3-2y}\right)$;
2) $\left(\frac{y+21}{y^2-8y+16}-\frac{y+3}{16-y^2}\right)\cdot\left(\frac{y-4}{y+6}\right)^2-\frac{3y+14}{y+4}$.
Розв'язок:
1) 1)
$3-\frac{9+4y^2}{3+2y} =$
$= \frac{9+6y-9-4y^2}{3+2y} =$
$= \frac{2y(3-2y)}{3+2y}$
2)
$\frac{1}{2y}+\frac{2}{3-2y} =$
$= \frac{3-2y+4y}{2y(3-2y)} =$
$= \frac{3+2y}{2y(3-2y)}$
3)
$\frac{2y(3-2y)}{3+2y}\cdot\frac{3+2y}{2y(3-2y)} =$
$= 1$
Значення виразу дорівнює $1$ за всіх допустимих значень $y$, тобто не залежить від $y$.
2) 1)
$\frac{y+21}{(y-4)^2}+\frac{y+3}{(y-4)(y+4)} =$
$= \frac{(y+21)(y+4)+(y+3)(y-4)}{(y-4)^2(y+4)} =$
$= \frac{y^2+25y+84+y^2-y-12}{(y-4)^2(y+4)} =$
$= \frac{2(y^2+12y+36)}{(y-4)^2(y+4)} =$
$= \frac{2(y+6)^2}{(y-4)^2(y+4)}$
2)
$\frac{2(y+6)^2}{(y-4)^2(y+4)}\cdot\frac{(y-4)^2}{(y+6)^2} =$
$= \frac{2}{y+4}$
3)
$\frac{2}{y+4}-\frac{3y+14}{y+4} =$
$= \frac{-3y-12}{y+4} =$
$= \frac{-3(y+4)}{y+4} =$
$= -3$
Значення виразу дорівнює $-3$ за всіх допустимих значень $y$, тобто не залежить від $y$.
252. Доведіть, що за всіх допустимих значень змінних значення виразу не залежать від $a$ і $x$:
1) $\left(\frac{7a}{a+x}+\frac{7x}{a-x}+\frac{14ax}{a^2-x^2}\right)\cdot\left(\frac{5a}{a+x}+\frac{5x}{a-x}-\frac{10ax}{a^2-x^2}\right)$;
2) $\frac{x^3-9a^2x}{9a^2+x^2}\cdot\left(\frac{x+3a}{x^2-3ax}+\frac{x-3a}{3ax+x^2}\right)$;
3) $\left(\frac{a}{a+x}+\frac{x}{a-x}+\frac{2ax}{x^2-a^2}\right)\cdot\frac{a}{a-x}+\left(\frac{x}{x-a}+\frac{2ax}{a^2-x^2}\right)$;
4) $\frac{2x}{x-3a}-\left(\frac{2}{3x}-\frac{2}{x+3a}\cdot\left(\frac{x+3a}{3x}-x-3a\right)\right)\cdot\frac{x}{x-3a}$.
Розв'язок:
1) 1)
$\frac{7a}{a+x}+\frac{7x}{a-x}+\frac{14ax}{a^2-x^2} =$
$= \frac{7a(a-x)+7x(a+x)+14ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{7a^2+14ax+7x^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{7(a+x)^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{7(a+x)}{a-x}$
2)
$\frac{5a}{a+x}+\frac{5x}{a-x}-\frac{10ax}{a^2-x^2} =$
$= \frac{5a(a-x)+5x(a+x)-10ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{5a^2-10ax+5x^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{5(a-x)^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{5(a-x)}{a+x}$
3)
$\frac{7(a+x)}{a-x}\cdot\frac{5(a-x)}{a+x} =$
$= 35$
Значення виразу дорівнює $35$ за всіх допустимих значень $a$ і $x$, тобто не залежить від $a$ і $x$.
2) 1)
$\frac{x+3a}{x(x-3a)}+\frac{x-3a}{x(x+3a)} =$
$= \frac{(x+3a)^2+(x-3a)^2}{x(x-3a)(x+3a)} =$
$= \frac{x^2+6ax+9a^2+x^2-6ax+9a^2}{x(x-3a)(x+3a)} =$
$= \frac{2(x^2+9a^2)}{x(x^2-9a^2)}$
2)
$\frac{x(x^2-9a^2)}{9a^2+x^2}\cdot\frac{2(x^2+9a^2)}{x(x^2-9a^2)} =$
$= 2$
Значення виразу дорівнює $2$ за всіх допустимих значень $a$ і $x$, тобто не залежить від $a$ і $x$.
3) 1)
$\frac{a}{a+x}+\frac{x}{a-x}-\frac{2ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{a(a-x)+x(a+x)-2ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{a^2-2ax+x^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{(a-x)^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{a-x}{a+x}$
2)
$\frac{a-x}{a+x}\cdot\frac{a}{a-x} =$
$= \frac{a}{a+x}$
3)
$\frac{x}{x-a}+\frac{2ax}{a^2-x^2} =$
$= -\frac{x}{a-x}+\frac{2ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{-x(a+x)+2ax}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{ax-x^2}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{x(a-x)}{(a-x)(a+x)} =$
$= \frac{x}{a+x}$
4)
$\frac{a}{a+x}+\frac{x}{a+x} =$
$= \frac{a+x}{a+x} =$
$= 1$
Значення виразу дорівнює $1$ за всіх допустимих значень $a$ і $x$, тобто не залежить від $a$ і $x$.
4) 1)
$\frac{x+3a}{3x}-x-3a =$
$= \frac{x+3a}{3x}-(x+3a) =$
$= \frac{(x+3a)(1-3x)}{3x}$
2)
$\frac{2}{x+3a}\cdot\frac{(x+3a)(1-3x)}{3x} =$
$= \frac{2(1-3x)}{3x}$
3)
$\frac{2}{3x}-\frac{2(1-3x)}{3x} =$
$= \frac{2-2+6x}{3x} =$
$= 2$
4)
$2\cdot\frac{x}{x-3a} =$
$= \frac{2x}{x-3a}$
5)
$\frac{2x}{x-3a}-\frac{2x}{x-3a} =$
$= 0$
Значення виразу дорівнює $0$ за всіх допустимих значень $a$ і $x$, тобто не залежить від $a$ і $x$.