Сторінка 41
253. Доведіть, що за всіх допустимих значень змінних, значення виразу не залежать від $x$ та $y$:
1) $\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)-\frac{y}{x-y}$;
2) $\frac{1}{x}\left(\frac{y^2-xy}{x+y}\right)^2\cdot\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{x+y}{xy-y^2}\right)+\frac{x}{x+y}$.
Розв'язок:
1) 1)
$\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)} =$
$= \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} =$
$= \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$
2)
$\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} =$
$= \frac{x}{x-y}$
3)
$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y} =$
$= \frac{x-y}{x-y} =$
$= 1$
Значення виразу дорівнює $1$ за всіх допустимих значень $x$ та $y$, тобто не залежить від $x$ та $y$.
2) 1)
$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{x+y}{y(x-y)} =$
$= \frac{(x+y)y+(x+y)(x-y)}{y(x-y)^2} =$
$= \frac{(x+y)(y+x-y)}{y(x-y)^2} =$
$= \frac{x(x+y)}{y(x-y)^2}$
2)
$\frac{1}{x}\cdot\frac{y^2(y-x)^2}{(x+y)^2}\cdot\frac{x(x+y)}{y(x-y)^2} =$
$= \frac{y}{x+y}$
3)
$\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y} =$
$= 1$
Значення виразу дорівнює $1$ за всіх допустимих значень $x$ та $y$, тобто не залежить від $x$ та $y$.
254. Подайте у вигляді раціонального дробу
$\frac{\frac{3x-y}{y}+1}{\frac{3x+y}{y}-1}+\frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{3x}{y}-1}$.
Розв'язок:
1)
$\frac{\frac{3x-y}{y}+1}{\frac{3x+y}{y}-1} =$
$= \frac{3x-y+y}{y}:\frac{3x+y-y}{y} =$
$= \frac{3x}{y}:\frac{3x}{y} =$
$= 1$
2)
$\frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{3x}{y}-1} =$
$= \frac{3x-y}{x}:\frac{3x-y}{y} =$
$= \frac{3x-y}{x}\cdot\frac{y}{3x-y} =$
$= \frac{y}{x}$
3)
$1+\frac{y}{x} =$
$= \frac{x+y}{x}$
Відповідь: $\frac{x+y}{x}$.
255. Спростіть вираз
$\frac{5-\frac{b}{a}}{\frac{5a}{b}-1}-\frac{\frac{5a+b}{b}-1}{\frac{5a-b}{b}+1}$.
Розв'язок:
1)
$\frac{5-\frac{b}{a}}{\frac{5a}{b}-1} =$
$= \frac{5a-b}{a}:\frac{5a-b}{b} =$
$= \frac{5a-b}{a}\cdot\frac{b}{5a-b} =$
$= \frac{b}{a}$
2)
$\frac{\frac{5a+b}{b}-1}{\frac{5a-b}{b}+1} =$
$= \frac{5a+b-b}{b}:\frac{5a-b+b}{b} =$
$= \frac{5a}{b}:\frac{5a}{b} =$
$= 1$
3)
$\frac{b}{a}-1 =$
$= \frac{b-a}{a}$
Відповідь: $\frac{b-a}{a}$.
256. Спростіть вираз:
1) $\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$;
2) $\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x+1}}}$;
3) $1-\frac{1}{1-\frac{a}{1-\frac{1}{a+1}}}$;
4) $1+\frac{a}{1-\frac{a}{a+\frac{a}{a+1}}}$.
Розв'язок:
1) 1)
$1+\frac{1}{x} =$
$= \frac{x+1}{x}$
2)
$1-\frac{1}{\frac{x+1}{x}} =$
$= 1-\frac{x}{x+1} =$
$= \frac{1}{x+1}$
3)
$\frac{1}{\frac{1}{x+1}} =$
$= x+1$
2) 1)
$1-\frac{1}{x+1} =$
$= \frac{x}{x+1}$
2)
$1-\frac{1}{\frac{x}{x+1}} =$
$= 1-\frac{x+1}{x} =$
$= -\frac{1}{x}$
3)
$\frac{1}{-\frac{1}{x}} =$
$= -x$
3) 1)
$1-\frac{1}{a+1} =$
$= \frac{a}{a+1}$
2)
$1-\frac{a}{\frac{a}{a+1}} =$
$= 1-(a+1) =$
$= -a$
3)
$1-\frac{1}{-a} =$
$= 1+\frac{1}{a} =$
$= \frac{a+1}{a}$
4) 1)
$a+\frac{a}{a+1} =$
$= \frac{a^2+a+a}{a+1} =$
$= \frac{a(a+2)}{a+1}$
2)
$1-\frac{a}{\frac{a(a+2)}{a+1}} =$
$= 1-\frac{a+1}{a+2} =$
$= \frac{1}{a+2}$
3)
$1+\frac{a}{\frac{1}{a+2}} =$
$= 1+a(a+2) =$
$= a^2+2a+1 =$
$= (1+a)^2$
Відповідь: 1) $x+1$;
2) $-x$;
3) $\frac{a+1}{a}$;
4) $(1+a)^2$.
257. Спростіть:
1) $\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}}$;
2) $\frac{1}{1-\frac{b}{1+\frac{1}{b-1}}}$.
Розв'язок:
1) 1)
$1+\frac{1}{x-1} =$
$= \frac{x}{x-1}$
2)
$1-\frac{1}{\frac{x}{x-1}} =$
$= 1-\frac{x-1}{x} =$
$= \frac{1}{x}$
3)
$\frac{1}{\frac{1}{x}} =$
$= x$
2) 1)
$1+\frac{1}{b-1} =$
$= \frac{b}{b-1}$
2)
$1-\frac{b}{\frac{b}{b-1}} =$
$= 1-(b-1) =$
$= 2-b$
3)
$\frac{1}{2-b}$
Відповідь: 1) $x$;
2) $\frac{1}{2-b}$.
258. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{x-3}{x}=0$;
2) $\frac{5+x}{x}=0$;
3) $\frac{x-1}{x+2}=0$;
4) $\frac{x^3}{x-2}=0$;
5) $\frac{7x^2}{x+2}=0$;
6) $\frac{5x-6}{x+2}=0$.
Розв'язок:
1) Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$x-3=0$ і $x\ne0$;
$x=3$.
2) $5+x=0$ і $x\ne0$;
$x=-5$.
3) $x-1=0$ і $x+2\ne0$;
$x=1$, $x\ne-2$;
$x=1$.
4) $x^3=0$ і $x-2\ne0$;
$x=0$, $x\ne2$;
$x=0$.
5) $7x^2=0$ і $x+2\ne0$;
$x=0$, $x\ne-2$;
$x=0$.
6) $5x-6=0$ і $x+2\ne0$;
$5x=6$, $x\ne-2$;
$x=1{,}2$.
Відповідь: 1) $3$;
2) $-5$;
3) $1$;
4) $0$;
5) $0$;
6) $1{,}2$.