Сторінка 39

---

244. Виконайте дії:

1) $\left(\frac{b-1}{3b+(b-1)^2}-\frac{1-3b+b^2}{b^3-1}-\frac{1}{b-1}\right):\frac{b^2+1}{1-b}$;
2) $\left(\frac{16}{x^2-16}+\frac{x^2+4x}{x^2+8x+16}\right)\cdot\frac{4-x}{64+x^3}$;
3) $\frac{m^2-2m+1}{4}\cdot\left(\frac{2m}{m^3+1}:\frac{1-m}{m^2-m+1}+\frac{2}{m-1}\right):\frac{m-1}{m+1}$;
4) $\left(\frac{1}{2a+1}-\frac{3}{8a^3+1}+\frac{3}{4a^2-2a+1}\right)\cdot\left(2a-\frac{4a-1}{2a+1}\right)$.

Розв'язок:

1) 1)
$\frac{b-1}{b^2+b+1}-\frac{1-3b+b^2}{(b-1)(b^2+b+1)}-\frac{1}{b-1} =$
$= \frac{(b-1)^2-(1-3b+b^2)-(b^2+b+1)}{(b-1)(b^2+b+1)} =$
$= \frac{b^2-2b+1-1+3b-b^2-b^2-b-1}{(b-1)(b^2+b+1)} =$
$= \frac{-(b^2+1)}{(b-1)(b^2+b+1)}$
2)
$\frac{-(b^2+1)}{(b-1)(b^2+b+1)}:\frac{b^2+1}{1-b} =$
$= \frac{-(b^2+1)(1-b)}{(b-1)(b^2+b+1)(b^2+1)} =$
$= \frac{1}{b^2+b+1}$

2) 1)
$\frac{16}{(x-4)(x+4)}+\frac{x(x+4)}{(x+4)^2} =$
$= \frac{16}{(x-4)(x+4)}+\frac{x}{x+4} =$
$= \frac{16+x(x-4)}{(x-4)(x+4)} =$
$= \frac{x^2-4x+16}{(x-4)(x+4)}$
2)
$\frac{x^2-4x+16}{(x-4)(x+4)}\cdot\frac{4-x}{(x+4)(x^2-4x+16)} =$
$= -\frac{1}{(x+4)^2}$

3) 1)
$\frac{2m}{(m+1)(m^2-m+1)}\cdot\frac{m^2-m+1}{1-m} =$
$= \frac{2m}{(m+1)(1-m)} =$
$= -\frac{2m}{(m+1)(m-1)}$
2)
$-\frac{2m}{(m+1)(m-1)}+\frac{2}{m-1} =$
$= \frac{-2m+2(m+1)}{(m+1)(m-1)} =$
$= \frac{2}{(m+1)(m-1)}$
3)
$\frac{(m-1)^2}{4}\cdot\frac{2}{(m+1)(m-1)} =$
$= \frac{m-1}{2(m+1)}$
4)
$\frac{m-1}{2(m+1)}:\frac{m-1}{m+1} =$
$= \frac{m-1}{2(m+1)}\cdot\frac{m+1}{m-1} =$
$= \frac{1}{2}$

4) 1)
$\frac{1}{2a+1}-\frac{3}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}+\frac{3}{4a^2-2a+1} =$
$= \frac{4a^2-2a+1-3+3(2a+1)}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} =$
$= \frac{4a^2+4a+1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} =$
$= \frac{(2a+1)^2}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} =$
$= \frac{2a+1}{4a^2-2a+1}$
2)
$2a-\frac{4a-1}{2a+1} =$
$= \frac{2a(2a+1)-4a+1}{2a+1} =$
$= \frac{4a^2-2a+1}{2a+1}$
3)
$\frac{2a+1}{4a^2-2a+1}\cdot\frac{4a^2-2a+1}{2a+1} =$
$= 1$

Відповідь: 1) $\frac{1}{b^2+b+1}$;
2) $-\frac{1}{(x+4)^2}$;
3) $\frac{1}{2}$;
4) $1$.

---

245. Спростіть вираз:

1) $\frac{1-\frac{1}{m}}{1+\frac{1}{m}}$;
2) $\frac{\frac{5t-p}{p}+1}{\frac{5t+p}{p}-1}$;
3) $\frac{x-\frac{4x-4}{x}}{\frac{2}{x}-1}$;
4) $\frac{\frac{ab}{a-b}-c}{\frac{bc}{c-b}-a}$.

Розв'язок:

1) $\frac{1-\frac{1}{m}}{1+\frac{1}{m}} =$
$= \frac{m-1}{m}:\frac{m+1}{m} =$
$= \frac{m-1}{m}\cdot\frac{m}{m+1} =$
$= \frac{m-1}{m+1}$

2) $\frac{\frac{5t-p}{p}+1}{\frac{5t+p}{p}-1} =$
$= \frac{5t-p+p}{p}:\frac{5t+p-p}{p} =$
$= \frac{5t}{p}:\frac{5t}{p} =$
$= 1$

3) $\frac{x-\frac{4x-4}{x}}{\frac{2}{x}-1} =$
$= \frac{x^2-4x+4}{x}:\frac{2-x}{x} =$
$= \frac{(x-2)^2}{x}\cdot\frac{x}{2-x} =$
$= \frac{(2-x)^2}{2-x} =$
$= 2-x$

4) $\frac{\frac{ab}{a-b}-c}{\frac{bc}{c-b}-a} =$
$= \frac{ab-c(a-b)}{a-b}:\frac{bc-a(c-b)}{c-b} =$
$= \frac{ab-ac+bc}{a-b}\cdot\frac{c-b}{bc-ac+ab} =$
$= \frac{c-b}{a-b}$

Відповідь: 1) $\frac{m-1}{m+1}$;
2) $1$;
3) $2-x$;
4) $\frac{c-b}{a-b}$.

---

246. Спростіть вираз:

1) $\frac{3-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}+3}$;
2) $\frac{a-b}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}$;
3) $\frac{1-\frac{3}{c}}{\frac{6c-9}{c}-c}$;
4) $\frac{a-\frac{bc}{b-c}}{b-\frac{ac}{a-c}}$.

Розв'язок:

1) $\frac{3-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}+3} =$
$= \frac{3n-m}{n}:\frac{m+3n}{n} =$
$= \frac{3n-m}{n}\cdot\frac{n}{3n+m} =$
$= \frac{3n-m}{3n+m}$

2) $\frac{a-b}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} =$
$= (a-b):\frac{a^2-b^2}{ab} =$
$= \frac{(a-b)\cdot ab}{(a-b)(a+b)} =$
$= \frac{ab}{a+b}$

3) $\frac{1-\frac{3}{c}}{\frac{6c-9}{c}-c} =$
$= \frac{c-3}{c}:\frac{6c-9-c^2}{c} =$
$= \frac{c-3}{c}\cdot\frac{c}{-(c-3)^2} =$
$= -\frac{1}{c-3} =$
$= \frac{1}{3-c}$

4) $\frac{a-\frac{bc}{b-c}}{b-\frac{ac}{a-c}} =$
$= \frac{a(b-c)-bc}{b-c}:\frac{b(a-c)-ac}{a-c} =$
$= \frac{ab-ac-bc}{b-c}\cdot\frac{a-c}{ab-bc-ac} =$
$= \frac{a-c}{b-c}$

Відповідь: 1) $\frac{3n-m}{3n+m}$;
2) $\frac{ab}{a+b}$;
3) $\frac{1}{3-c}$;
4) $\frac{a-c}{b-c}$.

---

247. Подайте у вигляді дробу:

1) $\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2$;
2) $\left(\frac{a}{b}-\frac{3b}{2a}\right)^2$;
3) $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2$;
4) $\left(\frac{2m}{n}-\frac{n}{2m}\right)^2+\left(\frac{2m}{n}+\frac{n}{2m}\right)^2$;
5) $\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{b}\right)^2-\left(\frac{a+b}{a}-\frac{a-b}{b}\right)^2$;
6) $x^2\left(\frac{x+y}{x}-1\right)^2+y^2\left(\frac{x-y}{y}+1\right)^2$.

Розв'язок:

1) $\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2 =$
$= \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)^2 =$
$= \frac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}$

2) $\left(\frac{a}{b}-\frac{3b}{2a}\right)^2 =$
$= \left(\frac{2a^2-3b^2}{2ab}\right)^2 =$
$= \frac{(2a^2-3b^2)^2}{4a^2b^2}$

3) $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2 =$
$= \frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a^2}{b^2}-2+\frac{b^2}{a^2}\right) =$
$= 4$

4) 1)
$\left(\frac{2m}{n}-\frac{n}{2m}\right)^2 =$
$= \frac{4m^2}{n^2}-2+\frac{n^2}{4m^2}$
2)
$\left(\frac{2m}{n}+\frac{n}{2m}\right)^2 =$
$= \frac{4m^2}{n^2}+2+\frac{n^2}{4m^2}$
3) Додамо результати ($-2$ і $2$ дають $0$):
$\frac{8m^2}{n^2}+\frac{n^2}{2m^2} =$
$= \frac{16m^4+n^4}{2m^2n^2}$

5) Скористаємося формулою $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$.
1) $A+B$:
$\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{b}+\frac{a+b}{a}-\frac{a-b}{b} =$
$= \frac{2(a+b)}{a}$
2) $A-B$:
$\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{b}-\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{b} =$
$= \frac{2(a-b)}{b}$
3)
$\frac{2(a+b)}{a}\cdot\frac{2(a-b)}{b} =$
$= \frac{4(a^2-b^2)}{ab}$

6) $x^2\left(\frac{x+y}{x}-1\right)^2+y^2\left(\frac{x-y}{y}+1\right)^2 =$
$= x^2\cdot\left(\frac{x+y-x}{x}\right)^2+y^2\cdot\left(\frac{x-y+y}{y}\right)^2 =$
$= x^2\cdot\frac{y^2}{x^2}+y^2\cdot\frac{x^2}{y^2} =$
$= x^2+y^2$

Відповідь: 1) $\frac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}$;
2) $\frac{(2a^2-3b^2)^2}{4a^2b^2}$;
3) $4$;
4) $\frac{16m^4+n^4}{2m^2n^2}$;
5) $\frac{4(a^2-b^2)}{ab}$;
6) $x^2+y^2$.