№ 34 ЗПС Геометрія = № 34 ЗПС Математика
Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні довжинам цих сторін.
Розв'язок:
$PP$ — довільна точка діагоналі $AC$ паралелограма $ABCD.$
$PK ⊥ BC, PT ⊥ CD$ — відстані від точки $P$ до суміжних сторін.
Розглянемо трикутники $BOC$ і $COD.$
Нехай $CF ⊥ OD$ — спільна висота трикутників $BOC$ і $COD.$
$S_{\Delta BOC}\ =\ \frac{1}{2}\ BO\ \cdot\ CF;$
$S_{\Delta COD}\ = \frac{1}{2} OD ⋅ CF.$
Оскільки $BO = OD$ за властивістю діагоналей паралелограма, то
$S_{ΔBOC} = S_{ΔCOD}.$
Інакше $S_{ΔBOC} = \frac{1}{2} MO ⋅ BC;$
$S_{\Delta COD}\ =\ \frac{1}{2}\ ON\ \cdot\ CD,$
де $OM ⊥ ON$ — відповідні висоти трикутників,
проведені до сторін паралелограма. Оскільки площі рівні, то
$MO ⋅ BC = ON ⋅ CD,$
звідки $\frac{MO}{ON} = \frac{CD}{BC}.$
$△MOC ∼ △KPC, $
$△NOC ∼ △TPC$
(прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом).
З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:
$\frac{MO}{ON} = \frac{KP}{PT}.$
Тоді $ \frac{KP}{PT} = \frac{CD}{BC}.$
Що і треба було довести.