Завдання № 31

№ 31 ЗПС Геометрія = № 31 ЗПС Математика

Обчисліть:

1. sin 15°;
2. sin 75°.

1. Розглянемо $ΔABD,$ у якого $∠D = 90°;$

$∠A = ∠B = 45°,$ і $ΔBDC,$

у якого $∠D = 90°;$

$∠DBC = 30°.$

2. Тоді $∠ABC = 75°.$

3. Позначимо $AD = BD = 1,$ тоді

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} =$

$= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2.$

4. У $ΔBDC:$

$tg\ \angle DBC\ =\ \frac{DC}{BD};$

$ DC\ =\ \frac{1}{\sqrt3}.$

Тоді $BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} =$

$= \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} =$

$= \frac{4}{\sqrt3}.$

5. Проведемо висоту $AK$ трикутника $ABC.$

6. $S_{\triangle ABC}\ =\ \frac{1}{2}\ AC\ \cdot\ BD\ =$

$= \ \frac{1}{2}\ BC\ \cdot\ AK;$

$(1\ +\ \frac{1}{\sqrt3})\ \cdot\ 1\ =\ \frac{2}{\sqrt3}\ AK;$

$\sqrt3 + 1 = 2 AK;$

$AK\ =\ \frac{\sqrt3\ +\ 1\ }{2}.$

7. У $ΔAKB: ∠KAB = $

$= 90° – 75° = 15°.$

$KB\ =\ \sqrt{AB^2 - AK^2} =$

$= \sqrt{(2)^2 – (\ \frac{\sqrt3+1}{2})^2}= $

$= \sqrt{2 – \ \frac{3+2\sqrt3+1}{4}} =$

$ = \sqrt{\ \frac{8 – 3 –2\sqrt3–1}{4}} = \sqrt{\ \frac{4 - 2\sqrt3}{4}} = $

$= \sqrt{\ \frac{(\sqrt3)^2 - 2\sqrt3+1^2}{4}}=$

$= \ \frac{\sqrt{(\sqrt3–1)^2}}{2} = \ \frac{\sqrt3–1}{2}.$

8. У $ΔABK: sin\ ∠KAB = \frac{KB}{AB};$

$sin\ 15° = \frac{\sqrt3–1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2(\sqrt3–1)}{2\cdot2}=$

$= \ \frac{\sqrt6–\sqrt2}{4}.$

9. $ sin\ \angle ABK\ =\ sin\ 75° = $

$= \frac{AK}{AB} = \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2} = \ \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$

1. $sin 15° = \frac{\sqrt6\ -\ \sqrt2\ }{4};$

2. $sin 75° = \frac{\sqrt6\ +\ \sqrt2\ }{4}.$