№ 32 ЗПС Геометрія = № 32 ЗПС Математика
Чи існує многокутник, у якого:
1. 20 діагоналей?
2. 21 діагональ?
Розв'язок:
Кількість діагоналей n–кутника дорівнює $\frac{n(n\ -\ 3)}{2},$ де $n$ — натуральне.
1. $\ \frac{n(n\ -\ 3)}{2}\ =\ 20;$
$n^2 − 3n – 40 = 0;$
$n_1 = −5$ — не задовольняє умові;
$n_2 = 8.$
2. $ \frac{n(n\ -\ 3)}{2}\ =\ 21;$
$n^2 − 3n – 42 = 0;$
$D = 9 + 4 ⋅ 42 = 177.$
Рівняння не має натуральних розв’язків.
Відповідь:
1. так, восьмикутник;
2. не існує.