№ 26 ЗПС Геометрія = № 26 ЗПС Математика
Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їхня спільна зовнішня дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл.
Розв'язок:
Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r.
Радіуси O1M і O2N, проведені в точці дотику, перпендикулярні дотичній, а отже, паралельні.
Проведемо відрізок, паралельний MN, з центра меншого кола до радіуса більшого — O2K.
KMNO2 — прямокутник (KM || NO2, MN ⊥ KO2, O2N ⊥ MN).
Тоді O2K = MN.
З ΔO1KO2 O2K2 = MN2 =
= O1O22 – O1K2 =
= (R + r)2 − (R − r)2 =
= R2 + 2Rr + r2 − R2 + 2Rr − r2 =
= 4Rr = 2R ⋅ 2r = Dd.