Завдання № 26

№ 26 ЗПС Геометрія = № 26 ЗПС Математика

Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їхня спільна зовнішня дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл. 

Розв'язок:

Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r. 

Радіуси O₁M і O₂N, проведені в точці дотику, перпендикулярні дотичній, а отже, паралельні.

Проведемо відрізок, паралельний MN, з центра меншого кола до радіуса більшого — O₂K. 

KMNO₂ — прямокутник (KM || NO₂, MN ∥ KO₂, O₂N ⊥ MN).

Тоді O₂K = MN.

З ΔO₁KO₂ O₂K² = MN² =

= O₁O₂² – O₁K² =

= (R + r)² − (R − r)² =

= R² + 2Rr + r² − R² + 2Rr − r² =

= 4Rr = 2R ⋅ 2r = Dd.

Отже, MN = $\sqrt{Dd}$, де D = 2R і d = 2r — діаметри кіл, тобто MN — середнє геометричне діаметрів.