Завдання № 23

№ 23 ЗПС Геометрія = № 23 ЗПС Математика

AD і BC – основи трапеції ABCD. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. AC = 15 см, CE – висота трапеції, AE = 9 см. Знайдіть середню лінію трапеції.  

Розв'язок:

Проведемо через вершину меншої основи трапеції пряму, паралельну діагоналі: CF || BD.

Чотирикутник BCFD — паралелограм, оскільки його протилежні сторони лежать на паралельних прямих (CF || BD за побудовою, BC || AD як основи).

Отже, DF = BC, CF = BD. Оскільки діагоналі трапеції перпендикулярні, то CF ⊥ AC (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій).

Проведемо CE ⊥ AF — висоти трапеції. 

AE = 9 см — проекція катета AC на гіпотенузу.

З △ACE CE² = AC² – AE²;

CE² = 15² – 9² =

= 225 – 81 = 144.

З △ACF CE² = AE ⋅ EF,

тоді EF = CE² : AE = 144 : 9 = 16 (см).

AF = AE + EF = 9 + 16 = 25 (см).

AF = AD + DF — сума основ трапеції (DF = BC).

Середня лінія трикутника ACF дорівнює

$\frac{1}{2}$ AF = $ \frac{1}{2}$ (AD + DF) = 

=$ \frac{1}{2}$ (AD + BC) = $ \frac{1}{2}$ ⋅ 25 = 12,5 (см) — середня лінія трапеції.

Відповідь:

12,5 см.