Завдання № 22

№ 22 ЗПС Геометрія = № 22 ЗПС Математика

У трикутнику ABC кут B – тупий. Позначте на стороні AC таку точку D, щоб виконувалась рівність AB² = AD · AC.  

Розв'язок:

Побудуємо коло, що проходить через точки B і C і при цьому дотикається до прямої AB в точці B. Діаметр перпендикулярний до прямої AB в точці B. Побудуємо перпендикуляр до AB.
Коло проходить через точку C, тоді вписаний кут з вершиною C спирається на діаметр і дорівнює 90°.
Будуємо перпендикуляр до BC в точці C. Два перпендикуляри перетинаються в точці K. BK — діаметр кола. Середина BK — центр кола.
Коло перетинає сторону AC в точці D. Отже, AB — дотична до кола, AC — січна, що перетинає коло в точках D і C. Тоді за теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної:
AB² = AD ⋅ AC.