№ 20 ЗПС Геометрія = № 20 ЗПС Математика
Діагональ трапеції ділить її на два подібних трикутники. Визначте довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють a і b.
Розв'язок:
$∠BCA = ∠CAD$ (внутрішні різносторонні кути при $BC ∥ AD$ і січній $AC$). За умовою $△ABC$ і $△ACD$ подібні, тому два інші кути $△ACD$ дорівнюють $∠BAC$ і $∠ABC$ у якомусь порядку. Якби $∠BAC = ∠ACD,$ то $AB ∥ CD$ і $ABCD$ був би паралелограмом, а не трапецією. Тому $∠BAC = ∠ADC, ∠ABC = ∠ACD,$ тобто $△CBA ∼ △ACD.$
Значить, $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD};$
$AC^2 = BC ⋅ AD;$
$AC = \sqrt{BC\ \cdot\ AD} = \sqrt{ab}.$
Відповідь:
$ \sqrt{ab}.$