Завдання № 17

№ 17 ЗПС Геометрія = № 17 ЗПС Математика

У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH₁, BH₂ і CH₃. H – точка їхнього перетину. Серед семи точок A, B, C, H₁, H₂, H₃ і H укажіть усі такі їхні четвірки, через які можна провести коло.

Розв'язок:

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів (а значить, і двох інших) дорівнює 180°.

Наприклад, у чотирикутнику AH₃HH₂:

∠H₃ + ∠H₂ = 90° + 90° = 180°.

Аналогічно — у чотирикутниках BH₃HH₁ і CH₁HH₂.

∠AH₃C = ∠AH₁C = 90°, тому H₃ і H₁ лежать на колі з діаметром AC (центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи). Аналогічно B, H₃, H₂, C лежать на колі з діаметром BC, а A, H₂, H₁, B — на колі з діаметром AB.

Відповідь:

A, H₃, H, H₂;

H₃, B, H₁, H;

H₁, C, H₂, H;

A, H₃, H₁, C;

B, H₃, H₂, C;

B, H₁, H₂, A.