№ 10 ЗПС Геометрія = № 10 ЗПС Математика
Доведіть, що бісектриса кута паралелограма ділить його кут між висотами, проведеними з вершини цього кута.
Розв'язок:
Нехай $∠A = ∠C = α. $
Тоді $∠B = ∠D = 180° − α.$
$\angle ABL\ =\ \frac{1}{2}\ \angle B\ =$
$= \frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{α}{2}.$
З $△ABK ∠ABK = 90° − α.$
Тоді $∠KBL = ∠ABL - ∠ABK =$
$= 90° - \frac{α}{2} - (90° - α) - $
$- 90° - \frac{α}{2} - 90° + α = \frac{α}{2}.$
$∠KBP = 360° − $
$- (∠BKD + ∠D + ∠BPD) = $
$= 360° − (90° + $
$+ 180° − α + 90°) =$
$= 360° − (360° − α) = α.$
Тоді $∠PBL = α - ∠KBL =$
$= α - \frac{α}{2} = \frac{α}{2}.$
Отже, $∠KBL = ∠PBL = \frac{\alpha}{2}.$