ВПР 1 №83 Геометрія = ВПТ 4 №42 Математика
Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.
Розв'язок:
Проведемо через точку C пряму CF || BD і продовжимо пряму AD до перетину з CF. Чотирикутник BCFD — паралелограм (BC || DF як основи трапеції, BD || CF за побудовою). Значить, CF = BD, DF = BC і AF = AD + BC.
ΔACF — прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, що вона перпендикулярна і другій прямій).
Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні,
а CF = BD, то CF = AC,
тобто ΔACF — рівнобедрений з основою AF.
Значить, його висота CN є медіаною, а оскільки медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині,
то CN = $\frac{1}{2}$ AF = $\frac{AD+BC}{2}$,
тобто висота CN дорівнює середній лінії трапеції.