№ 6.35 Геометрія = № 14.35 Математика
Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і b, а її діагоналі взаємно перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює $\frac{a\ +\ b}{2}.$
Розв'язок:
Проведемо через точку C
пряму CF || BD, і продовжимо пряму AD до перетину з CF.
Чотирикутник BCFD — паралелограм (BC || DF як основи, BD || CF за побудовою).
Значить, CF = BD, DF = BC,
і AF = AD + BC.
ΔACF — прямокутний (оскільки пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій).
Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто ΔACF — рівнобедрений з основою AF.
Значить, його висота CN є медіаною.
А оскільки медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині,
то CN = $\frac{1}{2}$ AF = $\frac{AD\ +\ BC}{2}$ = $\frac{a\ +\ b}{2}.$