№ 64 Геометрія = № 64 Математика
Прямі AB і AC дотикаються до кола із центром O в точках B і C. Знайдіть BC, якщо AB = 4 см, ∠OAC = 30°.
Розв'язок:
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою (згідно властивості відрізків дотичних, проведених з однієї точки):
AB = AC = 4 см;
Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику (згідно властивості дотичної до кола):
АВ⊥ОВ, АС⊥ОС, отже ΔВОA і ΔCОA – прямокутні.
Оскільки AB = AC (катети), АО – спільна сторона (гіпотенуза), то ΔВОA = ΔCОA (згідно ознаки рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою).
У рівних трикутників відповідні елементи рівні,
тому ∠OAB = ∠OAC = 30°.
Розглянемо трикутник ABC. В ньому AD – медіана, бісектриса і висота, отже трикутники CDA та BDA – прямокутні, сторони AB і AC – гіпотенузи.
Катет, прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи (згідно властивості прямокутних трикутників):
BD = AB : 2 = 4 : 2 = 2 см,
CD = AC : 2 = 4 : 2 = 2 см;
Тоді
BC = BD + CD = 2 + 2 = 4 см.
Відповідь:
4 см.