Завдання № 9

ЗНО №9 Геометрія = ЗНО №9 Математика

(2006 р.) У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см². Обчисліть площу прямокутника ABCD.

Розв'язок:

1. $△AOF = △COL$ за стороною і прилеглими до неї кутами: $AO = OC$ (діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл), $∠OAF = ∠OCL$ (внутрішні різносторонні кути при $AB ∥ CD$ і січній $AC$), $∠AOF = ∠COL$ (вертикальні). Тому $OF = OL.$ Так само $△AOE = △COK,$ тому $OE = OK.$ Тоді за двома сторонами і кутом між ними ($∠FOE = ∠LOK$ — вертикальні):
$△OFE = △OLK$
Отже, площа фігури з трьох зафарбованих трикутників дорівнює площі $△DOC.$

2. Діагоналі прямокутника ділять його на 4 трикутники з рівними площами (будь-які два сусідні мають рівні основи — половини діагоналі — і спільну висоту), тому:
$S_{\triangle D O C}=\frac{1}{4}\cdot S_{ABCD}$

3. Отже:
$\frac{1}{4}\cdot S_{ABCD}=12$
$S_{ABCD}=4\cdot12=48$ см²

Відповідь:

Д. 48 см².