(2012 р.) Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону BC в точці M. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо $BC = 24$ см, $AM = 10\sqrt2$ см.
Розв'язок:
1. Оскільки $AM$ — бісектриса кута A прямокутника, а кут $A = 90°,$ то:
$∠BAM = 90° : 2 = 45°.$
2. У трикутнику ABM:
$BM = AM · sin45° = $
$= 10\sqrt2 · \frac{\sqrt2}{2} = 10$ (см);
$AB = AM · cos45° = $
$= 10\sqrt2 · \frac{\sqrt2}{2} = 10$ (см).
3. У трикутнику $ABC (∠ABC = 90°),$ діагональ $AC:$
$AC=\sqrt{{AB}^2+{BC}^2}=$
$= \sqrt{{10}^2+{24}^2}=\sqrt{100+576}=$
$= \sqrt{676}=26$ (см)
4. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі
(оскільки діагональ прямокутника є діаметром описаного кола):
$R=\frac{AC}{2}=\frac{26}{2}=13$ (см)
Відповідь:
13 см.