(2013 р.) Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м та утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника сполучено послідовно. Знайдіть значення виразу $\frac{S}{\sqrt3},$ де $S$ – площа (у м2) утвореного чотирикутника.
Розв'язок:
1. Розглянемо трикутник $ABD$
У прямокутному трикутнику $ABD: AB = 16$ м,
$∠ABD = 60°, AD$ — протилежний катет. Тоді:
$tg{60}^\circ=\frac{AD}{AB}$
$AD=AB\cdot tg{60}^\circ=$
$= 16\cdot\sqrt3=16\sqrt3$
2. Чотирикутник $KLMN$
$K, L, M, N$ — середини сторін ⇒ $KLMN$ — ромб.
Його діагоналі:
$KM=AD=16\sqrt3$
$LN\ =\ AB\ =\ 16$
3. Площа ромба
$S=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot LN=$
$= \frac{1}{2}\cdot16\sqrt3\cdot16=128\sqrt3$
4. Обчислюємо вираз
$\frac{S}{\sqrt3}=\frac{128\sqrt3}{\sqrt3}=128$
Відповідь:
128.