№ 53 ЗПС Алгебра = № 53 ЗПС Математика
З міста M у місто N зі швидкістю 12 км/год виїхав велосипедист. Через 1 год у тому самому напрямку зі швидкістю 15 км/год виїхала велосипедистка. Ще через 1 год з міста M у тому самому напрямку виїхав ще й мотоцикліст, який обігнав одного з велосипедистів через 10 хв після того, як обігнав іншого. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо вона більша за 50 км/год.
Розв'язок:
1. Нехай мотоцикліст обігнав в пункті A першим першого велосипедиста, а пункті B обігнав другого велосипедиста. D – пункт, до якого доїхав перший велосипедист, в момент часу, коли мотоцикліст наздогнав другого велосипедиста.
$MD=12x;$
$AD=12\cdot\frac{1}{6}=2$ (км);
$MB=15(x-1);$
$AB=AD+BD=$
$= AD+(MB-MD)=$
$= 2+(15(x-1)-12x)=$
$= 2+15x-15-12x=$
$= 3x-13.$
Маємо рівняння:
$\frac{MB}{x-2}=6AB;$
$\frac{15(x-1)}{x-2}=6(3x-13);$
$6x^2-12x-26x+52-$
$- 5x+5=0;$
$6x^2-43x+57=0;$
$D=(-43)^2-4·6·57=$
$= 1849-1368=481;$
$x_1=\frac{43+\sqrt{481}}{40}\approx5{,}4;$
$x_2=\frac{43-\sqrt{481}}{40}=1{,}8.$
$v=6AB=6(3x-13)=$
$= 6(3·5{,}4-13)=$
$= 19{,}2<50-$ умові задачі не задовольняє;
2. Нехай мотоцикліст в пункті A першим обігнав другого велосипедиста,
а пункті B обігнав першого велосипедиста.
D - пункт, до якого доїхав другий велосипедист,
\mathrm{в момент часу, коли мотоцикліст наздогнав першого велосипедиста.
$MB=12x;$
$MD=15\left(x-1\right);$
$AD=15\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{2}; $
$AB=AD+BD=$
$= AD+\left(MB-MD\right)=$
$= \frac{5}{2}+\left(12x-15\left(x-1\right)\right)=$
$= \frac{5}{2}+12x-15x+15=$
$= \frac{35-6x}{2}.$
Маємо рівняння:
$\frac{MB}{x-2}=6AB;$
$\frac{12x}{x-2}=6\cdot\frac{35-6x}{2};$
$\left\{\begin{matrix}3\left(35-6x\right)\left(x-2\right)=12x;\\x\neq2;\\\end{matrix}\right.$
$\left(35-6x\right)\left(x-2\right)=4x;$
$35x-70x-6x^2+$
$+12x-4x=0;$
$6^2-43x+70=0;$
$D=(-43)^2-4·5·70=$
$= 1849-1680=169;$
$x_1=\frac{43+13}{2}=\frac{56}{12}=\frac{14}{3};$
$x_2=\frac{43-13}{2}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2};$
$\frac{MB}{x-2}=\frac{12x}{x-2}= \frac{12\cdot\frac{14}{3}}{\frac{14}{3}-2}=\frac{56\cdot3}{8}=$
$= 7\cdot3=21$(км/год) $< 50–$ умові задачі не задовольняє або
$\frac{MB}{x-2}=\frac{12x}{x-2}= \frac{12\cdot\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}-2}=\frac{30\cdot2}{5-4}=$
$= \frac{60}{1}=60>50.$