№ 44 ЗПС Алгебра = № 44 ЗПС Математика
Розв’яжіть відносно x рівняння:
1. $\frac{x^2+1}{a^2x-2a}-\frac{1}{2-ax}=\frac{x}{a};$
2. $\frac{x+2}{3x-a}+\frac{3-x}{3x^2+2xa-a^2}=\frac{3x+2}{x+a},$ де $a\neq0.$
Розв'язок:
$\mathbf{1}.\ \ \frac{x^2+1}{a^2x-2a}-\frac{1}{2-ax}=\frac{x}{a};$
$\frac{x^2+1}{a(ax-2)}+\frac{1}{ax-2}-\frac{x}{a}=0;$
$\frac{x^2+1+a-x(ax-2)}{a(ax-2)}=0;$
$\frac{x^2+1+a-ax^2+2x}{a(ax-2)}=0;$
$\frac{x^2(1-a)+2x+(1+a)}{a(ax-2)}=0.$
Рівняння рівносильне системі
$\left\{\begin{matrix}x^2(1-a)+2x+(1+a)=0,\\a\neq0,\\a\neq\frac{2}{a}.\\\end{matrix}\right.$
а) $a=1$. Маємо $\left\{\begin{matrix}2x+2=0,\\x\neq2;\\\end{matrix}\right. x=-1.$
б) $a\neq1, a\neq0$. Тоді
$D=4-4(1-a)(1+a)=$
$=4-4(1-a^2)=4a^2;$
$x_1=\frac{-2+2a}{2\left(1-a\right)}=\frac{-2\left(1-a\right)}{2\left(1-a\right)}=-1;$
$x_2=\frac{-2-2a}{2(1-a)}=\frac{-2(1+a)}{2(1-a)}=\frac{a+1}{a-1}.$
Необхідна перевірка умови $x\neq\frac{2}{a}$.
Якщо $a=-2$, то $x_1=-1$ — не є коренем рівняння; $x_2=\frac{-2+1}{-2-1}=\frac{1}{3}$.
$\frac{a+1}{a-1}=\frac{2}{a};$
$a^2+a=2a-2;$
$a^2-a+2=0;$ немає розв'язків.
Відповідь:
Якщо $a=1$, то $x=-1$; якщо $a=-2$, то $x=\frac{1}{3}$; якщо $a\neq1$, $a\neq-2$, $a\neq0$, то $x_1=-1$; $x_2=\frac{a+1}{a-1}.$
$\mathbf{2}.\ \ \frac{x+2}{3x-a}+\frac{3-x}{3x^2+2ax-a^2}=\frac{3x+2}{x+a}.$
$3x^2+2ax-a^2=$
$=3x^2+3ax-ax-a^2=$
$=3x(x+a)-a(x+a)=$
$=(3x-a)(x+a).$
$\frac{x+2}{3x-a}+\frac{3-x}{(3x-a)(x+a)}-\frac{3x+2}{x+a}=0.$
Рівняння рівносильне системі
$\left\{\begin{matrix}(x+2)(x+a)+3-x-(3x+2)(3x-a)=0,\\x\neq-a,\\x\neq\frac{a}{3}.\\\end{matrix}\right.$
$x^2+2x+ax+2a+3-x-$
$-9x^2+3ax-6x+2a=0;$
$-8x^2+(4a-5)x+(4a+3)=0;$
$8x^2-(4a-5)x-(4a+3)=0;$
$D=(4a-5)^2-4\cdot8\cdot(-(4a+3))=$
$=16a^2-40a+25+128a+96=$
$=16a^2+88a+121=(4a+11)^2;$
$x_1=\frac{4a-5+(4a+11)}{16}=\frac{8a+6}{16}=$
$=\frac{2(4a+3)}{16}=\frac{4a+3}{8};$
$x_2=\frac{4a-5-(4a+11)}{16}=-1.$
Необхідно перевірити виконання умов $x\neq-a$; $x\neq\frac{a}{3}$.
а) $\frac{4a+3}{8}=-a;$ $4a+3=-8a;$ $12a=-3;$ $a=-\frac{1}{4}.$ Тоді $x=-1$ — єдиний корінь.
б) $\frac{4a+3}{8}=\frac{a}{3};$ $12a+9=8a;$ $4a=-9;$ $a=-\frac{9}{4}.$ Тоді $x=-1$ — єдиний корінь.
в) $-1=-a; a=1.$ Тоді $x=\frac{4a+3}{8}=\frac{7}{8}$ — єдиний корінь.
г) $-1=\frac{a}{3}; a=-3.$ Тоді $x=\frac{4a+3}{8}=\frac{-12+3}{8}=-\frac{9}{8}$ — єдиний корінь.
Відповідь:
Якщо $a=-\frac{1}{4}$ або $a=-\frac{9}{4}$, то $x=-1$; якщо $a=1$, то $x=\frac{7}{8}$; якщо $a=-3$, то $x=-\frac{9}{8}$; якщо $a\neq-3$, $a\neq-\frac{9}{4}$, $a\neq-\frac{1}{4}$, $a\neq1$, то $x_1=\frac{4a+3}{8}$; $x_2=-1$.