№ 39 ЗПС Алгебра = № 39 ЗПС Математика
Розв'яжіть відносно x рівняння:
1. $\left(a^2+a-2\right)x=a-1;$
2. $\frac{x^2-5x+4}{x-a}=0;$
3. $\frac{x-a}{x^2-4x+3}=0;$
4. $\frac{x^2-(3a+4)x+12a}{x-3}=0;$
5. $\frac{a(x-a)}{x+7}=0;$
6. $\frac{a^2-1}{ax-1}=\frac{x}{a},$ де $a\neq0.$
Розв'язок:
1) $(a^2+a-2)x=a-1.$
а) $a^2+a-2=0$; $a_1=1$; $a_2=-2$.
Якщо $a=1$, то маємо $0x=0$; $x$ — будь-яке число.
Якщо $a=-2$, то маємо $0x=-3$; немає розв'язків.
б) $a^2+a-2\neq 0$; $a\neq 1$; $a\neq -2$.
$x=\dfrac{a-1}{a^2+a-2}$; $x=\dfrac{a-1}{(a-1)(a+2)}$; $x=\dfrac{1}{a+2}$.
2) $\dfrac{x^2-5x+4}{x-a}=0.$
$\begin{cases} x^2-5x+4=0, \\ x\neq a. \end{cases}$
Розв'язками першого рівняння є $x=1$; $x=4$.
а) Якщо $a=1$, то $x=4$.
б) Якщо $a=4$, то $x=1$.
в) Якщо $a\neq 1$, $a\neq 4$, то $x_1=1$; $x_2=4$.
Відповідь:
Якщо $a=1$, то $x=4$; якщо $a=4$, то $x=1$; якщо $a\neq 1$, $a\neq 4$, то $x_1=1$, $x_2=4$.
3) $\dfrac{x-a}{x^2-4x+3}=0.$
$\begin{cases} x-a=0, \\ x^2-4x+3\neq 0; \end{cases} \begin{cases} x=a, \\ x\neq 1, \\ x\neq 3. \end{cases}$
Якщо $a=1$ або $a=3$, рівняння не має розв'язків; якщо $a\neq 1$, $a\neq 3$, то $x=a$.
Відповідь:
Якщо $a=1$ або $a=3$, рівняння немає розв'язків; якщо $a\neq 1$, $a\neq 3$, то $x=a$.
4) $\dfrac{x^2-(3a+4)x+12a}{x-3}=0.$
$\begin{cases} x^2-(3a+4)x+12a=0, \\ x\neq 3. \end{cases}$
$D=(3a+4)^2-4\cdot12a=$
$=9a^2+24a+16-48a=$
$=9a^2-24a+16=(3a-4)^2$;
$x_1=\dfrac{3a+4+3a-4}{2}=3a$;
$x_2=\dfrac{3a+4-(3a-4)}{2}=4.$
Якщо $3a=3$, тобто $a=1$, то $x=4$; якщо $a\neq 1$, то $x_1=3a$; $x_2=4$.
Відповідь:
Якщо $a=1$, то $x=4$; якщо $a\neq 1$, то $x_1=3a$; $x_2=4$.
5) $\dfrac{a(x-a)}{x+7}=0.$
Якщо $a=0$, то маємо $\dfrac{0x}{x+7}=0$; $x$ — будь-яке число, крім $-7$.
Якщо $a\neq 0$, то $x=a$, проте якщо $a=-7$, то рівняння немає розв'язків.
Відповідь:
Якщо $a=0$, то $x$ — будь-яке число, крім $-7$; якщо $a=-7$, то рівняння немає розв'язків; якщо $a\neq 0$, $a\neq -7$, то $x=a$.
6) $\dfrac{a^2-1}{ax-1}=\dfrac{x}{a}$; $\quad\dfrac{a^2-1}{ax-1}-\dfrac{x}{a}=0$; $\quad\dfrac{a^3-a-ax^2+x}{a(ax-1)}=0.$
Рівняння рівносильне системі $\begin{cases} ax^2-x-(a^3-a)=0, \\ a\neq 0, \\ x\neq\dfrac{1}{a}. \end{cases}$
Перше рівняння для всіх значень $a$ є квадратним.
$D=1+4a(a^3-a)=$
$=4a^4-4a^2+1=$
$=(2a^2-1)^2$,
$x_1=\dfrac{1+(2a^2-1)}{2a}=a$; $\quad x_2=\dfrac{1-(2a^2-1)}{2a}=\dfrac{2(1-a^2)}{2a}=\dfrac{1-a^2}{a}.$
Проте повинна виконуватися умова $x\neq\dfrac{1}{a}$.
а) $x_1=\dfrac{1}{a}$, тобто $a=\dfrac{1}{a}$. Це виконується, якщо $a=\pm1$, тоді маємо лише $x=\dfrac{1-a^2}{a}$; $x=0$.
б) $x_2=\dfrac{1}{a}$; $\dfrac{1-a^2}{a}=\dfrac{1}{a}$. Це рівняння коренів немає.
Відповідь:
Якщо $a=1$ або $a=-1$, то $x=\dfrac{1-a^2}{a}$; якщо $a\neq 1$, $a\neq -1$, $a\neq 0$, то $x_1=a$ або $x_2=\dfrac{1-a^2}{a}$.