№ 38 ЗПС Алгебра = № 38 ЗПС Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $x^3-7x+6=0;$
2. $x^3-6x^2+5=0;$
3. $x^3-5x^2+6=0;$
4. $x^4-2x^3-3x^2-4x-1=0.$
Розв'язок:
1. $x^3-7x+6=0;$
$x^3-7x+7-1=0;$
$ \left(x^3-1\right)-(7x-7)=0;$
$(x-1)\left(x^2+x+1\right)-$
$- 7(x-1)=0;$
$(x-1)\left(x^2+x+1-7\right)=0;$
$(x-1)\left(x^2+x-6\right)=0;$
$x-1=0$ або
$x^2+x-6=0;x=1$ або
$x=-3,$ або $x=2.$
2. $x^3-6x^2+5=0;$
$x^3-6x^2+5=0;$
$x^3-6x^2+6-1=0;$
$\left(x^3-1\right)- 6\left(x^2-1\right)=0;$
$(x-1)\cdot(x^2+x+1)-$
$- 6(x-1)(x+1)=0;$
$(x-1)\cdot$
$\cdot\left(x^2+x+1-6x-6\right)=0;$
$(x-1)\left(x^2-5x-5\right)=0;$
$x-1=0,x=1$ або
$x^2-5x-5=0;$
$D=25-4·1·(-5)=$
$=25+20=45; $
$x_1=\frac{5+\sqrt{45}}{2}=\frac{5+3\sqrt5}{2};$
$x_2=\frac{5-\sqrt{45}}{2}=\frac{5-3\sqrt5}{2}.$
3.$ x^3-5x^2+6=0;$
$x^3-5x^2+5+1=0;$
$\left(x^3+1\right)-5\left(x^2-1\right)=0;$
$(x+1)\left(x^2-x+1\right)-$
$-5(x-1)(x+1)=0;$
$(x+1)\cdot$
$\cdot(x^2-x+1-5x+5)=0;$
$(x+1)\left(x^2-6x+6\right)=0;$
$x+1=0,x=-1$ aбo
$x^2-6x+6=0;$
$D=(-6)^2-4·1·6=$
$=36-24=12;$
$x_1=\frac{6+\sqrt{12}}{2}=\frac{6+2\sqrt3}{2}=$
$\frac{2(3+\sqrt3)}{2}=3+\sqrt3;$
$x_2=\frac{6-\sqrt{12}}{2}=\frac{6-2\sqrt3}{2}=$
$\frac{2(3-\sqrt3)}{2}=3-\sqrt3.$
4. $x^4-2x^3-3x^2-4x-1=0;$
$x^4-2x^3+x^2-4x^2-$
$- 4x-1=0;$
$\left(x^4-2x^3+x^2\right)-$
$-\left(4x^2+4x+1\right)=0;$
$x^2\left(x^2-2x+1\right)-$
$- (2x+1)^2=0;$
$x^2(x-1)^2-(2x+1)^2=0;$
$(x(x-1))^2-(2x+1)^2=0;$
$\left(x^2-x-2x-1\right)\cdot$
$\cdot\left(x^2-x+2x+1\right)=0;$
$\left(x^2-3x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=$
$= 0;$
$x^2-3x-1=0;$
$D=(-3)^2-4·(-1)=$
$=9+4=13;$
$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2};$
або $x^2+x+1=0;$
$D=1-4·1·1=-3<0;$
коренів немає.
Відповідь:
1. $-3;1;2;$
2. $1,\frac{5\pm3\sqrt5}{2};$
3. $-1;3\pm\sqrt3;$
4. $\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.$