№ 11 ЗПС Алгебра = № 11 ЗПС Математика
Розв’яжіть відносно змінної x рівняння:
1. $\frac{x}{a}-\frac{a}{2x}=\frac{2x+a}{2a}-\frac{a}{x};$
2. $\frac{1+x}{1-x}=\frac{a}{b};$
3. $\frac{x-a}{a}-\frac{x}{x-a}=\frac{x+a}{a};$
4. $\frac{3}{x-a}+\frac{2}{x+a}=\frac{4x+7a}{x^2-a^2}.$
Розв'язок:
1. $\frac{x}{a}-\frac{a}{2x}=\frac{2x+a}{2a}-\frac{a}{x};$
$\frac{2x^2-a^2}{2ax}-\frac{x\left(2x+a\right)-2a^2}{2ax}=0;$
$\frac{2x^2-a^2-2x^2-ax+2a^2}{2ax}=0;$
$ \frac{a^2-ax}{2ax}=0;$
$\left\{\begin{matrix}a^2-ax=0,\\2ax\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}a\left(a-x\right)=0,\\a\neq0,x\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$a=0$ або
$a-x=0,a≠0,x≠0;$
$a=0$ або
$x=a,a≠0,x≠0.$
2. $\frac{1+x}{1-x}=\frac{a}{b};$
$\left\{\begin{matrix}a\left(1-x\right)=b\left(1+x\right),\\x\neq1,\\b\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$a-ax=b+bx;$
$bx+ax=a-b;$
$x\left(a+b\right)=a-b;$
$x=\frac{a-b}{a+b},$
$a+b\neq0,a\neq-b.$
Якщо $a=-b,$ то
$\frac{1+x}{1-x}=\frac{-b}{b};$
$\frac{1+x}{1-x}=-1;$
$-(1-x)=1+x;$
$x-1=1+x;0x=2$
(рівняння розв'язку не має).
3. $\frac{x-a}{a}-\frac{x}{x-a}=\frac{x+a}{a};$
$\frac{x-a}{a}-\frac{x}{x-a}-\frac{x+a}{a}=0;$
$\frac{(x-a)^2-xa-(x-a)(x+a)}{a(x-a)}=0;$
$\frac{x^2-2xa+a^2-ax-x^2+a^2}{a(x-a)}=0;$
$\left\{\begin{matrix}2a^2-3ax=0,\\a(x-a)\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}3xa=2a^2,\\a\neq0,x\neq a;\\\end{matrix}\right.$
$x=\frac{2a^2}{3a}=\frac{2a}{3},$ якщо $a\neq0.$
4. $\frac{3}{x-a}+\frac{2}{x+a}=\frac{4x+7a}{x^2-a^2};$
$\frac{3}{x-a}+\frac{2}{x+a}-\frac{4x+7a}{(x-a)(x+a)}=0;$
$\frac{3(x+a)+2(x-a)-(4x+7a)}{(x-a)(x+a)}=0;$
$\frac{3x+3a+2x-2a-4x-7a}{(x-a)(x+a)}=0;$
$\frac{x-6a}{(x-a)(x+a)}=0;$
$\left\{\begin{matrix}x-6a=0\\(x-a)(x+a)\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$x=6a,x≠a,x≠-a;$
$6a=a$ або
$6a=-a,$ якщо $a=0.$
Отже, $x=6a,$ якщо $a\neq0;$
якщо $a=0,$ то
$\frac{3}{x}+\frac{2}{x}\neq\frac{4}{x}.$
Відповідь:
1. якщо $a\neq0,$ то $x=a;$ якщо $a=0,$ то рівняння розв'язків не має.
2. якщо $b\neq0$ і $a=-b,$ то рівняння не має розв'язків; якщо $b\neq0$ і $a\neq-b,$ то $x=\frac{a-b}{a+b}.$
3. якщо $a\neq0,$ то $x=\frac{2a}{3};$ якщо $a=0,$ то рівняння розв'язків не має.
4.якщо $a=0,$ то рівняння розв'язків не має; якщо $a\neq0,$ то $x=6a.$