№ 10 ЗПС Алгебра = № 10 ЗПС Математика
Розв’яжіть відносно змінної x рівняння:
1. $\frac{x-2}{x-a}=0;$
2. $\frac{x-a}{x^2-1}=0;$
3. $(a-2)x=a^2-4;$
4. $\left(a^2-1\right)x=a^2-2a+1.$
Розв'язок:
1. $\frac{x-2}{x-a}=0;$
$\left\{\begin{matrix}x-2=0,\\x-a\neq0;\\\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x=2,\\x\neq a.\\\end{matrix}\right.\right.$
Якщо $a=2,$ то $\frac{x-2}{x-a}=1\neq0.$
2. $ \frac{x-a}{x^2-1}=0;$
$ \left\{\begin{matrix}x-a=0,\\x^2-1\neq0;\\\end{matrix}\ \left\{\begin{matrix}x=a,\\x\neq\pm1.\\\end{matrix}\right.\right.$
Якщо $a=1,$ то $\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}\neq0;$
якщо $a=-1,\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}\neq0.$
3. $(a-2)x=a^2-4;$
$x=\frac{a^2-4}{a-2}=\frac{(a-2)(a+2)}{a-2}=$
$= a+2,$
якщо $a\neq2.$
Якщо $a=2,$ то $0x=0,$
$x$ – будь–яке.
4. $\left(a^2-1\right)x=a^2-2a+1;$
$x=\frac{a^2-2a+1}{a^2-1}=$
$=\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{a-1}{a+1},$
якщо $a\neq1$ і $a\neq-1.$
Якщо $a=1,$ то $0x=0,$
$x$ – будь–яке;
якщо $a=-1,$ то $0x=4,$ рівняння розв'язків не має.
Відповідь:
1. якщо $a=2,$ то рівняння розв'язків не має; якщо $a\neq2,$ то $x=2;$
2. якщо $a=1$ або $a=-1,$ то рівняння не має розв'язків; якщо $a\neq1$ і $a\neq-1,$ то $x=a.$
3. якщо $a=2,$ то $x$ – будь–яке число; якщо $a\neq2,$ то $x=a+2.$
4. якщо $a=1,$ то $x$ – будь–яке число; якщо $a=-1,$ то рівняння розв'язків не має; якщо $a\neq-1$ і $a\neq1,$ то $x=\frac{a-1}{a+1}.$