№ 9 ЗПС Алгебра = № 9 ЗПС Математика
Доведіть, що коли x + y = 1, то
Доведіть, що коли $a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a},$
то $a^2b^2c^2 = 1$ або $a = b = c.$
Розв'язок:
Оскільки $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a},$
то $a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc};$
$b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{c-a}{ac};$
$c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}.$
Перемножимо отримані рівності, маємо
$(a-b)(b-c)(c-a)=$
$= \frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{a^2b^2c^2};$
$a^2b^2c^2=\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1.$Якщо $(a-b)(b-c)(c-a)=0,$ то
$\left[\begin{matrix}a-b=0,\\b-c=0,\\c-a=0;\\\end{matrix}\left[\begin{matrix}a=b,\\b=c,\\c=a;\\\end{matrix}\right.\right.$$a=b=c.$
Отже, $a^2b^2c^2=1$ або $a=b=c,$ що й треба було довести.