№ 22.18 Алгебра = № 42.18 Математика
Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:
1. $-\frac{1}{3}$ і $5;$
2. $ -\frac{1}{4}$ і $-\frac{5}{6};$
3. $\sqrt5$ і $-\sqrt5;$
4. $2-\sqrt3$ і $2+\sqrt3.$
Розв'язок:
1. $x_1=-\frac{1}{3};x_2=5,$ то
$x_1+x_2=-\frac{1}{3}+5=4\frac{2}{3};$
$x_1x_2=-\frac{1}{3}\cdot5=-\frac{5}{3}.$
Маємо квадратне рівняння:
$x^2-4\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=0;$
$\left.\ x^2-\frac{14}{3}x-\frac{5}{3}=0\right|\ \cdot3;$
$3x^2-14x-5=0.$
2. $x_1=-\frac{1}{4};x_2=-\frac{5}{6},$ то
$x_1+x_2=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{6}\right)=$
$= \frac{-3-10}{12}=-\frac{13}{12};$
$x_1x_2=-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{24}.$
Маємо квадратне рівняння:
$\left.x^2+\frac{13}{12}x+\frac{5}{24}=0\right|\ \cdot24,$
то $24x^2+26x+5=0.$
3. $x_1=\sqrt5;\ x_2=-\sqrt5,$ то
$x_1+x_2=\sqrt5+(-\sqrt5)=0;$
$x_1x_2=\sqrt5\cdot(-\sqrt5)=-5.$
Маємо квадратне рівняння:
$x^2+0x-5=0;x^2-5=0.$
4. $x_1=2-\sqrt3;\ x_2=2+\sqrt3,$ то
$x_1+x_2=2-\sqrt3+2+\sqrt3=$
$= 4;$
$x_1x_2=(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=$
$= 2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1. $
Маємо квадратне рівняння:
$x^2-4x+1=0.$
Відповідь:
1. $3x^2-14x-5=0; $
2. $24x^2+26x+5=0;$
3. $x^2-5=0;$
4. $x^2-4x+1=0.$