№ 22.19 Алгебра = № 42.19 Математика
Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:
1. $-2$ і $\frac{1}{3};$
2. $\frac{1}{8}$ і $\frac{1}{2};$
3. $-\sqrt7$ і $\sqrt7;$
4. $3+\sqrt7$ і $3-\sqrt7.$
Розв'язок:
1. $x_1=-2;x_2=\frac{1}{3},$ то
$x_1+x_2=-2+\frac{1}{3}=-1\frac{1}{3}=$
$= -\frac{5}{3};$
$x_1x_2=\left(-2\right)\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}.$
Маємо квадратне рівняння:
$\left.x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0\right|\cdot\ 3;$
$3x^2+5x-2=0.$
2. $x_1=\frac{1}{8};x_2=\frac{1}{2},$ то
$x_1+x_2=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1+4}{8}=\frac{5}{8};$
$x_1x_2=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}.$
Маємо квадратне рівняння:
$\left.x^2-\frac{5}{8}x+\frac{1}{16}=0\right|\cdot\ 16;$
$16x^2-10x+1=0.$
3. $x_1=-\sqrt7;\ x_2=\sqrt7,$ то
$x_1+x_2=-\sqrt7+\sqrt7=0;$
$ x_1x_2=(-\sqrt7)\cdot(\sqrt7)=-7.$
Маємо квадратне рівняння:
$x^2+0x-7=0;x^2-7=0.$
4. $x_1=3+\sqrt7;$
$x_2=3-\sqrt7,$ то
$x_1+x_2=3+\sqrt7+3-\sqrt7=$
$= 6;$
$x_1x_2=(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)=$
$= 9-7=2.$
Маємо квадратне рівняння:
$x^2-6x+2=0.$
Відповідь:
1. $3x^2+5x-2=0;$
2. $16x^2-10x+1=0;$
3. $x^2-7=0;$
4. $x^2-6x+2=0.$