ВПР 1 №60 Алгебра = ВПТ 3 №23 Математика
Доведіть тотожність:
1. $\left(\frac{a}{a-3}+\frac{10}{a-3}+\frac{25}{a^2-3a}\right):$
$: \left(\frac{5}{a^2}+\frac{2}{a}+\frac{1}{5}\right)=\frac{5a}{a-3};$
2. $\left(\frac{a-1}{a^2-a+1}-\frac{4a-5}{a^3+1}\right):$
$: \frac{2-a}{4a^2-4a+4}=\frac{4\left(2-a\right)}{a+1}.$
Розв'язок:
1. а) $\frac{a}{a-3}+\frac{10}{a-3}+\frac{25}{a^2-3a}=$
$= \frac{a}{a-3}+\frac{10}{a-3}+\frac{25}{a\left(a-3\right)}=$
$= \frac{a^2+10a+25}{a\left(a-3\right)}=\frac{\left(a+5\right)^2}{a\left(a-3\right)};$
б) $\frac{5}{a^2}+\frac{2}{a}+\frac{1}{5}=\frac{a^2+10a+25}{5a^2}=$
$= \frac{\left(a+5\right)^2}{5a^2};$
в) $\frac{\left(a+5\right)^2}{a\left(a-3\right)}:\frac{\left(a+5\right)^2}{5a^2}=$
$= \frac{5a^2\cdot\left(a+5\right)^2}{a\left(a-3\right)\cdot\left(a+5\right)^2}=\frac{5a}{a-3};$
2. а) $\frac{a-1}{a^2-a+1}-\frac{4a-5}{a^3+1}=$
$= \frac{a-1}{a^2-a+1}-\frac{4a-5}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}=$
$= \frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)-\left(4a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}=$
$= \frac{a^2-1-4a+5}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}=$
$= \frac{a^2-4a+4}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}=$
$= \frac{\left(a-2\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)};$
б) $\frac{\left(a-2\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}:\frac{2-a}{4a^2-4a+4}=$
$= \frac{\left(a-2\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\cdot\frac{4\left(a^2-a+1\right)}{2-a}=$
$= \frac{\left(2-a\right)^2\cdot4\left(a^2-a+1\right)}{\left(2-a\right)\cdot\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}=\frac{4\left(2-a\right)}{a+1}.$