ВПР 1 №59 Алгебра = ВПТ 3 №22 Математика
Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу від значення змінної не залежить:
1. $\frac{2x}{x+3}+\left(x-3\right)^2\cdot$
$\cdot\left(\frac{2}{x^2-6x+9}+\frac{1}{9-x^2}\right);$
2. $\left(\frac{3}{4m^2-9}-\frac{2m}{4m^2-12m+9}\right)\cdot$
$\cdot\frac{8m^3-18m}{4m^2+9}+\frac{3}{2m-3}.$
Розв'язок:
1. $\frac{2x}{x+3}+\left(x-3\right)^2\cdot$
$\cdot\left(\frac{2}{x^2-6x+9}+\frac{1}{9-x^2}\right)=3;$
а) $\frac{2}{x^2-6x+9}+\frac{1}{9-x^2}=$
$= \frac{2}{\left(x-3\right)^2}-\frac{1}{x^2-9}=$
$= \frac{2}{\left(x-3\right)^2}-\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=$
$= \frac{2\left(x+3\right)-\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)}=$
$= \frac{2x+6-x+3}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)}= \frac{x+9}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)};$
б) $\left(x-3\right)^2\cdot\frac{x+9}{\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)}=$
$= \frac{\left(x+9\right)\left(x-3\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}=\frac{x+9}{x+3};$
в) $\frac{2x}{x+3}+\frac{x+9}{x+3}=\frac{2x+x+9}{x+3}=$
$= \frac{3x+9}{x+3}=\frac{3\left(x+3\right)}{x+3}=3;$
2. $\left(\frac{3}{4m^2-9}-\frac{2m}{4m^2-12m+9}\right)\cdot$
$\cdot\frac{8m^3-18m}{4m^2+9}+\frac{3}{2m-3}=-1.$
а) $\frac{3}{4m^2-9}-\frac{2m}{4m^2-12m+9}=$
$= \frac{3}{\left(2m-3\right)\left(2m+3\right)}-\frac{2m}{\left(2m-3\right)^2}=$
$= \frac{3\left(2m-3\right)-2m\left(2m+3\right)}{\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)}=$
$= \frac{6m-9-4m^2-6m}{\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)}=$
$= -\frac{4m^2+9}{\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)};$
б) $-\frac{4m^2+9}{\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)}\cdot\frac{8m^3-18m}{4m^2+9}=$
$= -\frac{\left(4m^2+9\right)\cdot2m\left(4m^2-9\right)}{\left(4m^2+9\right)\cdot\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)}=$
$= -\frac{2m\cdot\left(2m-3\right)\left(2m+3\right)}{\left(2m-3\right)^2\left(2m+3\right)}=$
$= -\frac{2m}{2m-3};$
в) $-\frac{2m}{2m-3}+\frac{3}{2m-3}=\frac{3-2m}{2m-3}=$
$= -\frac{2m-3}{2m-3}=-1.$