Ти навчишся спрощувати довгі вирази з дробами, у яких є кілька дій і дужки. Розберемо, з якої дії починати і як доводити тотожність. А ще покажемо, що робити з дробом, у якому є інші дроби.
Уже розв’язав вправи й шукаєш, де розійшлася відповідь? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Коротко про зміст
Нових правил у § 7 немає. Ти вже вмієш додавати, віднімати, множити й ділити дроби. Тепер ці дії трапляються в одному виразі, і їх треба виконати в правильному порядку.
Порядок дій той самий, що й з числами. Спершу виконують дії в дужках. Потім підносять до степеня, далі множать і ділять, а наприкінці додають і віднімають.
Наприклад, 12 − 6 · 2 = 0, бо множення виконують раніше. Якби спершу відняли, вийшло б (12 − 6) · 2 = 12, а це вже інша відповідь.
Кожна дія з дробами дає дріб. Тому будь-який вираз, у якому є сума, різниця, добуток і частка раціональних дробів, можна записати одним раціональним дробом. Такі перетворення називають тотожними: новий вираз дорівнює початковому за всіх допустимих значень змінних.
Як спростити вираз з кількома діями
- Познач порядок дій: спершу дужки, потім піднесення до степеня, далі множення й ділення, а додавання й віднімання виконуй наприкінці. Без цього легко виконати дії не в тому порядку.
- Виконай кожну дію за правилом додавання, віднімання, множення чи ділення дробів. Многочлени в чисельниках і знаменниках розкладай на множники, бо скорочувати можна лише множники. Десятковий коефіцієнт спершу винеси за дужки, бо многочлен із цілими коефіцієнтами легше розкласти:
$0{,}5a^3+4=0{,}5(a^3+8)$. - Скорочуй одразу, коли бачиш спільний множник. Після скорочення наступна дія буде з коротшими виразами.
- Відповідь запиши нескоротним дробом або цілим виразом. Якщо треба знайти значення виразу, підставляй числа лише в спрощений вираз: так рахувати набагато менше.
Кілька дій без дужок
Приклад 1. Виконай дії без дужок у правильному порядку
Спростимо вираз $\frac{m}{m-2}-\frac{m^2+2m}{m^2-4}\cdot\frac{m-2}{m}$.
Розв’язання. Дужок немає, тому спершу виконаємо множення, а потім віднімання.
| 1) | $\dfrac{m^2+2m}{m^2-4}\cdot\dfrac{m-2}{m}$ |
| $=\dfrac{m(m+2)(m-2)}{(m-2)(m+2)\cdot m}=1$; | |
| 2) | $\dfrac{m}{m-2}-\hphantom{{}^{m-2/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{m-2/}}}1}{1}=\dfrac{m-(m-2)}{m-2}$ |
| $=\dfrac{m-m+2}{m-2}=\dfrac{2}{m-2}$. |
- 1)У першій дії розкладаємо чисельник і знаменник першого дробу:
$m^2+2m=m(m+2)$ і $m^2-4=(m-2)(m+2)$. - 2)У чисельнику і знаменнику стоять ті самі множники: $m$, $m+2$ і $m-2$. Після скорочення лишається 1.
- 3)У другій дії від дробу віднімаємо 1. Число 1 записуємо дробом зі знаменником 1, і його додатковий множник дорівнює $m-2$. Різницю $m-(m-2)$ беремо в дужки, щоб не загубити знак.
Якщо замість множення стоїть ділення, порядок той самий: ділення теж виконують раніше за віднімання.
Відповідь: $\frac{2}{m-2}$.
Дужки: по діях або ланцюжком
Коли у виразі є дужки, спершу виконують дію в кожних дужках, а потім дію між ними. Розв’язання можна записати по діях: 1), 2), 3).
Так зручно, коли вираз довгий. Розв’язання також можна записати ланцюжком: кожен наступний рядок починається зі знака «=».
Приклад 2. Виконай дію в кожних дужках, потім ділення
Спростимо вираз $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right):\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)$.
Розв’язання. Спершу виконаємо дії в кожних дужках, а потім ділення.
| 1) | $\hphantom{{}^{a/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a/}}}a}{b}+\hphantom{{}^{b/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{b/}}}b}{a}-\hphantom{{}^{ab/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{ab/}}}2}{1}$ |
| $=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}$; | |
| 2) | $\hphantom{{}^{a/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a/}}}1}{b}-\hphantom{{}^{b/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{b/}}}1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}$; |
| 3) | $\dfrac{(a-b)^2}{ab}:\dfrac{a-b}{ab}$ |
| $=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\cdot\dfrac{ab}{a-b}=a-b$. |
- 1)У перших дужках ціле число 2 записуємо дробом зі знаменником 1. Спільний знаменник трьох дробів дорівнює $ab$. Додаткові множники записуємо над дробами: $a$, $b$ і $ab$.
- 2)У чисельнику вийшло $a^2+b^2-2ab$. Це квадрат різниці, тому чисельник дорівнює $(a-b)^2$.
- 3)У других дужках спільний знаменник теж $ab$. Додаткові множники дорівнюють $a$ і $b$, і чисельник стає $a-b$.
- 4)Третя дія — ділення. Перевертаємо дільник і скорочуємо на $ab$ і на $a-b$.
Той самий розв’язок можна записати ланцюжком:
| $\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right):\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)$ | |
| $=\dfrac{(a-b)^2}{ab}:\dfrac{a-b}{ab}$ | |
| $=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\cdot\dfrac{ab}{a-b}=a-b$ |
Якщо замість ділення між дужками стоїть множення, план той самий. Спершу виконують дію в кожних дужках, а потім множать.
Відповідь: $a-b$.
Як доводять тотожність
Тотожність — це рівність, яка правильна за всіх допустимих значень змінних. Щоб її довести, найчастіше ліву частину перетворюють, доки вона не стане такою самою, як права. Так зроблено й у підручнику, бо права частина зазвичай уже проста.
Тотожність не розв’язують як рівняння: значення змінної в ній не шукають. Підставити кілька чисел теж мало, бо так перевіряють лише ці числа. Рівність має бути правильною за всіх допустимих значень, а їх безліч.
Так само доводять, що значення виразу не залежить від змінної. Вираз спрощують, і в ньому лишається лише число.
Якщо треба знайти значення виразу, коли змінна дорівнює великому числу, наприклад $a=197$, спершу спрости вираз. Часто змінна зникає, і рахувати нічого не треба.
Приклад 3. Доведи тотожність
Доведемо тотожність $\left(\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x+3}-\frac{18}{9-x^2}\right)\cdot\frac{x+3}{12}=\frac{3}{x-3}$.
Доведення. Спростимо ліву частину. Спершу виконаємо дію в дужках, потім множення.
| 1) | $\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{3}{x+3}-\dfrac{18}{9-x^2}$ |
| $=\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{x+3/}}}3}{x-3}-\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{x-3/}}}3}{x+3}$ | |
| $\phantom{=}+\dfrac{18}{(x-3)(x+3)}$ | |
| $=\dfrac{3(x+3)-3(x-3)+18}{(x-3)(x+3)}$ | |
| $=\dfrac{3x+9-3x+9+18}{(x-3)(x+3)}$ | |
| $=\dfrac{36}{(x-3)(x+3)}$; | |
| 2) | $\dfrac{36}{(x-3)(x+3)}\cdot\dfrac{x+3}{12}=\dfrac{3}{x-3}$. |
- 1)У знаменнику $9-x^2$ від числа віднімають $x^2$, а в інших знаменниках, навпаки, від $x$ віднімають число. Тому виносимо мінус за дужки:
$9-x^2=-(x^2-9)$. Мінус зі знаменника виносимо перед дріб. Перед дробом уже стояв мінус, а мінус на мінус дає плюс, тому $-\frac{18}{9-x^2}=+\frac{18}{x^2-9}$. - 2)Розкладаємо $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Цей добуток і є спільним знаменником усіх трьох дробів. Додаткові множники дорівнюють $x+3$, $x-3$ і 1.
- 3)Розкриваємо дужки в чисельнику. Від $3(x-3)$ віднімаємо обидва члени, тому −3 · (−3) дає +9. Члени з $x$ знищуються, і лишається 36.
- 4)Під час множення скорочуємо на $x+3$, а числа 36 і 12 — на 12.
Ліву частину ми звели до правої тотожними перетвореннями. Отже, рівність є тотожністю. Твердження доведено.
Квадрат суми чи різниці дробів
Суму чи різницю дробів підносять до квадрата за формулами з 7 класу:
$(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ і $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$. Тут $p$ і $q$ — дроби, тому кожен квадрат і подвоєний добуток рахують за правилами дій з дробами.
Приклад 4. Подай квадрат різниці дробів у вигляді дробу
Подамо у вигляді раціонального дробу вираз $\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)^2$.
Розв’язання.
| $\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{2}{a}\right)^2$ | |
| $=\dfrac{a^2}{4}-2\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{a^2}$ | |
| $=\hphantom{{}^{a^2/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a^2/}}}a^2}{4}-\hphantom{{}^{4a^2/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{4a^2/}}}2}{1}+\hphantom{{}^{4/}}\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{4/}}}4}{a^2}$ | |
| $=\dfrac{a^4-8a^2+16}{4a^2}$ |
- 1)Перший дріб $\frac{a}{2}$ підносимо до квадрата: $\frac{a^2}{4}$. Другий дріб $\frac{2}{a}$ теж: $\frac{4}{a^2}$.
- 2)Подвоєний добуток дорівнює $2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{2}{a}$. Після скорочення від нього лишається число 2, і перед ним стоїть мінус.
- 3)Зводимо три доданки до спільного знаменника $4a^2$. Додаткові множники дорівнюють $a^2$, $4a^2$ і 4.
Можна було спершу відняти дроби в дужках, а потім підносити до квадрата:
$\frac{a}{2}-\frac{2}{a}=\frac{a^2-4}{2a}$. Тоді вийде $\frac{(a^2-4)^2}{4a^2}$. Це той самий дріб, бо $(a^2-4)^2=a^4-8a^2+16$.
Відповідь: $\frac{a^4-8a^2+16}{4a^2}$.
Подвоєний добуток дробу й оберненого до нього дробу завжди дорівнює числу 2. Це допомагає у вправах, де відомо значення виразу $x-\frac{1}{x}$ і треба знайти $x^2+\frac{1}{x^2}$.
Нехай відомо, що $x-\frac{1}{x}=2$. Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата. Подвоєний добуток дорівнює $2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=2$, і перед ним стоїть мінус:
$x^2-2+\frac{1}{x^2}=4$.
Отже, $x^2+\frac{1}{x^2}=4+2=6$, і знаходити сам $x$ не треба. Якщо відомо значення $x+\frac{1}{x}$, подвоєний добуток стоїть із плюсом. Тоді число 2 від квадрата відомого значення віднімають.
Як довести, що вираз додатний
Іноді треба довести, що значення виразу додатне або невід’ємне для всіх допустимих значень змінних. Тоді вираз спрощують, доки не стане видно його знак. Найчастіше в спрощеному виразі стоїть квадрат, а квадрат ніколи не буває від’ємним.
Слова «додатний» і «невід’ємний» означають різне.
Додатне число більше за нуль. Невід’ємне число може дорівнювати й нулю. Наприклад, $x^2$ невід’ємний, бо за $x=0$ він дорівнює нулю.
Приклад 5. Доведи, що значення виразу додатне
Доведемо, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу $\left(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}\right):\frac{2a(a-1)}{a+1}$ додатне.
Доведення. Спростимо вираз.
| 1) | $\quad\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a+1/}}}1}{a-1}+\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a-1/}}}1}{a+1}$ |
| $=\dfrac{a+1+a-1}{(a-1)(a+1)}$ | |
| $=\dfrac{2a}{(a-1)(a+1)}$; | |
| 2) | $\dfrac{2a}{(a-1)(a+1)}:\dfrac{2a(a-1)}{a+1}$ |
| $=\dfrac{2a}{(a-1)(a+1)}\cdot\dfrac{a+1}{2a(a-1)}$ | |
| $=\dfrac{1}{(a-1)^2}$. |
- 1)Знаходимо допустимі значення. Знаменники $a-1$ і $a+1$ не дорівнюють нулю, тому $a\ne 1$ і $a\ne -1$. Чисельник дільника $2a(a-1)$ після перевертання стає знаменником, тому ще й $a\ne 0$.
- 2)У першій дії спільний знаменник дорівнює $(a-1)(a+1)$. У другій дії перевертаємо дільник і скорочуємо на $2a$ і на $a+1$. Множник $a-1$ лишається у знаменнику двічі, тобто в квадраті.
- 3)Робимо висновок про знак. Чисельник 1 додатний. Знаменник $(a-1)^2$ теж додатний, бо це квадрат числа, яке не дорівнює нулю. Частка двох додатних чисел додатна.
Отже, для всіх допустимих значень змінної вираз тотожно дорівнює $\frac{1}{(a-1)^2}$, а цей дріб додатний. Твердження доведено.
Дріб, у якому є інші дроби
Буває дріб, у чисельнику й знаменнику якого стоять вирази з дробами. Дроби всередині назвемо малими, а весь дріб назвемо великим. Довга риска великого дробу відокремлює весь чисельник від усього знаменника, і її називають головною.
Головна риска, як і будь-яка риска дробу, означає ділення. Тому великий дріб можна переписати як частку його чисельника і знаменника. Другий спосіб спирається на основну властивість дробу: чисельник і знаменник великого дробу множать на спільний знаменник усіх малих дробів.
Якщо в малому дробі є ще один дріб, починають із дробу, що стоїть найглибше всередині інших. Спершу спрощують його, потім дріб над ним, і так аж до головної риски.
Приклад 6. Спрости дріб із дробами двома способами
Спростимо вираз $\dfrac{1-\frac{9}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}$.
Розв’язання.
Перший спосіб. Запишемо головну риску як ділення. Спершу спростимо чисельник і знаменник окремо, потім поділимо.
| 1) | $1-\dfrac{9}{x^2}=\dfrac{x^2-9}{x^2}$; |
| 2) | $1+\dfrac{3}{x}=\dfrac{x+3}{x}$; |
| 3) | $\dfrac{x^2-9}{x^2}:\dfrac{x+3}{x}$ |
| $=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\cdot\dfrac{x}{x+3}$ | |
| $=\dfrac{x-3}{x}$. |
Другий спосіб. Найпростіший спільний знаменник дробів $\frac{9}{x^2}$ і $\frac{3}{x}$ дорівнює $x^2$. Помножимо на $x^2$ увесь чисельник і весь знаменник великого дробу.
| $\dfrac{\left(1-\frac{9}{x^2}\right)\cdot x^2}{\left(1+\frac{3}{x}\right)\cdot x^2}=\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}$ | |
| $=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\dfrac{x-3}{x}$ |
- 1)Множимо кожен доданок на $x^2$. У чисельнику $1\cdot x^2=x^2$, а $\frac{9}{x^2}\cdot x^2=9$. У знаменнику $1\cdot x^2=x^2$, а $\frac{3}{x}\cdot x^2=3x$.
- 2)Малих дробів більше немає. Розкладаємо чисельник і знаменник на множники і скорочуємо на $x+3$.
Обидва способи дали однакову відповідь. Другий спосіб коротший, бо малі дроби зникають за один крок. Важливо лише множити чисельник і знаменник на той самий вираз, інакше значення дробу зміниться.
Відповідь: $\frac{x-3}{x}$.
Як перевірити себе
Підстав зручне число. Початковий вираз і відповідь рівні за всіх допустимих значень змінних. Тому за будь-якого такого числа вони мають дати те саме значення.
| Перевіримо, що $\frac{1-\frac{9}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{x-3}{x}$. Підставимо $x=1$. | |
| $\dfrac{1-9}{1+3}=\dfrac{-8}{4}=-2$ | |
| $\dfrac{1-3}{1}=-2$ | |
| Значення збіглися |
Не бери число, за якого якийсь знаменник дорівнює нулю. Не бери й такого, за якого нулем стає дільник, тобто дріб після знака «:». Розбіжність точно означає помилку.
А збіг навіть за кількох чисел не доводить, що відповідь правильна: різні вирази іноді випадково дають однакове значення. Перевірка ще одним числом може знайти помилку, яку пропустило перше.
- Перевір порядок дій. Над кожною дією можна поставити її номер. Піднесення до степеня, множення й ділення мають отримати менші номери, ніж додавання й віднімання, якщо дужки не вимагають іншого.
- Подивись, чи лишилася змінна. Якщо треба довести, що значення не залежить від змінної, у відповіді має бути лише число. Якщо після повного спрощення змінна лишилася, шукай помилку в перетвореннях.
- Перевір, чи дріб нескоротний. Розклади чисельник і знаменник відповіді на множники. Якщо в них є спільний множник, скороти на нього.
Де найчастіше помиляються
1. Порушили порядок дій
Завдання: спростити вираз $\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{2}$.
Неправильно
| ${\color{#a72727}{\left(\dfrac{a+1}{a}-\dfrac{1}{a}\right)}}\cdot\dfrac{a}{2}$ | |
| $=\dfrac{a}{a}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}$ |
Правильно
| $\dfrac{a+1}{a}-{\color{#176b3a}{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{2a+2-a}{2a}$ | |
| $=\dfrac{a+2}{2a}$ |
Що сталося: віднімання виконали раніше за множення. Множення виконують першим, тому спершу $\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{2}$, а вже потім віднімають.
Як помітити: підстав $a=1$. Початковий вираз дорівнює $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Правильна відповідь теж дає $\frac{3}{2}$, а неправильна дає $\frac{1}{2}$.
2. Піднесли до квадрата кожен доданок окремо
Завдання: подати у вигляді дробу вираз $\left(\frac{m}{3}+\frac{3}{m}\right)^2$.
Неправильно
| $\left(\dfrac{m}{3}+\dfrac{3}{m}\right)^2={\color{#a72727}{\dfrac{m^2}{9}+\dfrac{9}{m^2}}}$ |
Правильно
| $\dfrac{m^2}{9}+{\color{#176b3a}{2}}+\dfrac{9}{m^2}$ | |
| $=\dfrac{m^4+18m^2+81}{9m^2}$ |
Що сталося: загубили подвоєний добуток. За формулою квадрата суми між квадратами стоїть $2\cdot\frac{m}{3}\cdot\frac{3}{m}$, а це число 2.
Як помітити: підстав $m=3$. Початковий вираз дорівнює $(1+1)^2=4$. Правильна відповідь теж дає 4, а неправильна дає 1 + 1 = 2.
3. Поділили на суму як на кожен доданок окремо
Завдання: спростити вираз $\frac{1}{x}:\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$.
Неправильно
| ${\color{#a72727}{\dfrac{1}{x}:\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}:\dfrac{1}{y}}}$ | |
| $=1+\dfrac{y}{x}$ |
Правильно
| $\dfrac{1}{x}:{\color{#176b3a}{\dfrac{x+y}{xy}}}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{xy}{x+y}$ | |
| $=\dfrac{y}{x+y}$ |
Що сталося: на суму не можна ділити по черзі на кожен доданок. Спершу виконують дію в дужках і отримують один дріб, а потім ділять на нього.
Як помітити: підстав $x=1$, $y=1$. Початковий вираз дорівнює $1:2=\frac{1}{2}$. Правильна відповідь теж дає $\frac{1}{2}$, а неправильна дає 2.
4. Чисельник і знаменник помножили на різні вирази
Завдання: спростити вираз $\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}$.
Неправильно
| $\dfrac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot{\color{#a72727}{x}}}{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\cdot x^2}=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ | |
| $=\dfrac{1}{x-1}$ |
Правильно
| $\dfrac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot{\color{#176b3a}{x^2}}}{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\cdot x^2}=\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ | |
| $=\dfrac{x}{x-1}$ |
Що сталося: основна властивість дробу дозволяє множити чисельник і знаменник лише на той самий вираз. Тут спільний знаменник малих дробів дорівнює $x^2$, і на нього треба множити обидві частини.
Як помітити: підстав $x=2$. Початковий вираз дорівнює $\frac{3}{2}:\frac{3}{4}=2$. Правильна відповідь теж дає 2, а неправильна дає 1.
Спробуй сам
- Спрости вираз: $\frac{y}{y-3}-\frac{y^2+3y}{y^2-9}\cdot\frac{2}{y}$.
- Спрости вираз: $\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right):\frac{a+2}{4a}$.
- Спрости вираз: $\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right):\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)$.
- Доведи тотожність: $\left(\frac{a}{a-4}+\frac{a}{a+4}\right):\frac{2a^2}{a^2-16}=1$.
- Доведи, що значення виразу $\left(\frac{1}{a-1}-\frac{a+1}{a^2+a+1}\right)\cdot\frac{a^3-1}{a+2}$ не залежить від значення змінної.
- Подай у вигляді дробу: $\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\right)^2$.
- Відомо, що $x+\frac{1}{x}=4$. Знайди значення виразу $x^2+\frac{1}{x^2}$.
- Доведи, що значення виразу $\left(x-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{x^2-x}{x+1}$ невід’ємне для всіх допустимих значень змінної.
- Спрости вираз: $\dfrac{\frac{2}{a}-1}{\frac{4}{a^2}-1}$.
- Знайди значення виразу $\left(\frac{a}{a-5}-\frac{a}{a+5}\right)\cdot\frac{a^2-25}{5a}$, якщо $a=173$.
Перевірити відповіді
- $\frac{y-2}{y-3}$.
- $2(a-2)$.
- $\frac{mn}{m+n}$.
- Ліва частина дорівнює 1.
- Вираз дорівнює 1 для всіх допустимих значень $a$.
- $\frac{16x^4+8x^2y^2+y^4}{4x^2y^2}$.
- 14.
- Вираз дорівнює $(x-1)^2$, а квадрат не буває від’ємним.
- $\frac{a}{a+2}$.
- 2.
Повний розв’язок завдання 5
| 1) | $\quad\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a^2+a+1/}}}1}{a-1}-\;\dfrac{\llap{{}^{\color{#d86f12}{a-1/}}}a+1}{a^2+a+1}$ |
| $=\dfrac{a^2+a+1-(a^2-1)}{a^3-1}$ | |
| $=\dfrac{a+2}{a^3-1}$; | |
| 2) | $\dfrac{a+2}{a^3-1}\cdot\dfrac{a^3-1}{a+2}=1$. |
Спільний знаменник знаходимо за формулою різниці кубів:
$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Добуток $(a+1)(a-1)$ дорівнює $a^2-1$, і його беремо в дужки, бо перед ним стоїть мінус. Вираз дорівнює числу 1, тож від $a$ він не залежить.
Повний розв’язок завдання 9
| $\dfrac{\left(\frac{2}{a}-1\right)\cdot a^2}{\left(\frac{4}{a^2}-1\right)\cdot a^2}=\dfrac{2a-a^2}{4-a^2}$ | |
| $=\dfrac{a(2-a)}{(2-a)(2+a)}=\dfrac{a}{a+2}$ |
Спільний знаменник малих дробів дорівнює $a^2$, тому на нього множимо і чисельник, і знаменник. Потім розкладаємо: у чисельнику виносимо $a$ за дужки, знаменник розкладаємо за формулою різниці квадратів. Скорочуємо на $2-a$.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в порядку дій або в загубленому подвоєному добутку.
Для батьків
Попросіть дитину перед розв’язанням пронумерувати дії у виразі. Так видно, чи розуміє вона порядок дій: спершу дужки, потім піднесення до степеня, далі множення й ділення, а додавання й віднімання виконують наприкінці.
Запитайте, чому тотожність не можна довести, підставивши одне число. Дитина має пояснити, що рівність повинна виконуватися за всіх допустимих значень. Підстановка одного числа перевіряє рівність лише для цього числа.
Корисна звичка — це перевірка підстановкою. Якщо початковий вираз і відповідь за того самого числа дають різні значення, у розв’язанні є помилка.