Ділення дробів: як поділити на дріб, на одночлен і на многочлен — алгебра 8 клас

Приклад 1. Поділи дріб на дріб

Виконаємо ділення $\frac{9a^4}{10b^3}:\frac{3a^2}{5b}$.

Розв’язання.

1. 1)Ділене $\frac{9a^4}{10b^3}$ лишаємо як є. Дільник $\frac{3a^2}{5b}$ перевертаємо, і виходить $\frac{5b}{3a^2}$.
2. 2)Записуємо добуток під однією рискою і скорочуємо числа. Числа 9 і 3 ділимо на 3, лишаються 3 і 1. Числа 5 і 10 ділимо на 5, лишаються 1 і 2.
3. 3)Скорочуємо змінні. Чисельник і знаменник ділимо на $a^2$, тож з $a^4$ лишається $a^2$. Потім ділимо на $b$, тож з $b^3$ у знаменнику лишається $b^2$.

Якщо перед дробами стоять мінуси, знак частки визначають так само, як знак добутку. Парна кількість мінусів дає додатну відповідь, а непарна — від’ємну. Наприклад, частка двох від’ємних дробів додатна.

Відповідь: $\frac{3a^2}{2b^2}$.

Приклад 2. Поділи дріб на одночлен

Подамо у вигляді дробу вираз $\frac{12x^2}{5y}:(-4x^3)$.

Розв’язання.

1. 1)Записуємо одночлен $-4x^3$ дробом зі знаменником 1. Тепер його можна перевернути: обернений дріб має 1 у чисельнику, а $4x^3$ — у знаменнику.
2. 2)Один мінус лишається перед дробом, бо інших мінусів немає.
3. 3)Числа 12 і 4 ділимо на 4, лишаються 3 і 1. Змінні $x^2$ і $x^3$ ділимо на $x^2$, і в знаменнику лишається $x$.

Отже, одночлен-дільник іде в знаменник. Якщо ж одночлен стоїть у діленому, його теж пишуть дробом зі знаменником 1. Перевертають при цьому лише дільник:
$6a^2:\frac{3a}{b}=\frac{6a^2}{1}\cdot\frac{b}{3a}=2ab$.

Відповідь: $-\frac{3}{5xy}$.

Приклад 3. Розклади многочлени й поділи дроби

Виконаємо ділення $\frac{a^2-9}{a^2+5a}:\frac{4a-12}{a}$.

Розв’язання.

1. 1)У тому самому рядку робимо дві речі. Дільник перевертаємо, а многочлени розкладаємо:
   $a^2-9=(a-3)(a+3)$, $a^2+5a=a(a+5)$, $4a-12=4(a-3)$.
2. 2)Записуємо добуток під однією рискою. Множник $a-3$ є і в чисельнику, і в знаменнику, тому на нього скорочуємо. Так само скорочуємо на $a$.
3. 3)У чисельнику лишається $a+3$, а в знаменнику — $4(a+5)$.

Знаменник відповіді можна лишити добутком, як у підручнику, а можна розкрити дужки: $\frac{a+3}{4a+20}$. Обидва записи правильні.

Відповідь: $\frac{a+3}{4(a+5)}$.

Приклад 4. Поділи дроби з протилежними двочленами

Виконаємо ділення $\frac{m-2n}{6m^2}:\frac{2n-m}{9m}$.

Розв’язання.

1. 1)Перевертаємо дільник і записуємо добуток.
2. 2)Двочлени $m-2n$ і $2n-m$ протилежні: у них ті самі члени, але з протилежними знаками. Тому $m-2n=-(2n-m)$.
3. 3)Скорочуємо на $2n-m$. Мінус при цьому лишається, тож виносимо його перед дріб. З $\frac{9m}{6m^2}$ після скорочення на $3m$ лишається $\frac{3}{2m}$.

Відповідь: $-\frac{3}{2m}$.

Приклад 5. Поділи дріб на многочлен

Спростимо вираз $\frac{x^3+8}{3x}:(x^2-2x+4)$.

Розв’язання.

1. 1)Записуємо многочлен-дільник дробом зі знаменником 1. Обернений до нього дріб має 1 у чисельнику, а весь многочлен — у знаменнику.
2. 2)Чисельник $x^3+8$ є сумою кубів, бо $8=2^3$:
   $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$.
3. 3)Записуємо добуток під однією рискою. Тричлен $x^2-2x+4$ стоїть і в чисельнику, і в знаменнику. Його скорочуємо цілим, і лишається $\frac{x+2}{3x}$.

Якщо многочлен стоїть у діленому, його теж записують дробом зі знаменником 1. Перевертають при цьому лише дільник:

Відповідь: $\frac{x+2}{3x}$.

Приклад 6. Виконай два ділення підряд

Виконаємо дії $\frac{6a^2}{b}:\frac{3a}{b^2}:\frac{4a}{5b}$.

Розв’язання.

1. 1)Виконуємо дії зліва направо. Перше ділення стає множенням на $\frac{b^2}{3a}$. Отриманий добуток ділимо на третій дріб, тобто множимо на $\frac{5b}{4a}$. Отже, перевертаємо обидва дільники, а ділене лишаємо.
2. 2)Записуємо все під однією рискою. Числа: у чисельнику 6 · 5 = 30, у знаменнику 3 · 4 = 12, і $\frac{30}{12}=\frac{5}{2}$.
3. 3)Змінні: $a^2$ у чисельнику і $a\cdot a=a^2$ у знаменнику скорочуються повністю. У чисельнику $b^2\cdot b=b^3$, у знаменнику $b$, тож лишається $b^2$.

Якщо частину ланцюжка взято в дужки, спершу виконують дію в дужках. Візьмемо вираз $\frac{6a^2}{b}:\left(\frac{3a}{b^2}:\frac{4a}{5b}\right)$. Спершу ділимо в дужках:
$\frac{3a}{b^2}\cdot\frac{5b}{4a}=\frac{15}{4b}$. Потім ділимо на цю частку, і відповідь виходить уже іншою:
$\frac{6a^2}{b}\cdot\frac{4b}{15}=\frac{8a^2}{5}$.

Якщо дроби в ланцюжку піднесено до степеня, спершу виконай піднесення до степеня, а потім ділення. Піднесення до степеня виконують раніше, ніж множення й ділення. Нагадаємо, що до степеня підносять і чисельник, і знаменник:
$\left(\frac{2a}{b}\right)^2=\frac{4a^2}{b^2}$.

Відповідь: $\frac{5b^2}{2}$.

Приклад 7. Винеси десятковий множник і поділи дроби

Спростимо вираз $\frac{0{,}2a^2-1{,}8}{a^2+6a+9}:\frac{0{,}4a-1{,}2}{a+3}$.

Розв’язання.

1. 1)Виносимо 0,2 за дужки. Це можна зробити, бо 1,8 : 0,2 = 9:
   $0{,}2a^2-1{,}8=0{,}2(a^2-9)$
   $=0{,}2(a-3)(a+3)$.
2. 2)Виносимо 0,4 за дужки, бо 1,2 : 0,4 = 3:
   $0{,}4a-1{,}2=0{,}4(a-3)$. Знаменник першого дробу є квадратом суми:
   $a^2+6a+9=(a+3)^2$.
3. 3)Перевертаємо дільник. Скорочуємо на $a-3$ і двічі на $a+3$: один такий множник є в першому чисельнику, другий — у чисельнику оберненого дробу. Лишається частка чисел 0,2 і 0,4.

Так само виносять звичайний дріб:
$\frac{1}{2}x^2-x+2=\frac{1}{2}(x^2-2x+4)$.

Відповідь: $\frac{1}{2}$.

Приклад 8. Спрости вираз і знайди його значення

Знайдемо значення виразу $\frac{ab+3a-2b-6}{4a-8}:\frac{b^2-9}{2b}$, якщо $a=117$, $b=3{,}5$.

Розв’язання.

1. 1)Перевіряємо, що за цих значень вираз має зміст. Знаменники не дорівнюють нулю:
   4 · 117 − 8 = 460 і 2 · 3,5 = 7. Чисельник дільника $b^2-9$ теж не дорівнює нулю. Це важливо, бо після перевертання він стає знаменником.
2. 2)У чотиричлені немає множника, спільного для всіх членів. Тому об’єднуємо члени в пари: з $ab+3a$ виносимо $a$, а з $-2b-6$ виносимо $-2$. В обох дужках вийшло $b+3$, і його виносимо за дужки. Якщо в дужках виходять різні двочлени, спробуй об’єднати члени в пари інакше.
3. 3)Перевертаємо дільник, розкладаємо $4a-8=4(a-2)$ і $b^2-9=(b-3)(b+3)$. Скорочуємо на $a-2$ і на $b+3$, а числа 2 і 4 — на 2.
4. 4)Змінна $a$ скоротилася, тому значення 117 нам навіть не знадобилося. Підставляємо лише $b=3{,}5$.

Відповідь: 3,5.