Ти навчишся впізнавати чотирикутник і його елементи, знаходити невідомий кут за сумою кутів 360° і відрізняти опуклий чотирикутник від неопуклого. Ще ти знаходитимеш периметр, обчислюватимеш діагональ за периметрами двох трикутників і будуватимеш чотирикутник за сторонами й кутом.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке чотирикутник
Чотирикутник складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Жодні три з цих точок не лежать на одній прямій. Відрізки не мають інших спільних точок, крім цих чотирьох.
Чотирикутник ABCD. Синім штрихом проведено його діагоналі AC і BD.
Точки A, B, C і D — вершини чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD і DA — його сторони. Чотирикутник обмежує частину площини, яку називають його внутрішньою областю.
Сусідні вершини є кінцями однієї сторони, наприклад A і B. Вершини, які не є сусідніми, називають протилежними: A і C, B і D.
Сусідні сторони (їх ще називають суміжними) мають спільну вершину, як AB і BC. Протилежні сторони спільної вершини не мають, як AB і CD.
Кути ABC, BCD, CDA і DAB — кути чотирикутника, їх коротко позначають ∠A, ∠B, ∠C, ∠D. Сусідніми чи протилежними кути називають так само, як їхні вершини.
Діагональ сполучає дві протилежні вершини. Тому в кожного чотирикутника рівно дві діагоналі, тут це AC і BD.
Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін: PABCD = AB + BC + CD + DA.
Як читати назву чотирикутника
У назві чотирикутника поруч стоять букви сусідніх вершин, а перша й остання букви теж позначають сусідні вершини. Тому чотирикутник ABCD з креслення вище можна назвати ще BCDA, ADCB чи CBAD. У кожній з цих назв вершини йдуть по колу.
Назва ACBD цьому чотирикутнику не підходить. У ній поруч стоять букви A і C. Проте на кресленні відрізок AC є діагоналлю.
Коли фігура не є чотирикутником
Ліворуч точки P, Q і R лежать на одній прямій. Праворуч помаранчеві відрізки FG і HE перетинаються.
Фігура PQRS не є чотирикутником, бо три її точки P, Q і R лежать на одній прямій. Насправді це трикутник PRS, на стороні якого позначили ще одну точку.
Фігура EFGH теж не є чотирикутником. Її відрізки FG і HE перетинаються в точці, яка не є жодною з чотирьох даних точок, а означення це забороняє.
Приклад 1. Назви пари протилежних сторін і діагоналі чотирикутника MNPK
Вершини чотирикутника йдуть по колу в порядку M, N, P, K.
Розв'язання.
- 1)Сусідні букви назви дають сторони, а остання буква K сполучається з першою M. Отже, сторони — MN, NP, PK і KM.
- 2)Протилежні сторони не мають спільної вершини. У MN і PK усі чотири букви різні, у NP і KM — теж. Це дві пари протилежних сторін.
- 3)Діагональ сполучає протилежні вершини, тобто ті, що в назві стоять через одну. Це M і P, N і K, тому діагоналі — MP і NK.
Відповідь: протилежні сторони MN і PK, NP і KM; діагоналі MP і NK.
Пари сусідніх сторін мають спільну букву: MN і NP, NP і PK, PK і KM, KM і MN. Пари сусідніх і протилежних вершин чи кутів шукають так само, за порядком букв у назві.
Опуклий і неопуклий чотирикутник
Розгорнутий кут дорівнює 180°. У чотирикутнику один кут може бути більшим за розгорнутий. Тоді вершина цього кута ніби вдавлена всередину фігури.
Чотирикутник, у якого один з кутів більший за розгорнутий, називають неопуклим. Якщо всі кути чотирикутника менші від 180°, його називають опуклим.
Ліворуч опуклий чотирикутник ABCD, праворуч неопуклий KLMN. Помаранчевою дугою позначено кут K, більший за розгорнутий.
Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються, як AC і BD на кресленні. У неопуклого чотирикутника діагоналі не перетинаються: діагональ LN проходить поза фігурою, і діагональ KM до неї не доходить.
Кут K вимірюють усередині фігури, тобто з боку внутрішньої області. Тому він більший за 180°, хоча ззовні біля вершини K видно кут, менший від розгорнутого.
Сума кутів чотирикутника
Теорема (про суму кутів чотирикутника). Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
Доведення для опуклого чотирикутника
Діагональ AC ділить кут A на кути 1 і 2, а кут C — на кути 3 і 4.
Доведення. Нехай ABCD — опуклий чотирикутник.
- 1)Проведемо діагональ AC. Тоді ∠A = ∠1 + ∠2 і ∠C = ∠3 + ∠4.
- 2)∠2 + ∠B + ∠3 = 180° (як сума кутів △ABC), ∠1 + ∠D + ∠4 = 180° (як сума кутів △ADC).
- 3)Отже, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D = (∠2 + ∠B + ∠3) + (∠1 + ∠D + ∠4) = 180° + 180° = 360°.
Твердження доведено.
Чому сума та сама для неопуклого чотирикутника
Кут A більший за розгорнутий. Діагональ AC ділить його на кути 1 і 2.
У неопуклому чотирикутнику діагональ проводять з вершини кута, більшого за розгорнутий. Тут це діагональ AC. Вона лежить усередині фігури і ділить її на трикутники ABC і ADC.
Кут A складається з кутів 1 і 2: кут 2 належить трикутнику ABC, а кут 1 — трикутнику ADC. Так само було й у доведенні для опуклого чотирикутника.
Кут C діагональ теж ділить на дві частини, по одній у кожному трикутнику. Кути B і D цілком належать трикутникам ABC і ADC.
Отже, сума кутів чотирикутника дорівнює сумі кутів двох трикутників: 180° + 180° = 360°.
Друга діагональ BD тут не годиться: вона проходить поза фігурою і не ділить її на два трикутники.
З теореми випливає правило для задач «чи існує чотирикутник з такими кутами». Якщо сума чотирьох даних кутів не дорівнює 360°, такого чотирикутника не існує, бо це суперечило б теоремі.
Якщо ж сума дорівнює 360°, такий чотирикутник можна накреслити. Навіть коли один з кутів більший за 180°, як у прикладі 2 нижче, виходить неопуклий чотирикутник.
Як знайти невідомий кут
Як знайти невідомий кут чотирикутника
- Якщо відомі три кути, додай їх.
- Відніми цю суму від 360°. Так ти знайдеш четвертий кут, бо разом усі чотири кути дорівнюють 360°.
- Якщо кути задано відношенням, наприклад 5 : 3, позначи одну частину через x. Тоді кути дорівнюють $5x$ і $3x$, а їхня півсума чи піврізниця теж виражається через x. Склади рівняння, у якому сума всіх кутів дорівнює 360°, і знайди x.
- Порівняй кожен кут із 180°. Якщо один кут більший за 180°, чотирикутник неопуклий, а якщо всі менші — опуклий.
Приклад 2. Знайди четвертий кут і з'ясуй, чи є чотирикутник опуклим
Три кути чотирикутника дорівнюють 70°, 50° і 40°. Знайди четвертий кут. Опуклий чи неопуклий цей чотирикутник?
Так виглядає чотирикутник з такими кутами. Невідомий кут A позначено знаком «?».
Розв'язання.
- 1)Сума трьох відомих кутів:
70° + 50° + 40° = 160°. - 2)Четвертий кут:
360° − 160° = 200°. - 3)200° більше за 180°, тобто цей кут більший за розгорнутий. Отже, чотирикутник неопуклий.
Відповідь: 200°; неопуклий.
Кут 200° не означає, що чотирикутника не існує: сума кутів усе одно 360°, а вершина A просто вдавлена всередину фігури.
Тут кут A навіть більший за суму трьох інших кутів, бо 200° більше за 160°.
Разом чотири кути дають 360°. Тому кут, більший за суму трьох інших, більший за половину від 360°, тобто за 180°. Так буває лише в неопуклому чотирикутнику.
Буває, що відомий лише один кут, а три інші між собою рівні. Тоді від 360° віднімають відомий кут і ділять різницю на 3, бо ці три рівні кути разом дорівнюють різниці. Зі сторонами так само: від периметра віднімають відому сторону і ділять різницю на 3.
Приклад 3. Доведи, що четвертий кут гострий
Три кути чотирикутника тупі. Доведи, що його четвертий кут гострий.
Доведення.
- 1)Тупий кут більший за 90°. Тому сума трьох тупих кутів більша за 3 · 90° = 270°.
- 2)Четвертий кут дорівнює різниці 360° і суми трьох інших кутів. Ця сума більша за 270°, тому четвертий кут менший від 360° − 270° = 90°.
- 3)Кут, менший від 90°, гострий.
Твердження доведено.
Так само оцінюють суму в задачах «чи можуть усі кути чотирикутника бути гострими». Якщо кожен кут менший від 90°, то сума чотирьох кутів менша за 4 · 90° = 360°. Проте за теоремою сума дорівнює 360°, отже, так бути не може.
А от прямими всі чотири кути бути можуть, бо 4 · 90° = 360°.
Щоб довести, що в чотирикутнику є кут, не більший за 90°, міркують від супротивного.
Припускають, що всі чотири кути більші за 90°, і отримують суму, більшу за 360°, а цього не може бути. «Не більший за 90°» означає «менший від 90° або дорівнює 90°». Наприклад, у чотирикутника з чотирма прямими кутами кожен кут дорівнює 90°.
Приклад 4. Знайди невідомі кути чотирикутника
Один кут чотирикутника дорівнює 120°. Другий і третій кути відносяться як 5 : 3, а четвертий кут дорівнює півсумі другого і третього. Знайди невідомі кути.
Розв'язання.
- 1)Другий і третій кути відносяться як 5 : 3. Позначимо другий кут $5x$, а третій — $3x$.
- 2)Півсума — це половина суми. Тому четвертий кут дорівнює
$\frac{5x+3x}{2}=\frac{8x}{2}=4x$. - 3)Сума всіх кутів дорівнює 360°:
$120^\circ+5x+3x+4x=360^\circ$,
$12x=240^\circ$, $x=20^\circ$. - 4)Другий кут дорівнює 5 · 20° = 100°, третій — 3 · 20° = 60°, четвертий — 4 · 20° = 80°.
Відповідь: 100°, 60°, 80°.
Буває, що всі чотири кути пропорційні числам, наприклад 1, 2, 4 і 5. Тоді рівняння простіше:
$x+2x+4x+5x=360^\circ$.
Піврізниця — це половина різниці. Для кутів $5x$ і $3x$ вона дорівнює
$\frac{5x-3x}{2}=x$.
Сторони, пропорційні числам, шукають так само. Лише в рівнянні замість 360° стоїть периметр, бо саме периметр дорівнює сумі всіх сторін.
Периметр і діагональ
Приклад 5. Знайди периметр, коли сторони дано в різних одиницях
Сторони чотирикутника дорівнюють 45 мм, 3,2 см, 0,6 дм і 0,05 м. Знайди його периметр.
Розв'язання.
- 1)Сторони записано в різних одиницях, тому спершу переведемо їх у сантиметри. Нагадаємо: 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 100 см.
- 2)Отже, 45 мм = 4,5 см, 0,6 дм = 6 см, 0,05 м = 5 см.
- 3)P = 4,5 + 3,2 + 6 + 5 = 18,7 (см).
Відповідь: 18,7 см.
Відповідь можна записати й в інших одиницях, наприклад 187 мм. Головне, щоб усі доданки були в одних одиницях.
Приклад 6. Знайди діагональ BD за периметрами
Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 28 см. Периметр трикутника ABD дорівнює 22 см, а трикутника CBD — 26 см. Знайди довжину діагоналі BD.
Діагональ BD ділить чотирикутник на помаранчевий трикутник ABD і зелений трикутник CBD.
Розв'язання.
- 1)Додамо периметри трикутників:
(AB + AD + BD) + (CB + CD + BD). - 2)Сторони AB, AD, CB і CD разом дають периметр чотирикутника, а BD у сумі трапляється двічі. Тому
22 + 26 = 28 + 2 · BD. - 3)2 · BD = 48 − 28 = 20 (см), BD = 20 : 2 = 10 (см).
Відповідь: BD = 10 см.
Діагональ не є стороною чотирикутника, тому в його периметр вона не входить. Зате вона є стороною кожного з двох трикутників.
Доведення з діагоналлю
В опуклому чотирикутнику кожна діагональ ділить його на два трикутники, а в неопуклому — та, що лежить усередині фігури. Якщо ці трикутники рівні, то рівні й їхні відповідні сторони та кути. Тому задачі на доведення в § 1 розв'язують ознаками рівності трикутників із 7 класу.
Приклад 7. Доведи, що AB = AD
Діагональ AC чотирикутника ABCD утворює рівні кути зі сторонами: ∠BAC = ∠DAC і ∠BCA = ∠DCA. Доведи, що AB = AD.
Рівні кути при вершині A позначено однією дужкою, рівні кути при вершині C — двома.
Доведення.
- 1)Розглянемо трикутники ABC і ADC. Сторона AC у них спільна, ∠BAC = ∠DAC і ∠BCA = ∠DCA (за умовою).
- 2)Отже, △ABC = △ADC (за стороною і двома прилеглими кутами).
- 3)Тому AB = AD (як відповідні сторони рівних трикутників).
Твердження доведено.
З рівності цих трикутників випливає ще й BC = DC і ∠B = ∠D. Якщо в умові дано рівні сторони й кут між ними, трикутники порівнюють за двома сторонами й кутом між ними. Якщо ж дано три пари рівних сторін, їх порівнюють за трьома сторонами.
Записуючи рівність трикутників, стеж за відповідністю вершин. У записі △… = △… вершини рівних кутів мають стояти на однакових місцях. Наприклад, обидві мають бути першими або обидві другими в назвах трикутників.
Буває, що рівні кути стоять при різних кінцях діагоналі, наприклад ∠BAC = ∠DCA і ∠BCA = ∠DAC. Тоді вершина A відповідає вершині C, і записують △ABC = △CDA. Звідси AB = CD і BC = DA.
Так розв'язують і задачі про дельтоїд. Дельтоїдом називають опуклий чотирикутник, у якого дві пари рівних сусідніх сторін, наприклад AB = BC і AD = DC. Діагональ BD сполучає вершину B, де сходяться перші рівні сторони, з вершиною D, де сходяться другі.
Дельтоїд ABCD: рівні сторони AB і BC позначено однією рискою, рівні сторони AD і DC — двома.
Діагональ BD ділить дельтоїд на трикутники ABD і CBD, рівні за трьома сторонами. Тому BD — бісектриса кутів B і D.
Нехай діагоналі перетинаються в точці O. Трикутник ABC рівнобедрений з основою AC, і BO — його бісектриса, проведена до основи. Така бісектриса є і висотою, тому BD ⊥ AC: діагоналі дельтоїда перпендикулярні.
Побудова чотирикутника за сторонами й кутом
Приклад 8. Побудуй чотирикутник за чотирма сторонами і кутом
Побудуй чотирикутник зі сторонами 6 см, 6 см, 4 см, 5 см і кутом 80° між рівними сторонами. Скільки розв'язків має задача?
Сірі дуги є частинами кіл з центрами A і C. Ці кола перетинаються у двох точках, тому розв'язків два.
Розв'язання.
- 1)Побудуємо транспортиром кут B, що дорівнює 80°. На його сторонах відкладемо BA = 6 см і BC = 6 см.
- 2)Четверта вершина D має лежати на відстані 4 см від точки A і на відстані 5 см від точки C. Тому проведемо циркулем коло з центром A радіуса 4 см і коло з центром C радіуса 5 см.
- 3)Кола перетинаються у двох точках, D₁ і D₂. Сполучимо кожну з них з точками A і C.
- 4)Чотирикутник ABCD₁ опуклий. У чотирикутнику ABCD₂ кут при вершині D₂ більший за розгорнутий, тому він неопуклий. Обидва мають сторони 6, 6, 4 і 5 см і кут 80° між рівними сторонами.
Відповідь: задача має два розв'язки.
Кола перетнулися у двох точках, бо відстань між їхніми центрами AC менша за суму радіусів і більша за їхню різницю. Виміряй AC лінійкою: вийде приблизно 7,7 см, а 4 + 5 = 9 (см) і 5 − 4 = 1 (см).
Якщо поміняти місцями сторони 4 см і 5 см, вийдуть чотирикутники, рівні цим двом, лише віддзеркалені. Рівні фігури вважають одним розв'язком, тому розв'язків так само два.
Як перевірити себе
Додай усі чотири кути. Сума має дорівнювати 360°, бо так стверджує теорема. Якщо вийшло інше число, помилка в обчисленнях або в рівнянні.
Порівняй кути із 180°. Кут, більший за 180°, може бути лише один, бо сума двох таких кутів уже більша за 360°. Якщо такий кут є, на кресленні його вершина має бути вдавлена всередину фігури.
Перевір відношення. Поділи кути чи сторони, задані відношенням, на значення x. Мають вийти саме ті числа, що дано у відношенні.
Звір одиниці. Перш ніж додавати сторони, переконайся, що всі вони записані в одних одиницях. Інакше сума не має змісту.
Де найчастіше помиляються
1. Назвали чотирикутник буквами не по колу
Завдання: запиши назву чотирикутника з креслення і назви його діагоналі.
Вершини A і B стоять угорі, а вершини D і C стоять унизу.
Неправильно
| Чотирикутник ABDC, |
| діагоналі AD і BC |
Правильно
| Чотирикутник ABCD, |
| діагоналі AC і BD |
Як помітити: букви прочитали рядками, як текст у книжці, а вершини треба обходити по колу. На кресленні AD і BC — сторони, бо кожен з цих відрізків сполучає сусідні вершини.
2. Вирішили, що чотирикутника з кутом, більшим за 180°, не існує
Завдання: чи існує чотирикутник з кутами 30°, 60°, 80° і 190°?
Неправильно
| Ні, бо кут 190° |
| більший за 180° |
Правильно
| 30° + 60° + 80° + 190° = 360°. |
| Так, він неопуклий |
Як помітити: чи існує чотирикутник, показує сума всіх чотирьох кутів. Кут, більший за розгорнутий, лише показує, що чотирикутник неопуклий.
3. Додали сторони в різних одиницях
Завдання: знайди периметр чотирикутника зі сторонами 2 дм, 15 см, 12 см і 0,1 м.
Неправильно
| 2 + 15 + 12 + 0,1 = 29,1 (см) |
Правильно
| 20 + 15 + 12 + 10 = 57 (см) |
Як помітити: подивися на одиниці біля кожної сторони, перш ніж додавати. Тут 2 дм — це 20 см, а 0,1 м — це 10 см.
4. 360° поділили на кількість кутів, а не на кількість частин
Завдання: кути чотирикутника пропорційні числам 1, 2, 3 і 4. Знайди їх.
Неправильно
| 360° : 4 = 90°, |
| кути 90°, 180°, 270°, 360° |
Правильно
| 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (частин), |
| 360° : 10 = 36°, |
| кути 36°, 72°, 108°, 144° |
Як помітити: додай знайдені кути. У неправильній відповіді сума дорівнює 900°, а не 360°. Ділити 360° треба на кількість усіх частин, тобто на суму чисел відношення.
Спробуй сам
- Назви діагоналі чотирикутника PRST і пари його протилежних кутів.
- Три кути чотирикутника дорівнюють 110°, 95° і 75°. Знайди четвертий кут. Опуклий чи неопуклий цей чотирикутник?
- Чи існує чотирикутник з кутами 100°, 100°, 80° і 70°?
- Один з кутів чотирикутника дорівнює 150°, а три інші між собою рівні. Знайди ці три кути.
- Знайди кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 6 і 7.
- Периметр чотирикутника дорівнює 48 см, одна з його сторін — 12 см. Друга і третя сторони відносяться як 5 : 3, а четверта дорівнює піврізниці другої і третьої. Знайди невідомі сторони.
- Знайди периметр чотирикутника зі сторонами 25 мм, 4 см, 0,5 дм і 0,08 м.
- Чи можуть усі кути чотирикутника бути тупими?
- Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 40 см, периметр трикутника ABC — 28 см, а трикутника ACD — 30 см. Знайди діагональ AC.
- У чотирикутнику ABCD AB = AD і CB = CD. Доведи, що ∠B = ∠D.
Перевірити відповіді
- Діагоналі PS і RT; протилежні кути P і S, R і T.
- 80°; опуклий, бо всі кути менші від 180°.
- Ні: 100° + 100° + 80° + 70° = 350°, а не 360°.
- По 70°: (360° − 150°) : 3 = 70°.
- 40°, 60°, 120°, 140°: 2 + 3 + 6 + 7 = 18 частин, 360° : 18 = 20°.
- 20 см, 12 см і 4 см. Повний розв'язок — нижче.
- 19,5 см.
- Ні: сума чотирьох тупих кутів була б більшою за 4 · 90° = 360°.
- 9 см: 2 · AC = 28 + 30 − 40 = 18 (см).
- Повний розв'язок — нижче.
Повний розв'язок завдання 6
- 1)Позначимо другу сторону $5x$ см, а третю — $3x$ см.
- 2)Піврізниця — половина різниці, тому четверта сторона дорівнює
$\frac{5x-3x}{2}=x$ см. - 3)Периметр дорівнює сумі всіх сторін:
$12+5x+3x+x=48$, $9x=36$, $x=4$. - 4)Друга сторона 5 · 4 = 20 (см), третя 3 · 4 = 12 (см), четверта 4 см.
Перевірка: 12 + 20 + 12 + 4 = 48 (см).
Повний розв'язок завдання 10
Рівні сторони AB і AD позначено однією рискою, рівні сторони CB і CD — двома.
- 1)Проведемо діагональ AC і розглянемо трикутники ABC і ADC. AB = AD, CB = CD (за умовою), AC — спільна сторона.
- 2)Отже, △ABC = △ADC (за трьома сторонами).
- 3)Тому ∠B = ∠D (як відповідні кути рівних трикутників).
Твердження доведено.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в тому, що кут, більший за 180°, вважають неможливим або ділять 360° не на ту кількість частин.
Для батьків
Попросіть дитину вирізати з паперу будь-який опуклий чотирикутник, відірвати всі чотири кути й прикласти їх вершинами до однієї точки. Беремо саме опуклий, бо кожен його кут менший від розгорнутого і легко відривається. Кути заповнять увесь простір навколо точки без проміжків, тобто разом дадуть 360°.
Потім запитайте, чи може кут чотирикутника дорівнювати 200° і як тоді виглядатиме фігура. Правильна відповідь: може, тоді чотирикутник неопуклий, і одна його вершина вдавлена всередину.