Ти навчишся знаходити рівнобедрений трикутник, який бісектриса кута відтинає від паралелограма. За рівністю його сторін ти знаходитимеш сторони, периметр і кути паралелограма. Також ти дізнаєшся, чому одна умова інколи має дві відповіді.
Уже розв'язав задачі з бісектрисою, а відповідь не зійшлася? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Задача-зразок
Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник. У підручнику це показано лише в розв'язаному прикладі § 2, а окремою властивістю не записано. Тому в кожній задачі рівнобедреність трикутника обґрунтовують заново.
Знадобляться три факти:
- протилежні сторони паралелограма паралельні;
- внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих рівні;
- трикутник із двома рівними кутами рівнобедрений.
Приклад 1. Знайди периметр паралелограма, якщо бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки 7 см і 4 см
Дано: ABCD — паралелограм, AK — бісектриса кута A, BK = 7 см, KC = 4 см.
Знайти: $P_{ABCD}$.
Однакові дужки й риски показують те, що ми доведемо: кути BAK, KAD і AKB рівні, а AB = BK.
Розв'язання.
- 1)BC = BK + KC = 7 + 4 = 11 (см).
- 2)∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AK.
- 3)∠BAK = ∠KAD, бо AK — бісектриса кута A. Тому ∠BAK = ∠AKB.
- 4)У трикутнику ABK два кути рівні, тому за ознакою рівнобедреного трикутника він рівнобедрений. Отже, AB = BK = 7 см.
- 5)$P_{ABCD}=2(AB+BC)$, тому
$P_{ABCD}=2(7+11)=36$ (см).
Відповідь: 36 см.
Чому так виходить. Бісектриса ділить кут A на дві рівні половини. Одна з них, кут KAD, дорівнює куту AKB, бо сторони AD і BC паралельні.
Отже, кут AKB дорівнює і другій половині, тобто куту BAK. А трикутник із двома рівними кутами рівнобедрений.
Як знайти рівнобедрений трикутник
- Познач вершину, з якої виходить бісектриса, і точку, у якій бісектриса перетинає сторону паралелограма. Наприклад, бісектриса AK кута A перетинає сторону BC у точці K.
- Знайди вершину паралелограма, яка лежить на стороні з точкою K і сусідня з вершиною A. Тут це вершина B. Рівнобедрений трикутник має вершини A, B і K, а його рівні сторони AB і BK обидві виходять з вершини B. Відрізок KC до цього трикутника не належить.
- Обґрунтуй рівність кутів двома причинами. Перша причина: кути рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих. Друга причина: бісектриса ділить кут навпіл.
- Запиши рівність сторін і лише потім знаходь те, що питають в умові.
Так само працює бісектриса будь-якого іншого кута. Наприклад, бісектриса BM кута B перетинає сторону AD у точці M. Вона відтинає рівнобедрений трикутник ABM з рівними сторонами AB і AM.
Цим можна скористатися і тоді, коли відомі сторони AB і BC, причому AB коротша за BC. Бісектриса кута A відтинає на стороні BC відрізок BK, що дорівнює AB. Решта сторони, відрізок KC, дорівнює BC − AB.
Варіація 1. Умова не каже, який відрізок лежить біля вершини
Приклад 2. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки 4 см і 9 см. Знайди периметр паралелограма
В умові не сказано, який із двох відрізків прилягає до вершини, сусідньої з вершиною кута. Від цього залежить довжина сторони AB, тому розглянемо обидва випадки. Позначимо паралелограм ABCD, а бісектрису кута A — AK, де точка K лежить на стороні BC.
Розв'язання.
В обох випадках BC = 4 + 9 = 13 (см).
Випадок 1: BK = 4 см, KC = 9 см.
Біля вершини B лежить відрізок 4 см.
- 1)AB = BK = 4 см, бо трикутник ABK рівнобедрений.
- 2)$P_{ABCD}=2(4+13)=34$ (см).
Випадок 2: BK = 9 см, KC = 4 см.
Біля вершини B лежить відрізок 9 см.
- 1)AB = BK = 9 см, бо трикутник ABK рівнобедрений.
- 2)$P_{ABCD}=2(9+13)=44$ (см).
Відповідь: 34 см або 44 см.
Обидва паралелограми існують, бо в кожному з них відрізок BK коротший за сторону BC. Якщо ж умова називає відрізок біля вершини, наприклад «BK = 4 см», то відповідь одна.
Варіація 2. Відомі периметр і відношення відрізків
Приклад 3. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC, BK : KC = 3 : 2. Периметр паралелограма 48 см. Знайди його сторони
Відрізки BK і KC позначено 3x і 2x. Сторона AB дорівнює BK.
Розв'язання.
- 1)Нехай BK = $3x$ см, KC = $2x$ см. Тоді BC = $3x+2x=5x$ (см).
- 2)∠BAK = ∠KAD = ∠AKB, тому трикутник ABK рівнобедрений і AB = BK = $3x$ см.
- 3)Сума двох сусідніх сторін дорівнює половині периметра:
48 : 2 = 24 (см). - 4)Складемо рівняння:
$3x+5x=24$, $8x=24$, $x=3$. - 5)AB = 3 · 3 = 9 (см), BC = 5 · 3 = 15 (см).
Відповідь: AB = CD = 9 см, BC = AD = 15 см.
Якщо в умові дано різницю відрізків, рівняння складають так само. Наприклад, коли KC на 2 см коротший за BK, позначають BK = $x$ см. Тоді KC = $x-2$ см, AB = $x$ см і BC = $2x-2$ см.
Варіація 3. Кути паралелограма
Приклад 4. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці K, ∠AKC = 145°. Знайди кути паралелограма
Дано кут AKC між бісектрисою і відрізком KC. Половини кута A позначено однією дужкою, а шуканий кут B — трьома.
Розв'язання.
- 1)Кути AKC і AKB суміжні, тому
∠AKB = 180° − 145° = 35°. - 2)∠KAD = ∠AKB = 35° як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AK.
- 3)AK — бісектриса, тому
∠BAD = 2 · 35° = 70°. - 4)Сусідні кути паралелограма в сумі дають 180°, тому
∠ABC = 180° − 70° = 110°. - 5)Протилежні кути паралелограма рівні: ∠C = ∠A = 70°, ∠D = ∠B = 110°.
Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
Буває, що в умові пишуть «бісектриса перетинає сторону під кутом 25°». Тут мають на увазі гострий кут між бісектрисою і стороною, тобто кут AKB.
Він дорівнює половині кута A, а кут A менший від 180°, тому кут AKB завжди гострий. Тоді перший крок не потрібен, і одразу ∠A = 2 · 25° = 50°.
Бісектриси двох сусідніх кутів
Приклад 5. Доведи, що бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні
Нехай AM і BM — бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD, а M — точка їх перетину. Треба довести, що ∠AMB = 90°.
Половини кута A позначено однією помаранчевою дужкою, половини кута B — двома синіми. Шуканий кут AMB позначено трьома дужками.
Доведення.
- 1)Кути A і B сусідні, тому ∠A + ∠B = 180°.
- 2)Бісектриси ділять ці кути навпіл, тому ∠BAM = ∠A : 2 і ∠ABM = ∠B : 2. Звідси
∠BAM + ∠ABM = (∠A + ∠B) : 2,
∠BAM + ∠ABM = 180° : 2 = 90°. - 3)Сума кутів трикутника ABM дорівнює 180°, тому
∠AMB = 180° − 90° = 90°.
Твердження доведено.
У доведенні не знадобилися ні довжини сторін, ні величини кутів. Тому бісектриси двох сусідніх кутів перпендикулярні в будь-якому паралелограмі. Якщо в задачі кут між такими бісектрисами вийшов не 90°, у розв'язанні є помилка.
Коли бісектриса перетинає іншу сторону
Бісектриса кута A відтинає на прямій BC відрізок BK, що дорівнює стороні AB. Якщо сторона AB довша за AD, то вона довша й за рівну їй сторону BC. Тоді точка K лежить уже за вершиною C, на продовженні сторони BC.
Бісектриса в такому разі перетинає сторону CD, і рівнобедрений трикутник утворюється біля вершини D.
Приклад 6. У паралелограмі ABCD AB = 10 см, AD = 6 см. Бісектриса кута A перетинає сторону CD у точці M. Знайди DM і MC
Сторона AB довша за AD, тому бісектриса перетинає сторону CD. Пунктиром показано, де вона перетинає продовження сторони BC.
Розв'язання.
- 1)∠AMD = ∠MAB як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD та січній AM.
- 2)∠MAB = ∠MAD, бо AM — бісектриса кута A. Тому ∠AMD = ∠MAD.
- 3)Трикутник AMD рівнобедрений, отже, DM = AD = 6 см.
- 4)CD = AB = 10 см, тому MC = 10 − 6 = 4 (см).
Відповідь: DM = 6 см, MC = 4 см.
Продовження бісектриси перетинає пряму BC у точці K, і трикутник ABK теж рівнобедрений: BK = AB = 10 см. Сторона BC має лише 6 см, тому точка K лежить за вершиною C. Від вершини C до точки K 10 − 6 = 4 (см).
Яку сторону перетне бісектриса кута A, видно з порівняння сторін AB і AD. Якщо AB коротша за AD, бісектриса перетинає сторону BC, а якщо довша — сторону CD.
Якщо AB = AD, бісектриса проходить через вершину C.
Як перевірити себе
Порівняй сторони AB і AD. Бісектриса кута A перетинає сторону BC лише тоді, коли AB коротша за AD. Тоді відрізок BK, що дорівнює AB, уміщається на стороні BC.
Якщо ж у тебе відрізок KC = BC − AB вийшов від'ємним, то AB довша за BC. Отже, бісектриса перетинає сторону CD, і рівнобедрений трикутник треба шукати біля вершини D.
Підстав сторони в умову. Знайшовши сторони, порахуй периметр за формулою 2(AB + BC).
Порахуй і відрізки сторони, на які її ділить бісектриса:
BK = AB, KC = BC − AB. Усі числа з умови мають вийти знову.
Така перевірка ловить помилку, коли периметр забули поділити на 2.
Перевір кути. Гострий кут між бісектрисою і стороною, яку вона перетинає, дорівнює половині кута паралелограма. Тому кут, з вершини якого виходить бісектриса, удвічі більший за цей гострий кут.
Сусідні кути паралелограма в сумі мають дати 180°.
Де найчастіше помиляються
1. Стороні паралелограма прирівняли не той відрізок
Завдання: бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK = 6 см і KC = 9 см. Знайди периметр паралелограма.
Відрізок BK прилягає до вершини B, а відрізок KC — до вершини C.
Неправильно
| AB = KC = 9 (см) |
| BC = 6 + 9 = 15 (см) |
| $P=2(9+15)=48$ (см) |
Правильно
| AB = BK = 6 (см) |
| BC = 6 + 9 = 15 (см) |
| $P=2(6+15)=42$ (см) |
Як помітити: рівні сторони трикутника ABK — AB і BK, і обидві вони виходять з вершини B. Відрізок KC до трикутника ABK не належить, тому стороні AB він не дорівнює.
2. Кут між бісектрисою і стороною взяли за кут паралелограма
Завдання: бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці K, ∠AKB = 40°. Знайди кути паралелограма.
Кут AKB утворюють бісектриса і сторона BC. Половини кута A позначено тією самою дужкою, що й кут AKB. Шуканий кут B позначено двома дужками.
Неправильно
| ∠A = ∠AKB = 40° |
| ∠B = 180° − 40° = 140° |
Правильно
| ∠A = 2 · 40° = 80° |
| ∠B = 180° − 80° = 100° |
Як помітити: кут AKB дорівнює куту KAD, а кут KAD — лише половина кута A, бо бісектриса поділила кут A навпіл. Тому кут A вдвічі більший за кут AKB.
3. Не помітили від'ємного відрізка
Завдання: у паралелограмі ABCD AB = 8 см, AD = 5 см. Бісектриса кута A перетинає одну з його сторін. Знайди відрізки, на які вона ділить цю сторону.
Сторона AB довша за AD, тому бісектриса кута A перетинає сторону CD у точці M.
Неправильно
| BK = AB = 8 (см) |
| KC = BC − BK = 5 − 8 = −3 (см) |
Правильно
| DM = AD = 5 (см) |
| MC = 8 − 5 = 3 (см) |
Як помітити: довжина відрізка не буває від'ємною. Сторона AB довша за AD, тому бісектриса не дістає до сторони BC і перетинає сторону CD. Рівнобедрений трикутник AMD утворюється біля вершини D, і DM = AD.
Спробуй сам
- Бісектриса кута B паралелограма ABCD ділить сторону AD на відрізки AK = 8 см і KD = 3 см. Знайди периметр паралелограма.
- Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки 6 см і 2 см. Знайди периметр паралелограма.
- Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC. Відрізок KC на 3 см довший за BK. Периметр паралелограма 54 см. Знайди його сторони.
- Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 32°. Знайди кути паралелограма.
- Бісектриса кута D паралелограма ABCD перетинає сторону AB у точці M, ∠DMB = 130°. Знайди кути паралелограма.
- Бісектриси кутів A і D паралелограма ABCD перетинаються в точці K, яка лежить на стороні BC. AB = 5 см. Знайди периметр паралелограма.
- У паралелограмі ABCD AB = 12 см, BC = 7 см. Бісектриса кута B перетинає пряму AD у точці K. Знайди DK.
- Бісектриси кутів C і D паралелограма ABCD перетинаються в точці P. Знайди кут CPD.
Перевірити відповіді
- 38 см: AB = AK = 8 см, AD = 11 см.
- 28 см або 20 см. Якщо біля сусідньої вершини лежить відрізок 6 см, сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Якщо там лежить відрізок 2 см, сторони дорівнюють 2 см і 8 см.
- AB = CD = 8 см, BC = AD = 19 см. Нехай BK = $x$ см, тоді KC = $x+3$ см, AB = $x$ см і BC = $2x+3$ см. Половина периметра дорівнює 54 : 2 = 27 (см), тому
$x+(2x+3)=27$, $x=8$. - 64°, 116°, 64°, 116°.
- ∠A = ∠C = 80°, ∠B = ∠D = 100°. Кут AMD суміжний з кутом DMB, тому ∠AMD = 50°. Кути AMD і MDC рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD. Кут MDC — половина кута D, бо DM — бісектриса. Тому
∠D = 2 · 50° = 100°. - 30 см. Повний розв'язок — нижче.
- 5 см. Повний розв'язок — нижче.
- 90°. Кути C і D сусідні, тому в сумі дають 180°, а їхні половини разом дають 90°. Тоді в трикутнику CPD кут P дорівнює 180° − 90° = 90°.
Повний розв'язок завдання 6
Бісектриси AK і DK виходять з вершин A і D та перетинаються на стороні BC.
- 1)∠BAK = ∠KAD, бо AK — бісектриса, а ∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC. Тому трикутник ABK рівнобедрений і BK = AB = 5 см.
- 2)Так само ∠CDK = ∠KDA, а ∠KDA = ∠DKC як внутрішні різносторонні кути. Тому трикутник DCK рівнобедрений і KC = CD = AB = 5 см.
- 3)BC = BK + KC = 5 + 5 = 10 (см).
- 4)$P_{ABCD}=2(5+10)=30$ (см).
Повний розв'язок завдання 7
Сторона AB довша за BC, тому бісектриса кута B перетинає сторону CD, а пряму AD — за точкою D.
- 1)∠AKB = ∠KBC як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній BK.
- 2)∠KBC = ∠ABK, бо BK — бісектриса кута B. Тому ∠AKB = ∠ABK, трикутник ABK рівнобедрений і AK = AB = 12 см.
- 3)AD = BC = 7 см. Відрізок AK довший за AD, тому точка K лежить на продовженні сторони AD за точкою D. Отже,
DK = AK − AD = 12 − 7 = 5 (см).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше стороні паралелограма прирівнюють не той відрізок або забувають помножити кут на 2.
Для батьків
Попросіть дитину показати на кресленні рівнобедрений трикутник, який відтинає бісектриса, і назвати його рівні сторони. Обидві рівні сторони мають виходити з вершини, сусідньої з вершиною кута. Якщо дитина називає інший відрізок, помилку вже знайдено.
Запитайте, чому цей трикутник рівнобедрений. Повна відповідь містить дві причини: бісектриса ділить кут навпіл, а при паралельних сторонах внутрішні різносторонні кути рівні.
Корисне запитання до умови «бісектриса ділить сторону на відрізки 4 см і 9 см»: скільки тут відповідей? Їх дві, бо невідомо, який відрізок лежить біля вершини.