: Варіант 2 РКР

Завдання № 9 РКР Варіант 2

Річна контрольна робота за 8 клас (сторінка 57)

Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв'язок:

Відповідь до завдання № 9 РКР вар.2 С та ДР з геометрії

Нехай трапеція $ABCD$ має прямі кути при $A$ і $B$, $AB$ — менша (перпендикулярна) бічна сторона, $CD$ — більша (нахилена). Точка $P$ — точка дотику кола зі стороною $CD$, причому $CP = 4$ см, $PD = 9$ см (коротший відрізок прилягає до меншої основи $BC$).

Нехай $r$ — радіус вписаного кола. Оскільки кути при $A$ і $B$ прямі, дотичні з цих вершин до кола рівні $r$: $AK = AM = BK = BL = r,$ де $K,L,M$ — точки дотику на $AB$, $BC$, $AD$. Звідси $AB = 2r$, $BC = r + 4$, $AD = r + 9$.

Довжина більшої бічної сторони: $CD = CP + PD = 13$ см. Опустимо перпендикуляр з $C$ на $AD$ — отримаємо прямокутний трикутник з катетами $AB = 2r$ (висота) і $AD - BC = 5$ см, гіпотенуза $CD = 13$:

$(2r)^{2} + 5^{2} = 13^{2}\ \Rightarrow \ 4r^{2} =$

$= 144\ \Rightarrow \ r = 6.$

Тоді $AB = 12$, $AD = 15$, $BC = 10$.

Площа: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{15 + 10}{2} \cdot 12 =$

$= 150\ \text{см}^{2}.$

Відповідь:

150 см².