Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 51)

Тема: Многокутники. Площі многокутників

Точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції віддалена від основ на 4 см і 7 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см.

Розв’язок:

Нехай $ABCD$ — рівнобічна трапеція з основами $BC = 8$ см (менша) і $AD$ (більша), $O$ — точка перетину діагоналей. Проведемо через $O$ спільний перпендикуляр до основ: $F \in BC$, $E \in AD$. Точка $O$ розташована ближче до меншої основи, тому $OF = 4$ см, $OE = 7$ см.

Оскільки трапеція рівнобічна, пряма $FE$ є віссю симетрії трапеції, тому $F$ — середина $BC$, а $E$ — середина $AD$. Отже:

$FC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\text{ (см)},$

$\quad\quad EA = \frac{1}{2}AD.$

Розглянемо прямокутні трикутники $OFC$ і $OEA$ ($\angle OFC = \angle OEA = 90{^\circ}$). Кути $\angle OCF$ і $\angle OAE$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC \parallel AD$ і січній $AC$, тому $\angle OCF = \angle OAE$. Отже, $\bigtriangleup OFC \sim \bigtriangleup OEA$ за двома кутами.

З подібності:

$\frac{FC}{EA} = \frac{OF}{OE};\quad\quad\frac{4}{EA} = \frac{4}{7};$

$\quad\quad EA = 7\text{ (см)}.$

Тоді $AD = 2 \cdot EA = 14$ см.

Висота трапеції:

$h = FE = OF + OE =$

$= 4 + 7 = 11\text{ (см)}.$

Площа трапеції:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{14 + 8}{2} \cdot 11 =$

$= 11 \cdot 11 = 121\text{ (см}^{2}\text{)}.$

Відповідь:

121 см².