Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 50)

Тема: Многокутники. Площі многокутників

Точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша основа дорівнює 20 см.

Розв’язок:

Нехай $ABCD$ — рівнобічна трапеція з основами $AD = 20$ см (більша) і $BC$ (менша), $O$ — точка перетину діагоналей. Проведемо через $O$ спільний перпендикуляр до основ: $F \in BC$, $E \in AD$. Точка $O$ розташована ближче до меншої основи, тому $OF = 3$ см, $OE = 5$ см.

Оскільки трапеція рівнобічна, пряма $FE$ є віссю симетрії трапеції, тому $F$ — середина $BC$, а $E$ — середина $AD$. Отже:

$EA = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10\text{ (см)},$

$\quad\quad FC = \frac{1}{2}BC.$

Розглянемо прямокутні трикутники $OFC$ і $OEA$ ($\angle OFC = \angle OEA = 90{^\circ}$). Кути $\angle OCF$ і $\angle OAE$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC \parallel AD$ і січній $AC$, тому $\angle OCF = \angle OAE$. Отже, $\bigtriangleup OFC \sim \bigtriangleup OEA$ за двома кутами.

З подібності:

$\frac{FC}{EA} = \frac{OF}{OE};\quad\quad\frac{FC}{10} = \frac{3}{5};$

$\quad\quad FC = \frac{10 \cdot 3}{5} = 6\text{ (см)}.$

Тоді $BC = 2 \cdot FC = 12$ см.

Висота трапеції:

$h = FE = OF + OE = 3 + 5 =$

$= 8\text{ (см)}.$

Площа трапеції:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{20 + 12}{2} \cdot 8 =$

$= 16 \cdot 8 = 128\text{ (см}^{2}\text{)}.$

Відповідь:

128 см².